工程力学C：第十四章 复杂应力状态强度问题

1、一、强度理论产生的背景一、强度理论产生的背景 杆件受到轴向拉压时，杆内处于单向应力状态，因此单向杆件受到轴向拉压时，杆内处于单向应力状态，因此单向应力状态下的强度条件只需要做拉伸或压缩试验便可解决。应力状态下的强度条件只需要做拉伸或压缩试验便可解决。轴向拉伸（压缩）强度条件中的许用应力是由试验测定的材轴向拉伸（压缩）强度条件中的许用应力是由试验测定的材料的屈服极限或强度极限除以安全系数而得的。料的屈服极限或强度极限除以安全系数而得的。 但工程上受力构件很多属于复杂应力状态，要通过试验建但工程上受力构件很多属于复杂应力状态，要通过试验建立强度条件几乎是不可能的，于是人们考虑，能否从简单应立强度条

2、件几乎是不可能的，于是人们考虑，能否从简单应力状态下的试验结果去建立复杂应力状态的强度条件？为此力状态下的试验结果去建立复杂应力状态的强度条件？为此人们对材料发生屈服和断裂两种破坏形式进行研究，提出了人们对材料发生屈服和断裂两种破坏形式进行研究，提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种材料在不同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种假设，这些假设称为假设，这些假设称为强度理论强度理论。根据这些假设，就有可能。根据这些假设，就有可能利利用单向拉伸的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件用单向拉伸的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件. .二、材料失效的原因分析二、材料失效

3、的原因分析1、 实例实例低碳钢低碳钢铸铁铸铁2、 破坏形式分析破坏形式分析(1)(1)屈服屈服：产生明显的塑性变形，剪切产生的滑动：产生明显的塑性变形，剪切产生的滑动(2)(2)断裂断裂：突然断裂，拉断或剪断：突然断裂，拉断或剪断通常以屈服极限作为失效应力通常以屈服极限作为失效应力 通常以强度极限作为失效应力通常以强度极限作为失效应力1、 定义：定义： 材料发生失效时，应力或变形所应满足的条材料发生失效时，应力或变形所应满足的条件，该条件就称为件，该条件就称为失效判据失效判据。三、失效判据三、失效判据2、建立失效判据的方法、建立失效判据的方法 l 简单应力状态：简单应力状态： 通过实验直接建立

4、通过实验直接建立 （1）单向应力状态：）单向应力状态： u max（2）纯剪切应力状态：）纯剪切应力状态： u max 除实验以外，还需对失效的原因作一些假设。除实验以外，还需对失效的原因作一些假设。l 复杂应力状态：复杂应力状态： 1、 概念概念 强度条件说明在什么条件下构件不会失效强度条件说明在什么条件下构件不会失效 失效判据是以材料的极限应力为标准失效判据是以材料的极限应力为标准； 强度条件是以材料的许用应力为标准。强度条件是以材料的许用应力为标准。强度强度 限制构件中危险点的应力（应力的最大值）小限制构件中危险点的应力（应力的最大值）小于、最多等于材料的许用应力。于、最多等于材料的许用

5、应力。四、强度条件四、强度条件 受力构件具有的抵抗破坏的能力。受力构件具有的抵抗破坏的能力。2、 简单简单应力状态的强度条件应力状态的强度条件（1）正应力强度条件正应力强度条件： max（2）剪应力强度条件剪应力强度条件： max例如，轴向拉压变形、平面弯曲变形、斜弯曲变形例如，轴向拉压变形、平面弯曲变形、斜弯曲变形*、拉压与弯曲组合变形拉压与弯曲组合变形*的强度计算均采用这个条件。的强度计算均采用这个条件。例如，圆轴扭转的强度计算采用这个条件。例如，圆轴扭转的强度计算采用这个条件。3、 复杂应力状态的强度条件复杂应力状态的强度条件231max321fvuuu321主应力状态：主应力状态：强度

