计算方法试题集及答案(新)

1、* *1.X 为精确值X的近似值；y* /f x 为一元函数y1f x的近似值；y f x*, y*为二元函数 y2 f x,y* x* xex*的近似值，请写出下面的公式：e* x* x :*y1f X*Y *xr y1*y2f x*, y*X*fXX* f X*r X*f X*x*, y *y*y舍入误差。6位和 74、设 x-i*r y2f x*, y*e x*f x*, y*e y*X*y2y*y22、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫3、分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，那么其有效数字分别有位；又取 事 1.73 三位有效数字，那么

2、V3 1.731 10-221.216恥3.654均具有3位有效数字，那么 X1X2的相对误差限为0.00555、 设x,1.216X3.654均具有3位有效数字，那么 为 x的误差限为0.01。6、近似值Xa2.4560是由真值Xt经四舍五入得到，那么相对误差限为0.0000204 .7、 递推公式 y。二旋，,如果取y0 近 1.41作计算，那么计算到y10时，误差为yn = 10yn-1 -1,n = 1,2,L '1 108 ;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 .28、精确值 3.14159265 ，那么近似值1*3.141和2*3.1415分别有位和4 位有效数字。-59、

3、假设x e 2.71828 x ,那么x有_6位有效数字，其绝对误差限为1/2*10。10、 设x*的相对误差为2%,求x* n的相对误差0.02n11、 近似值x*0.231关于真值x 0.229有2 位有效数字；12、计算方法主要研究 截断误差和 舍入误差；346了使计算 y 10J 一6亍的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改X 1 X 1 X 1写为y 10 (3 (4 6t)t)t,t匚，为了减少舍入误差，应将表达式.2001, 1999改写为22001 J99914、改变函数f(X)(X 1 )的形式，使计算结果较精确15、设= 2.3149541.，取5位有效数字，那么所得的近似值

4、x=_2.3150_16、数e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 4二、单项选择题：1、舍入误差是(A ) 产生的误差。A.只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值2、 3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。A . 6 B. 5 C . 4 D. 73、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C ) 误差。A.模型 B .观测 C .截断 D .舍入x4、用1+ 3近似表示31 X所产生的误差是(D ) 误差。A .舍入 B .观测 C .模型 D .截断5、 -324 . 7500是舍入得到

5、的近似值，它有 (C ) 位有效数字。A .5 B . 6 C . 7 D . 86、( D )的3位有效数字是 0.236 X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82X 10 2 (C) 235.418(D) 235.54 X 10- 17、取31-732计算x (J 1f，以下方法中哪种最好？ ( C )16 16(A) 28 16、3 ；(B) (4 2 3 ；( C (4 厶3)? ；(D)(-3 1)4。三、计算题1. 有一个长方形水池，由测量知长为(50 ± 0.01)米，宽为(25 ± 0.01)米，深为(20 ± 0

6、.01)米，试 按所给数据求出该水池的容积，并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式，并求出绝对误差限和相对误差限.解：设长方形水池的长为 L,宽为 W,深为H,那么该水池的面积为 V=LWH当 L=50,W=25,H=20 时，有 V=50*25*20=25000(米 3)此时，该近似值的绝对误差可估计为、，VLVWV VHLWH=WHLHLWLW H相对误差可估计为:而该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足L 0.01, W 0.01, H 0.01故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为V WH L HL W LW H25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127

7、.5027.50250001.1*102.测量某长方形场地的长a=110米，宽b=80米.假设a a*0.1米，b b*0.1米试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为s=ab2当 a=110,b=80 时，有 s=110*80=8800(米)此时，该近似值的绝对误差可估计为ssas bab=b aab相对误差可估计为r sss而长方形长、宽的数据的绝对误差满足a0.1,b0.1故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为80*0.1110*0.119.019.088000.002159绝对误差限为19.0 ;相对误差限为 0.002159。3、设x*的相对误差为2%,求(x*

8、) “的相对误差解：由于 f(x) xn,f'(x) nxn 1,故* nn* n 1*(x ) x n(x ) (x x )*故 r * n nx *xn r 0.02n(x ) x4、 计算球体积要使相对误差为1%问度量半径R允许的相对误差限是多少?解：令V f R 4 R3,根据一元函数相对误差估计公式，得4R24_3R33RR 3 R R 1%从而得 R R 3005.正方形的边长大约为100cm,问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm22 2解：da=ds/(2a)=1cm /(2*100)cm=0.5*10- cm,即边长a的误差不超过 0.005cm时，才能保证其面积误差

