高等数学课件：D1_9 无穷小的比较

1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 第一章第一章 二、等价无穷小二、等价无穷小一、无穷小比较的概念一、无穷小比较的概念第一节第一节函数及其表示 第一章第一章 第九节无穷小的比较无穷小的比较高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期0 x 23,sinx xx都是无穷小都是无穷小,引例引例 .20lim3xxx0, 20sinlimxxx, 0sinlim3xxx13 但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . 时，时， 一、无穷小比较的概念一、无穷小比较的概念高等数学高等数学

2、化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期lim0,kC 定义定义1.lim0, 若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,( )o lim, 若若若若若若lim1, 若若lim0,C 或或, 设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期?cos1lim20 xxx2

3、200222(sin)(sin)122limlim2()4()22xxxxxx 222002sin1cos2limlimxxxxxx 00sinsin1122limlim2222xxxxxx 例例1解解高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期21cosxx 与与1cos( )xx 211cos2xx 阶无穷小量的是2cos1xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxx（高阶）（高阶）（同阶）（同阶）（等价）（等价）高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例2 证明：证明：当当0 x时，

4、时，xx3tan4x为为 的四阶无穷小的四阶无穷小.解解430tan4limxxxx30tanlim4 xxx. 4 故当故当0 x时，时，xx3tan4x为为的四阶无穷小的四阶无穷小.例例3 当当0 x时，时， 求求xxsintan 关于关于x的阶数的阶数.解解30sintanlimxxxx 20cos1tanlimxxxxx.21 当当0 x时，时，xxsintan x为为的三阶无穷小的三阶无穷小.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期因此当因此当 时时, 记记0 x, 1sinlim0 xxx例例 由于由于, 1tanlim0 xxx, 1ar

5、csinlim0 xxx, 1arctanlim0 xxxxxsin xxtan xxarcsin xxarctan 二、等价无穷小二、等价无穷小211cos2xx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期?)1ln(lim0 xxx解解xxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim 1lnlim)1(lim10 uexeuxx因因为为1)1ln(lim0 xxx所所以以例例4高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期当当 时时, 有如下等价无穷小关系有如下等价无穷小关系0 xxxsin xxtan xxar

6、csin xxarctan 等价无穷小等价无穷小211cos2xx ln(1) xx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期01lim?xxax 01limxxax 0limlog (1)tatt ) 0(ln1 xaxax1(0)xexx 解解例例5 求求令令1xat 则则log (1)axt 当当0 x 时，时，0t 于是于是lna高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期当当 时时, 有如下等价无穷小关系有如下等价无穷小关系0 xxxsin xxtan xxarcsin xxarctan 等价无穷小等价无

7、穷小211cos2xx ln(1) xx 1 lnxaxa 1xex 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例6. 证明证明: 当当0 x 时时,证证:1 nnab()ab 1(na 2nab 1)nb 11nx 1xn11nx 1xn( 1)1nnx 1xn1( 1)nnx 2( 1)nnx 所以当所以当0 x 时时,11nx 1xn0 limx0limx 1 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期当当 时时, 有如下等价无穷小关系有如下等价无穷小关系0 xxxsin xxtan xxarcsin xx

8、arctan 等价无穷小等价无穷小211cos2xx ln(1) xx 1 lnxaxa 1xex (1)1xx 11nx 1xn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注注:当当0 x时时, ,x为无穷小为无穷小, ,在常用等价无穷小在常用等价无穷小中中, ,用任意一个无穷小用任意一个无穷小)(x 代替代替,x等价关系依等价关系依然成立然成立. .例如例如, ,时时, ,1x, 0)1(2 x有有从而从而22)1()1sin( xx).1(x33ln(1) xx 211nx 21xn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学

9、期学年第一学期定理定理1 . 设设且且存在存在 , 则则limlim 证证:lim lim lim lim lim lim 注注: : (1)(1)(2)(2)不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换; ;对于代数和中各无穷小不要随便对于代数和中各无穷小不要随便分别替换分别替换. ., , lim 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例8 求求30sinlim3xxxx 20lim(3)xxx x 13 例例7 求求0tan2limsin5xxx02lim5xxx 25 30tansinlimxxxx 30limxxxx 原式原式30tan(