6、理论强度理论简单应力状态简单应力状态的强度条件的强度条件 max复杂应力状态复杂应力状态的强度条件的强度条件 r?=r1bub1 n1ub123() n 123b() 或或maxus13 n13s22或或222212233111()()()(2)66sEEduuus()()()22212233112222s1223311()()() 2n rr r11 r2123() r313 222r41223311()()()2222r4122331222()()()2(4)3 211例例1 1 试写出扭转轴四个强度理论的强度条件。试写出扭转轴四个强度理论的强度条件。mm113 3 解：解：r1 1r2(

7、)() 123131r33 12例例2 2已知已知 ：铸铁构件上：铸铁构件上 危险点的应力危险点的应力 状态。铸铁拉状态。铸铁拉 伸许用应力伸许用应力 =30MPa。求：校核该点的强度。求：校核该点的强度。解：解：首先根据材料和应力状态确定失效形式，首先根据材料和应力状态确定失效形式，选择设计准则。选择设计准则。脆性断裂脆性断裂，最大拉应力理论，最大拉应力理论 r1= 1 其次确定主应力其次确定主应力2max2min22xyxyxy或，最大伸长线应变理论或，最大伸长线应变理论 r2= 1（ 2 3 ） 129.28MPa,23.72MPa, 30 r1= 1 = 30MPa结论：强度是安全的。

8、结论：强度是安全的。 和和 解解：首先确定主应力首先确定主应力2214212 2234212 02 第三强度理论：第三强度理论：第四强度理论：第四强度理论：222r 41223311()()()2 223224r313 和和 第三强度理论第三强度理论 第四强度理论第四强度理论 22r34 22r43已知：已知：=140MPa, =90MPa试设计工字梁。试设计工字梁。例例4 4Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD（1）求内力，作内力图。）求内力，作内力图。解：解：查表知，可选查表知，可选No.32a工字钢工字钢, Wz=692.2cm3, d=9.5mm（3）用剪应力

9、强度条件校核）用剪应力强度条件校核xFS200KN200KN（2）由正应力条件求）由正应力条件求Wz3maxcm600MWz*max.MPa SzzF SbI76 67Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CDxFS200KN200KN（4）再对翼缘和腹板的交界处的）再对翼缘和腹板的交界处的复杂应力状态进行校核。复杂应力状态进行校核。 故应增加钢号，可选故应增加钢号，可选No.32c工工字钢字钢, Wz=761cm3,这时，交界处这时，交界处=100MPa，=37.32MPa，r3=124.8MPa,满足强度。满足强度。. MPazMyI84 0 145109 711100

10、56.5MPaSzzF SbIMPa73.1574223 r对称轴轴线纵向对称面轴线FF轴线MeMe偏心受拉偏心受拉压缩和弯曲压缩和弯曲（1 1）叠加原理叠加原理 即假定各个载荷对构件的效应，彼此独立，任一载荷即假定各个载荷对构件的效应，彼此独立，任一载荷所引起的应力和变形不受其它载荷的影响。所引起的应力和变形不受其它载荷的影响。 实际表明，在小变形情况下这个原理足够精确。实际表明，在小变形情况下这个原理足够精确。力作用的独立性原理：力作用的独立性原理：材料处于线弹性范围：材料处于线弹性范围： 载荷与应力、变形之间是线性关系。载荷与应力、变形之间是线性关系。（2 2）基本步骤：）基本步骤： 将

11、作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几将作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形；组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形； 分别计算构件在每一组基本变形载荷下的内力、应力、分别计算构件在每一组基本变形载荷下的内力、应力、变形；变形； 将各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、将各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、变形；变形； 最后作强度和刚度分析计算。最后作强度和刚度分析计算。1.1.拉伸或压缩横截面上的正应力拉伸或压缩横截面上的正应力NFA FN 截面上的轴力；截面上的轴力；A 横截面的面。横截面的面

12、。 横截面上的正应力，横截面上的正应力，拉正压负。拉正压负。FNF2.弯曲变形横截面上的正应力弯曲变形横截面上的正应力zMyIM M 横截面弯矩横截面弯矩y y 所求应力点到中性轴的距离所求应力点到中性轴的距离I Iz z 横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩 距中性轴为距中性轴为y y的点的正应力的点的正应力z0M 1yFF产生弯曲变形产生弯曲变形PyPxyzlxcosxPPsinyPP将将P分解分解产生轴向拉伸产生轴向拉伸xPxMzyP l轴力引起截面上的正应力：轴力引起截面上的正应力： NFAxPA组合变形横截面上的应力：组合变形横截面上的应力：弯矩引起截面上的正应力：弯矩引起截