9、不超过1平方厘米。6 假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为 试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。VVV50.00m和100.00m，且其测量误差为0.005m。解：V*V *Vr 2h2 rh(r* r) =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325r * r=2 =0.0002r第一章插值法一、填空题：1.设 Xj (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (X)为相应的四次插值基函数，那么4Xi42lii 0(x4+2).2.设 xi(i=0,1,2,3,4,5)为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数554Xi2Xii 01 li X

10、543=x 2x x 13.f (X)2x35,那么 f1,2,3,42, f1,2,3,4,54. f (X)3x2 1,那么 f1,2,3,f1, 2,3,45. 设3,6.设 f 十訳十张？十1和节点耳二匕2朮= 612贝弘心=4.7. 设 f 00,f 116, f 246,那么 f 0,116, f 0,1,27 , f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1)。8. 如有以下表函数：0.20.30.4Xif Xi0.040.090.16那么一次差商 f 0.2,0.4 = _06。29、 2、f(1)1，f2，f(3) 1，那么过这三点的二次插值多项式

11、中X的系数为_-2,1 1拉格朗日插值多项式为L2 xx 2 x 32x1x3 x 1 x 2 ,或2 22x2 9x 810、 对 f(x) x3 x 1,差商 f 0，1,2,3 ( 1 ),f 0，1,2,3,4 ( 0 )；211、 f(1) = 2, f(2) = 3, f(4) = 5.9，那么二次 Newt on 插值多项式中 x 系数为(0.15 );12、设f(°) Qf(1)16, f(2)46,那么l1(x) x x 2 , f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x)16x 7x(x 1)。13、l0(X),l1(X),ln(x)是以整数点 Xo,x1,n'

12、;Xn为节点的Lagrange插值基函数，贝U |k x =k 0n1，XjjXkk 0n=Xj,，当 n 2时 k0(x4x'3)lk(x)42(x x 3 )。14、设一阶差商6-142那么二阶差商/(帀卫勺)二_也一工4 -1615、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为 0,那么p(x)是不超过二次的多项式416、假设 f(x) 3x 2x 1 ,那么差商 f 2,4,8,16,323。二、单项选择题：1、 设f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,那么抛物插值多项式中X2的系数为(A )A - 0. 5 B . 0 . 5 C . 2 D .

13、-22、 拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),尺(X) f(X)Pn(X)(B)(n 1)(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2.,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn_ 1)(x xn),f(n 1(X00.511.5252.f(X)-2-1.75-10.252254.RnX fxD3、有以下数表Pn(x)(n 1)!n 1X所确定的插值多项式的次数是A oXi11.522.533.5f (Xi)-10.52.55.08.011.5A二次；B三次；

14、C四次；D五次4、由以下数表进行 Newt on插值，所确定的插值多项式的最高次数是D (A) 5 ；(B)4 ；(C)3 ；( D) 2。9、c、kli(k)5、 设lix是以Xk kk °丄，9为节点的Lagrange插值基函数，那么k 0 A x ； B k ； C i ； D 1o6、由以下数据X01234f (x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为A A 4 ；B2；C1；D3三、问答题1什么是Lagrange插值基函数？它们有什么特性?答：插值基函数是满足插值条件有以下性质2. 给定插值点 可分别构造 Lagrange 插值多项式 和 Newton 插值多项式，它们

15、是否相同？为什么 ? 它们各有何优点？答：给定插值点后构造的 Lagrange 多项式为Newton 插值多项式为它们形式不同但都满足条件它 表 明 n 次多项式有 n+1 个零点， 这与 n 次多项式只有n 个零点矛盾，与是 相 同 的是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而 每增加一 个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。3. Hermite 插值与 Lagrange 插值公式的构造与余项表达式有何异同？答： Hermite 插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange 插值复什一些，但它们 都用 基函数 方 法 构造

16、 ，余 项表 达式 也相似 ，对 Lagrange 插值 余项 表达 式为而 Hermite 插 值 余 项 在 有 条 件 的 点后面相因子m+1 个条件，那么余项中前面因子为改为2 2=2 2x 1 x 23 2x 5 x 13、如有以下表函数：2x 1 x 22x 2 x 1Xi0 1234f Xi36111827y1试计算此列表函数的差分表，并给出它的牛顿插值多项式及余项公式0 x1 x1 xP3 xy° 0 x即可得到Hermite插值余项。四、计算题1、设f xx7 5x3 1,求差商f 20,21 , f 20,21,2,f 20,21 丄，28解：f 207, f21

