Mallat算法小结含MATLAB编程

1、Mallat算法小结一、发展背景1987 年,Mallat and Meyer 提出了 多分辨分析(Multiresolution Analysis),从而成功的统一了在此之前的 St:ronibe:rg、Meye:r、Lema:rie 和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情 形。并且Mallat在图像的分解与重构的塔式算法的启发下，根据多 分辨率理论，提出小波分解与重构的快速算法，称为Mallat算法。二、算法优点Mallat算法可以避免尺度a值越大，对信息屮(t)的釆样就得越 密的缺点，这一算法在小波分析中地位很重要，相当于快速傅里叶变 换(FFT)在经典傅里叶分

2、析中的地位。三、基本原理及步1、Mallat算法的信号分解1) 根据多分辨率理论，得出结论：n其中，Pjf(t): f (t)在Vj中的投影，是f(t)在分辨率j下的平滑逼 近。X：线性组合的权重,也就是f (t)在分辨率j下的平滑逼近的概貌。帖化)：离散后的正交小波基当j二0时，Pof (t)二£%(/)(1)n由于%-<P 丿(U 加(t)=P 0 /，血'(t)因为Dxf (t)与加(t)正交，所以DJ(t),比(t)> = 0,所以X：)=<XA 血(0)=2九血(t)£(2)nn其中九(t)亦(t)=%(m2k)代入(2)得一P以

3、9;/ C、Xk Ln-?k)Xn(3)n注：xj为离散平滑逼近类似还可以得到(込)£?(4)n注：为离散细节信号即小波信号2) 从设计滤波器的角度考虑，设尸兀丁(炉工/lo(kn)x7(5)n经过二抽取后，得(1) _ 1Xk Xik将(5)式代入上式，得显违炉2町£：)(6)n类似还可以得到卜工仏如兀(7)n注：(6) (7)式表现了由V。到仏，M的分解。仿照前面的步骤推导出如下结论兀=工血(t)血(t)£：)=0o” (t),血(t)£：)(8)nndf 吃血(t),沏(t)£吃00“ (t),%(t)£(9)nn其中分解系数为

4、血(U 0k (t)=0On (U 血(t)W)(n-2k)血，忽=0o” (U(Plk (t)=gk)这样我们可以逐级引申，对云做由也到V2, W2的分解，得到 £和 d?，再对做由也到也，见的分解，得到和d：»，对£ 由Vj到V“ W迫的分解，所需的电路结构不变，且滤波器的系数仍为(上)=%o(k)，力i(去)=h(k) o3) 如下图所示的网络结构可以重复推演下去。图1网络级联结构2、Mallat算法的信号重建用类似的思路，可以逆推重建过程，由上可知v-vj+1©wJ+1 所以Pjjf (t)=P f (t)+Dj f (t)KK又£w=

5、PM(t)0“(t)因此£2M(t)，04(t)£+Y(t)，0*(t)d?KK由Mallat算法的信号分解中相同的证明，我们可以得到02,04 (0=血(t),0On (t)=ogk) 如(t)7-l.n (t)=血(t)，0On (t)2k) 所以%r)=E力ogk产:+工九如d r(10)K '7 K KKK(10)式反映了相邻两级的反演关系，其中X?是第j级的离散平 滑信号，d?是第j级的离散细节信号；兀；是由和d?重建得到 的第j-i级离散平滑信号。这里go（k）=0io（t）"ok（t）gi（k）=o（t）,0ok（t）其中g°（k）

6、、®（k）与前面的A0（k）. %（k）样，为重建系数。下图为 信号重建的网络结构。图2信号重建的网络结构四、Mallat算法分解与重建的比较（1）Mallat算法的信号分解系数仏、人相当于分析滤波器；而Mallat算法的信号重建系数gQ、g相当于综合滤波器；（2）在重建式（10）中，是对k求和，而在分解式（3）和（4） 中，是对n求和；（3）在分解算法中信号是先滤波后抽取，而在重建算法中是先插值后滤波。五、Mall at算法的MATLAB算法编程举例：应用Mallat算法实现两个正弦混合波的分解与重构，分别采用db30小波 和db4作为小波函数，分解阶数分别取4和6,并将结果比较分

7、析。MATLAB 程序：(1) %n是阶数n = 6,小波函数为db30clc;clear;%1信号源：混合正弦波fl=50; % 频率 1£2=100;% 频率 2n = 6; %n是阶数t = 0 : l/(2A(n)-l) : 1;N = length( t);y=sin(2*pi*fl*t4-sm(2*pi*f2*t); % 正弦波混合figiue(l)plot(y);xlabelCt=0：r)titled两个正弦信号的混合正弦波Jfigure(2) stem(abs(fft(v);titled混合信号频谱？%2.小波滤波器的谱分析h=wfilters(,db30',