13、面上的正应力：zzM yI ()yzP lxyI,maxc,maxtx面上总应力：面上总应力：NzzFM yAIN,maxztzFMAWN,maxzczFMAWxPx 面上最大正应力：面上最大正应力：xFN危险截面的应力：危险截面的应力：Nmax,maxztzFMAWNmax,maxzczFMAW拉压弯组合变形强度条件：拉压弯组合变形强度条件：Nmax,maxzttzFMAWNmax,maxzcczFMAWPyPxyzlxxPxNxPxMzlPx,maxc,maxt 偏心压缩与截面核心（偏心压缩与截面核心（矩形截面矩形截面）：）： N,yzFPMPaMPb 任意截面上的内力：任意截面上的内力：

14、NFAyyM zIzzM yIcdN,yzFPMPaMPb zyzyzyNyzyzM zFM yAII2266PPaPbd ccdcd331212PPa zPb yd ccdcdmaxmaxctNyzyzMFMAWW 使截面上使截面上只存在压应力只存在压应力而而无拉应力无拉应力时，时，偏心压力偏心压力P作用的区域。作用的区域。截面核心截面核心: :2266PPaPbd ccdcdmaxmaxctNyzyzMFMAWWNmaxyztyzMFMAWW2266PPaPbd ccdcd 016abcd0066 dcabba16abcd 使截面上使截面上只存在压应力只存在压应力而而无拉应力无拉应力时，时

15、，偏心压力偏心压力P作用的区域。作用的区域。截面核心截面核心: :N,FPMPa Nmax230432tFMPPaddAW 8da 圆截面杆的截面核心圆截面杆的截面核心 一、应力计算一、应力计算 中性轴的位置中性轴的位置sincosyzPPPPcos ()Plxsin ()Pl x ()zyMP lx()yzMP lxcosMsinM2将引起对称面将引起对称面xzxz面内的弯曲面内的弯曲将引起对称面将引起对称面xyxy面内的弯曲面内的弯曲yzPMzyP MsinzzzM yMyII cosyyyM zMzII cosMsinMsincoszyyzMII xMyzPlMzxyPlyzPMzyP

16、MABmaxmax,maxyztyzMMWWmaxmax,max()yzcyzMMWW 横截面上仅存在正应力，横截面上仅存在正应力， 危险点处于单向应力状态危险点处于单向应力状态。最大应力与强度计算：最大应力与强度计算：tcsincoszyyzMII 000sincoszyyzMII 确定中性轴的位置：确定中性轴的位置：故中性轴的方程为：故中性轴的方程为：00sincos0zyyzII设中性轴上某一点的坐标为设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则，则中性轴是一条通过截面形心的直线中性轴是一条通过截面形心的直线中性轴中性轴00tgtgyzIzyI00tgtgyzIzyI二、位移计算二、位移

17、计算 斜弯曲概念斜弯曲概念为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法33sin33yyZZPlPlfEIEI33cos33zzyyPlPlfEIEI22yzffftgyzff中性轴中性轴总挠度总挠度 f 与中性轴垂直与中性轴垂直tgtgtgyzII载荷平面载荷平面挠曲线平面挠曲线平面梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合 当当 时，时，梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面重合，此时实际发生的是平面弯曲。如：重合，此时实际发生的是平面弯曲。如：yzII特例：特例：tgtgtgyzIIM

18、e3MeMeTMeTnnpTImaxmaxPTW回顾：受扭构件截面上的内力和应力回顾：受扭构件截面上的内力和应力1.扭矩：扭矩： T 将扭矩按右手法则表示成矢量将扭矩按右手法则表示成矢量T，若其，若其方向与截面的外法线方向一致，此扭矩为方向与截面的外法线方向一致，此扭矩为正，反之为负。正，反之为负。2.任意点切应力、切应力分布任意点切应力、切应力分布 3.切应力最大值切应力最大值 pPIWR抗扭截面系数抗扭截面系数A截面为危险截面：截面为危险截面：MPlTPa 考虑考虑AB杆的强度问题杆的强度问题21232220k1k2PMWTWMPlTPa K1点的应力状态：点的应力状态：33P,3216d