17、169, f 2216705,f 20,21162, f21,228268,f20,21,222702根据差商的性质，得0 J7f 2 ,2 ,L ,27!8f 20,21,L ,288!2、求满足以下条件的埃尔米特插值多项式yiyi解:根据条件可求得2x 2x 1 x 2 , 1 x2x x 1 x 2 , 1 x0代入埃尔米特三次插值多项式公式2xy。y。解：查分表如下:Xififi2fi3fi4fi03163211513187104279100N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0 < x< 14、给出In X的函数表如下：X0.400.5

18、00.600.70ln x一一一一0.9162910.6931470.5108260.356675试用线性插值和抛物插值求In 0.54的近似值。解答线牲插值 ，取主a = 0.= a 6t JQIInO. 54 壬仝 ¥ 彳织(0- 593 147)十J- ?匕 DV0. 54 0-5f 6。 ( 0. 510 8263 = 0 62Q 219氏插值?取矢0. 5»工0- 6 »工$ = 67,得卜Q54°辭阳卜InO. 54 CO, 5 -0, 6X0.5 一 o. n0. 54 鼻 5)(6 51 -0*7),(0, 6 -O, 5)(0* 5 0

19、. 7)，(0. 54 -0- 5(0.54 一 0-钟X (- G 510 825)十訂 _ 0 5)5十 _ Q. &T %356 675)"一 0*616 838 25.X-112F (x)31-1注1E 垄取 =也4,巧=(k5.艺二0.鶴嘲】nO* £4帀-氏&请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式。解：记Xo所以L2(x)f (Xi)1,Xi 1,X22,那么f (Xo)f (Xo)(X Xi)(X X2)(Xo Xi)(Xo X2)3,f(Xi) 1,f(X2)1(X Xo)(X X2)(Xi Xo)(Xo X2)f(X2)

20、(X Xo)(X Xi)(X2 Xo)(X2 Xi)(X i)(x 2) i (x i)(x 2)(i i)( i 2) (i i)(i 2)(i)(x i)(x i)(2 i)(2 i)1i)(x 2) -(x1i)(x 2) 3(x i)(x i)36.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式 f(O)=i,f(i)=2,f(2)=9,f' (i)=3,并写出插值余项。解：根据Lagra nge插值多项式和Newt on插值多项式得出L2 xN2 x 3x2 2x 1设待插值函数为:H3 x N2 x k x 0 x 1 x 2根据H3 1 f' 13,得参数k 1,

21、那么H3 xx3 1.插值余项为：4!& x f x H3 x7、Xi1345f (Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(X)的三次插值多项式 P3(x),并求f (2)的近似值(保留四位小数)。答案:L3(x)2(x 3)(x 4)(x 5)(1 3)(1 4)(1 5)6(x 1)(x 4)(x 5)(3 1)(3 4)(3 5)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1014P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x

22、1)(x 3)(x 4)4f(2) P3(2)5.58、sinx区间0.4，0.8的函数表X-i0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。M 3|R2(X)| 说丨 3(x)|(x)|答案：解： 应选三个节点，使误差3!尽量小，即应使丨3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果si no.63891 0.596274sino .638910.59627413!(0.638910.5)(0.

23、638919 0.6)(0.638910.7)0.55032 109、取节点X。0,xi0.5, x2f(x)x在区间0,1上的二次插值多项式Bx并估计误差。解:F2(x) e(x0.5)( x 1)0.5(0 0.5)(0 1)(X 0)( x 1)(0.5 0)(0.5 1)(x 0)(x 0.5)(1 0)(1 0.5)2(x0.5)( x 1) 4e0.5x(x 1)2e 1x(x0.5)又 f(x)e x, f (x)e x,M3max | fx 0,1(x)| 1故截断误差|R2(x)|ex P2(x)|1和x(x 0.5)(x 1)|3!o10、f (-1)=2，f (1)=3，

24、f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(X)及f (1，5)的近似值,取五位小数。L2(x) 2 (X 1)(x 2)3 (X 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1)解：2( 11)( 12)(11)(12)(21)(21)2 34-(x1)(x2)-(x1)(x2)-(x1)(x 1)3 231f(1.5) L2(1.5)0.041672411、12分以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。115用Newt on插值方法：差分表:10001112110.0476190114420.0434783-0.000094113610+0.047619