10、1cos )limxxxx 23012limxxxx 例例9 求求解解: 原式原式 代数和不要代换！代数和不要代换！12 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例10. 求求1230(1)1limcos1xxx 解解:当当0 x 时，时，132(1)1 x 213xcos1 x 212x 20213=lim12xxx 原原式式23 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 11 计算计算.121tan1tan1lim0 xxxx解解 由于由于0 x时，时，,121xx ,tanxx故故121tan1ta

11、n1lim0 xxxx)tan1tan1(tan2lim0 xxxxx )tan1tan1(2lim0 xxx . 1 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 12 求求.cossec)1ln()1ln(lim220 xxxxxxx 解解 先用对数性质化简分子，先用对数性质化简分子， 得得原式原式,cossec)1ln(lim420 xxxxx 因为当因为当0 x时，时， 有有,)1ln(4242xxxx xxcossec xxcoscos12 xxcossin2 所以所以原式原式2420limxxxx . 1 .2x高等数学高等数学 化学化学1

12、41、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 13计算计算.)1ln(lim2cos0 xxeexxxx 解解 注意到当注意到当0 x时，时，,)1ln(22xx 1cos xxxe所以所以)1ln(lim2cos0 xxeexxxx )1ln()1(lim2coscos0 xxeexxxxxx 2cos0)cos(limxxxxxexxx 2cos0)cos1(limxxexxx .21 ,cosxxx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期等价无穷小的充要条件等价无穷小的充要条件定理定理2 与与 是等价无穷小的充分必要条件是是等价无

13、穷小的充分必要条件是).( o 证证 必要性必要性设设, 则则)1lim(lim 1lim , 0 因此因此,),( o 即即).( o 充分性充分性设设),( o 则则 )(limlimo )(1lim(ao , 1 因此因此,. 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期等价无穷小的充要条件等价无穷小的充要条件定理定理2 与与 是等价无穷小的充分必要条件是是等价无穷小的充分必要条件是).( o 例如例如, , 当当0 x时时, ,无穷小等价关系无穷小等价关系,sinxx221cos1xx 可表述为可表述为),(sinxoxx ).(21cos22xo

14、xx tan( ),xxo xln(1)( ),xxo x高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 14.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ),(2cos122xoxx 原式原式)(3)(2)(5lim220 xoxxoxxoxx xxoxxoxxxox)(3)(2)(5lim20 .35 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结1. 无穷小的比较的概念无穷小的比较的概念, 0lim 就说就说 是比是比高阶的无穷小，高阶的

15、无穷小，记作记作);( o ,lim ),0(lim CC , 1lim 称称 是比是比低阶的无穷小低阶的无穷小.就说就说 与与是同阶的无穷小；是同阶的无穷小；则称则称 与与是等价的无穷小，是等价的无穷小，高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期),0, 0(lim kCCk 1. 无穷小的比较的概念无穷小的比较的概念, 1lim 则称则称 与与是等价的无穷小，是等价的无穷小，记作记作; 就说就说 是是的的k阶无穷小阶无穷小.注注：无穷小比的极限不同，：无穷小比的极限不同，反映了同一过程中，反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度

16、快慢 .内容小结内容小结内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结2. 主要性质主要性质 )1( );(o )2( , lim,存在存在.limlim 3. 常用等价无穷小常用等价无穷小xsinxxxtanxarcsinxxarctanxxcos1 221x)1ln(x x1)1( xx 0( 且为常数且为常数)1 xex1 xa).0(ln aax内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期课堂练习课堂练习1. 当当x0时时，. 21(sincos)xxx 与与(1cos )ln(1)xx是否为同阶无穷小？是否为同阶无穷小？答案：是答案：是12高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期课堂练习课堂练习2. 求