19、dWWr31322422P4MTWW22MTW222r41223311()()()2223220.75MTWP,MTWW2123222022r322r40.75MTWMTW圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力： 332dW危险截面：危险截面：MPlTPa 第三强度理论第三强度理论 第四强度理论第四强度理论 22r34 22r434NFAzMyINFMTpTI例例1：图示图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力形截面杆，在自由端作用一集中力P，该杆的变形设有四种答案：该杆的变形设有四种答案：（A）平面弯曲变形；）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形；）斜弯曲变形；（C）弯扭

20、组合变形；）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。）压弯组合变形。 例例2：具有切槽的正方形木杆，受力如具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：（图。求：（1）m-m截面上的最大拉应截面上的最大拉应力力t 和最大压应力和最大压应力c；（；（2）此）此t是截面是截面削弱前的削弱前的t值的几倍？值的几倍？NtcFMAW224226PaPaaa2284PaPa解：解：8倍倍 例例3：图示偏心受压杆。试求该杆中不出现图示偏心受压杆。试求该杆中不出现拉应力时的最大偏心距。拉应力时的最大偏心距。解：解：N,FPMPe NtFMAW26PPehbbh 06be 例例4：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径一折杆

21、由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力试求圆杆的最大拉应力t和最大压应力和最大压应力 c 解：解：3kN4kNAAXY Ns3kN4kN ( )4AAAFXFYM xYxx N1 13kN8kN m FM tNcFMAW33233 108 10432dd 81.1MPa81.9任意横截面任意横截面x上的内力：上的内力：MWNFAMW 例例5：偏心拉伸杆，弹性模量为偏心拉伸杆，弹性模量为E，尺寸、受力如图所示。，尺寸、受力如图所示。求：求： （1）最大拉应力和最大压应力的位置和数值；）最大拉应力和最大压应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。长度的改变量。解：解

22、：N,22yzPhPbFPMMNytzcyzMFMAWW222266PhPbPbhhbbh75PbhPbh最大拉应力发生在最大拉应力发生在AB线上各点线上各点最大压应力发生在最大压应力发生在CD线上各点线上各点lEbhP)/7(组合变形组合变形xFNxPxMzlPx,maxc,maxtxyzlPyPxxP内力分量包括轴力和弯矩，内力分量包括轴力和弯矩，它们均只带来横截面上的正应力，它们均只带来横截面上的正应力，因此危险点处于单向应力状态因此危险点处于单向应力状态。max,maxNztzFMAWmax,maxNzczFMAW 1、应力、应力-强度计算强度计算xMyzPlMzxyP lyzPMzy

23、P MABmaxmax,maxyztyzMMWWmaxmax,max()yzcyzMMWW 横截面上仅存在正应力横截面上仅存在正应力 ，危，危险点处于单向应力状态险点处于单向应力状态。 危险截面：危险截面：MPlTPa 2232240.75rrMTWMTW 332dW 其中：横截面上既有正应力，又有切应横截面上既有正应力，又有切应力，危险点处于复杂应力状态力，危险点处于复杂应力状态。 例例6：求图示杆在求图示杆在P=100kN作用下的作用下的t数值，并指明所在位置。数值，并指明所在位置。解：解：326100 10500020MPa0.2 0.1100 200 106t最大拉应力发生在后背面上各

24、点处最大拉应力发生在后背面上各点处例例7：直径为直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知，已知=170MPa试用第三强度理论确定试用第三强度理论确定的许可值。的许可值。例例7：直径为直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知，已知=170MPa试用第三强度理论确定试用第三强度理论确定的许可值。的许可值。解：解：ABC内力图：内力图：M图Pa2PaT 图Pa危险截面：危险截面：AaPaT2 . 0maxaPaM4 . 02max轴的抗弯截面系数：轴的抗弯截面系数：332dW30.023230.0232737.854 10 m例例7：直径为直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知，已知=170MPa试用第三强度理论确定试用第三强度理论确定的许可值。的许可值。解：解：ABCM图Pa2Pa