25、0(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555100 115 121 115-3100 26814415 6 290.0016312、10分以下函数表:x0123f (x)139271写出相应的三次 Lagrange插值多项式;2作均差表，写出相应的三次Newt on插值多项式，并计算f1.5的近似值。解: 1L3(x)(x 1)(x2)(x3)(0 1)(02x22)(0 3)8 -x31(x 0)(x2)(x3)(1 0)(1 2)(1 3)(x 0)(x 1)(x3)(2 0)(2 1)(2 3)(x 0)(x1)(x 2)(3

26、0)(3 1)(3 2)2 均差表：32718N3(x)1 2x2x(x1)4§x(x 1)(x 2)f(1.5)N3(1.5)5求二次插值多项式x023f x13213、y=fx的数据如下內 5及 f2.5+|x2.5+1 = 2.6567(1 )试求在插值多项式H ( x )使满足恥J =恥=0.12 HOi)= f(®)H(x)以升幕形式给出。(2)写出余项=H：.的表达式解 (1)1 Q _=11 Q站苟滸3卫(-心-詁口(级(打第四章数值积分一、填空题x2dx，利用梯形公式的计算结果为2.5，利用辛卜生公式的计算结果为2.333。2. n次插值型求积公式至少具有_

27、n次代数精度，如果n为偶数，那么有 n+1次代数精度。3. 梯形公式具有1次代数精度，Simps on公式有 3 次代数精度。n4.插值型求积公式Ak f xkk 0bf x的求积系数之和b-aaj xdx5、 计算积分0.5 一 ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为丄，辛卜生公式的代数精度为3。5f (x)dx6、f (1)=1, f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求 1'丿 (12 )。7、设 f (1)=1 , f (2)=2 ,f (3)=0，用三点式求 f (1)(2.5

28、 )。8、假设用复化梯形公式计算 个求积节点。1exdx0,要求误差不超过610 ，利用余项公式估计,至少用4771 29、数值积分公式1f(x)dx 9f(1) 8f(0) f(1)的代数精度为10、 f(1)1.0, f(2)1.2, f(3)3 ,那么用辛普生(辛卜生)公式计算求得31 f(x)dx 用三点式求得f (1)答案：2.367 , 0.2510、数值微分中，等距节点的函数值那么由三点的求导公式，有11、2h对于n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度.a上1、等距二点求导公式f (x1)(A )。f(X1) f (X0)(A)X1X0f (x1)(B)1；X0f(x&#

29、176;)(C) f(X0)X0f (X1)(D)f(X1)X1f(x°)X1X1X0、单项选择题:b2、在牛顿-柯特斯求积公式:f(x)dxa(bna)Ci(n)f (Xi)(n)i 0中，当系数Ci是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当(A)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(D) n 6，(A) n 8，( B)n 7，( c) n 10，三、问答题1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数?如果当答：一个求积公式为次数大于m次多项式时，它不精确成立，那么称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，

30、得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里 m+1为待定参数个数，解此方程组那么为所求。四、计算题1、确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精 确度解：此题直接利用求积公式精确度定义，那么可突出求积公式的参数。代入公式两端并使其相等，得J3 + 3 + C=1解此方程组得= -M=-?5 = -?C = -2636,于是有再令畑*,得土吩故求积公式具有3次代数精确度。A/<J：dz a A -J- h十 WW -r Atfh>2 J *解答<D求积公式中含有三个待定参如即冲十将2、一 1",用分别代人求积公式井令其左右相等得 十

31、血=2K Aj = q%胪“T 4-討V解轉 A_t =仏=寺k血=4g 所求公式至少具有悶脱代数精磁度又由于/<x)djr a力也= A)a + (A*)f *33J -A-3|/(-A) + y/(0) ' j/CA)具宥三欢代数稱3)解：令代入公式精确成立，得解得得求积公式对 故求积公式具有 2 次代数精确度。12. 求 积 公 式 f (x)dxA0f (0)A1 f (1)B0f '(0) ， 已 知 其 余 项 表 达 式 为IllR( f) kf '''( ), (0,1)，试确定系数A0 , A1, B0 ，使该求积公式具有尽可能高

32、的代数精度，并给出代数精度的次数及求积公式余项。解：此题虽然用到了f (0)的值，仍用代数精度定义确定参数A。，B。令 f (x)21, x, x ,分别代入求积公式，令公式两端相f (x)1, A0 A1 1A。2T等，那么得f (x)x, A1B0；,求得A14,那么有f (x)x2, A11B0110 f (x)dx| f (0)4 f (1)1 f '(0)再令f(x) x3,此时130x dx4，而上式右端壬，两端不相等，故它的代数精度为2次为求余项可将f (x)x 3代入求积公式10 f (x)dxIf (0)+ f (1)11 f (0)kf (),(0,1)当 f (x

33、)x3， f '(x)3x2,ninf (x)6x, f (x)6,7代入上式得11 34x dx40壬6k ,即k幺，所以余项R( f )7； f (), (0,1)Xk0.0000.1250.2500.3750.500f10.9970.98960.9760.95885(x k)39784158472675108Xk0.6250.7500.8751.000f0.9360.9080.87710.841(x k)1556385168925747098计算Ix1解 用复合梯形公式,这里n=8, h0.125 ,83、根据下面给出的函数sin xf (x)的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛

34、甫生公式xi0sin x , dx1 sin x0.1250 dxf(0)2f (0.125) f (0.25)0x2f (0.375)f(0.5) f (0.625) f (0.75) f (0.875) f 1 0.94569086用复合辛甫生公式：这里n=4, h 10.25.可得41 sin x dx0 x0.25f (0)4f (0.125) f (0.375)f (0.625) f (0.875) 2f (0.25)f (0.5) f (0.75) f (1)0.9460833051 14、求 AB 使求积公式1f(x)dxAf( 1)f(1) Bf( Rf2 的代数精度尽量高，I

35、 21dx并求其代数精度；利用此公式求1 x 保存四位小数。答案:f (X)1, X, X2是精确成立，即2A2B2A1b1A 9，b求积公式为11 f(x)dx11f(1)811f(1) 9f( 2) f(2)当fx x时，公式显然精确成立;1当fx x"时，左=5，右=3。所以代数精度为3。21dxt1 x2x 3 111dt 11t 39十九刖11/231 23970.692861405、n=3,用复合梯形公式求1exdx0的近似值取四位小数，并求误差估计。解:1 x0e dx T31 0Fe2( e132 31e ) e 1.7342f(x) ex, f (x)ex1时,(x

36、) | e|R|ex T3' 12 32e1080.0250.05至少有两位有效数字。6、 15分用n 8的复化梯形公式或复化 其误差。用n 8的复化梯形公式或复化1e xdx詈h2f ()112|RT【f解：T(8)-f(a)2172 f(xQ f(b)k 1Simpson公式计算 0Simpson公式计算出该积分的近似值。1 12 e00.00130282768时，试用余项估计1 2 (0.8824969 0.77880080.606530660.5352614 0.472366550.41686207) 0.367879470.63294347、(10分)数值积分公式为:f(x)

37、dx 尹°)伽h2f(0)f(h)，试确定积分公式中的参数，使其代I8、(10分)用复化Simpson公式计算积分1 sin x0_x""dx的近似值，要求误差限为0.5 10数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x) 1显然精确成立；hh厶h2.f(x)xdx0h h11x时，022;h 2 .h3h皿2 22hh3_ .1f(x)2x dx-0h h 0hx时，032212 -f(x)3h 3x3dxh4-0h3h203h2x时，04212h 4 ,h5h s4 -1 2r4h3_,h5f(x)4x dx-0h h 0x时，05216 ;所以，其代

38、数精确度为30S11 f 0 4f 1 f 10.946145886 211f 0 4f -124S22f4ff 10.94608693或利用余项：f xsin x 1x24(4)1xxf x57 2!9 4!b5 a(4)10-5IS20.946086932468xxxx3!5!7!9!fx15IS2I 丄 IS2 S| 0.393152880n412880 5n40.510 5S29、( 9分)数值求积公式330f(x)dx -f(1)f(2)是否为插值型求积公式？为什么？其代数x 2x 1p(x)厂f(计f(2)精度是多少?解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为33p(x)dx

39、 f(1) f (2)02。其代数精度为1。10、(10分)取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分2x2dx的近似值(保存4位小数)。11 2x2Xi00.511.52f (xi)10.6666670.3333330.1818180.111111解：5个点对应的函数值3(2 分)(1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5 ):0.5T41 2 (0.666667 0.333333 0.181818) 0.1111110.868687(2)复化梯形公式(n=2,h=2/2=1 ):1S2 - 1 4 (0.666667 0.181818) 2 0.333333 0.111

40、1110.86195311、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:A1 f 1取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得：1 1 1 1 1 AoA1Ao A1AoA12，233，6f(x)=x 2时，公式左右 =1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代数精度=212、证明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度证明：当 =1时，f fd'&K =b - a公式左边：“当=x时1 十 4 +1公式右边：左边=右边左边:iZ右边:“血+旬自左边= 右边左边:左边:iZ右边:b23左边=右边右边:左边=右边时左边:右边:b a

41、故丁 0具有三次代数精度 13、试确定常数A, B, C和；使得数值积分公式I符)必7 (勺)+申禺+©3有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的?165,x 土一，该数值求积公式具有 5次代数精确度,解第五章常微分方程一、填空题1、求解阶常微分方程初值问题y = f(x,y)，y(xo)=yo的改良的欧拉公式为ynhf (Xn, yn)0yn 1yn 1yn h f (Xn, yn) f X 1, 丫初肆)2y f(x,y)2、解初值问题y(Xo) y。的改良欧拉法yn 1yn0yn 1hf ( Xn , yn )2yn hf(Xn,yn)

42、g,閉)是Jy'=jay3、解初始值问题 I近似解的梯形公式是 $4、解常微分方程初值问题.1 ': '. . |-|.- 的梯形格式一 -、 1 J -I -I-是二阶方法二、计算题0 x 1，取步长h=0.1计算到y5。dy 2 x x y1.用改良欧拉方法计算初值问题dxyo 0yn 1 ynhf (xn, yn)解：改良的欧拉公式h-f (Xn, yn)2yn 1 Ynf (xn1,yn 1)代入 f (x, y) x2x y,且 Xnnh,有ynh 21y n x n22xnynx n1x n 1y nh(x2x ny n )yn 0.052(1.9x n2

43、1x n-1.9yn 0.11)(n0,.1,2,3,4)Xn0.10.20.30.40.5yn0.005500.02193 0.05015 0.090940.14500相比拟x=0.5 ，并与准确解解：用梯形法求解公式，得解得精确解为y XV 0x13 .用改良的Euler法解初值问题；取步长h=0.1计算y 0.5，并与精V 01,确解y x 1 2ex相比拟。计算结果保存到小数点后 4位解：改良的尤拉公式为：yn 1y hfxn,yny 1h f ynf2Xn, ynf xn 1 , yn 1代入f x,y xy和xnh，有y 1hyn 22h xn2 hyn hh2 2h2-nh222

44、nhh22yn2代入数据，计算结果如下:n012345Xn00.10.20.30.40.5yn1001.11211.24851.39181.58491.79y(Xn)1031.11281.24971.39361.58741.794.设初值问题y' x2 100y,y 00，a由Euler方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式；b由改良Euler方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。解：a根据Euler公式:yn 1ynhfXn,ynyn 1ynhf X；100yn2yn 111yn 0.001n3分yn 1ynhfXn,ynb 根据改良Euler公式:h5

45、分yn 1ynf Xn,ynf Xn 1, yn 12h 22yn 1 yn 二人 1°°丫人11°°%12h 222=yn-Xn100% Xn 1100nhX.100丫.h2=yn1200yn 12x2 0.2xn 0.012=61yn 0.006n0.001 n 0.00055设初值问题y X y x 0 , y(0) 1a) 写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；b) 写出由改良Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。 解：a)根据Euler公式：yn 1yn hf Xn, ynYn 1 Yn n0.

46、1(Xn Yn)0劭.0.%b )根据改良Euler公式:yn 1h2ynhf Xn , ynXn, ynf Xn 1, yn 1yn 1ynXn=ynXnXnyn2Xn=0.905yn 0.095xn 0.005Xn 1yn 1Xn 1ynh XnynXnhynhXnhyn2h h2h2yn 1ynynynyn26、用欧拉方法求x t2y(x) 0 e dt在点x 0.5,O,1.5, 2.0 处的近似值。解:y(x)X0et2pll等价于x2 eY y(0) 0x 0)记 f(x, y)那么由欧拉公式x2取 h 0.5, x00,x10.5, x21.0, x31.5, x42.0yn 1yn hf (Xn,yn)y。0n0,123可得y(0.5)y10.5,y(1.0)y2 0.88940y(1.5) y 1.07334,y(2.0)y41.126047、取步长h 0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题y 2x3yy(0) 1(0 x 1)yn 1yn0.2(2xn3 yn)答案：解：(0)y n 1y n0.1 (2 xn3yn)(2xn 13y n 1 )即yn 1 0.52xn 1.