8、T); % 低通 g=wfilters(,db30'；h,); % 高通h=lLzeros(l,N-lengtli(h); %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) g=g,zeros(l,N-length(g); %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) figiue(3);%滤波器图stem(abs(fft(h);Mleff氐通滤波器图，)figure(4);stem(abs(ffi(g);htleC高通滤波器图？% 3.MALLET分解算法(圆周卷枳的快速傅里叶变换实现)sig 1 =ifft(fft(v). *fft(h); % 低通(低频分量)sig2=ifft(fft(v)

9、.*fft(g); % 高通(高频分量)figure(5); %分解信号图subplot(2,l,l) plot(real(sigl);titled分解信号1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figiire(6); %分解信号频谱图 subplot(2,l J) stem(abs(fft(sig 1);titled分解信号1频谱？subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2); titled分解信号2频谱？ % 4.MALLET重构算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2)

10、; % 2 抽取 sigl=dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:NJ); % 去掉最后一个零 sig2=sig2(l,1:NJ); % 去掉最后一个零 hr-h(end>l:l); % 重构低通 gi-g(end>l:l); % 重构高通hi=circshift(hf, 1)' %位置调整圆周右移一位 gLcircshifqgFJ)' %位置调整圆周右移一位 sigl=ifft(ffi(hr).*fift(sigl); % 低频 sig2=ifft(fft(gr). *fft(s

11、ig2); % 高频 sig=sigl+sig2; % 源信号 figure(7); %信号重构图 subplot(2,l J) plot(real(sigl);曲e(，低频信号重构，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);曲e(，高频信号重构，)；figure ； subplot(2,l J) stem(abs(fft(sig 1);titled重构的低频信号频谱?；subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2);titled重构的高频信号频谱?； %5.重构信号与原信号比较 figme(9)%图形比较 plot(real(sig)/r71in

12、ewidth2); hold on;plot(y);legendf重构信号;原始信号？ dig重构信号与原始信号的比较图)两个正弦信号的混合正弦波图3两个正弦信号的混合正弦波混合信号频谱图4混合信号频谱低通滤波器图1.50.5q :卡:c010203040506070图5低通滤波器图高通滤波器图分解信号1rrrrrr0102030405060704)n1 1 1 iI1 fl 1 *Ji|nII11JiIlM1 1f 1II 111 1 1 A 1LL1 1JI1flAftkIInllAliL1ii A11 J1 1 1 1L1 11 1 fl 1-JIM| ： » ii 11 f

13、(111 1 V 1 I11 i i it it(I v I> I * *iIlli F 11| 1 / 1 I I J I I 1(V I 1 | i IH 1 1Il /1 1 /.|1 f 11 t r 1U / I1 fIf u Jy il1iiiti1 rIi1 I Ii1i 1I III 11I|*11|f IJ fII*1* 1 II 11 I 1 1 W f 11 11 1 aII i if11 U (/ B* | 1V1 11 1 1 1-l/-u1 1 I 1/VM11 (1 T«f lj PH11 i I1-rrrrrr010203040506070图7分

14、解信号图分解信号1频谱50厂40302010°omi；了;不?10卜 Mi f i TD r 丫 :匚 “my i xm：， 20u-r.几兀JL304050卞 Yiy I6070图8分解信号频谱图图8分解信号频谱图分解信号2频谱图8分解信号频谱图图8分解信号频谱图-1低频信号重构10-210203040506070高频信号重构10-1-210203040506070图10重构信号频谱-1图10重构信号频谱-1图9信号重构图 重构的低频信号频谱图10重构信号频谱-1302010°01020304050160-£70图10重构信号频谱-1图10重构信号频谱-130重

15、构的高频信号频谱图10重构信号频谱-1图10重构信号频谱-12010010203040506070图10重构信号频谱重构信号与原始信号的比较图图11重构信号与原始信号的比较图(2) %n是阶数n = 8,小波函数为db30clc;clear;%1信号源：混合正弦波fl=50; % 频率 1£2=100;% 频率 2n=8; %n是阶数t = 0: l/(2A(n)-l): 1;N = length( t);y=sin(2*pi*fl *t)+siii(2*pi*£2*t); % 正弦波混合figure(l)plot(v);xlab 亡 l(T=01)titled两个正弦信号

16、的混合正弦波？figure(2)stem(abs(fft(v);titleCig合信号频谱？% 2.小波滤波器的谱分析h=wfiltersCdb30T); % 低通g=wfilters(,db30li,); % 高通h=h,zeios(l,N-length(h); %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) g=g,zeios(l,N-length(g); %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) figuie(3);%滤波器图stem(abs(fft(h);titled低通滤波器图，)figure(4);stem(abs(fft(g);titled高通滤波器图？% 3.MALLET分解算法(圆

17、周卷枳的快速傅里叶变换实现) sig 1 =ifft(fft(v).*ffi(h); % 低通(低频分量) sig2=ifft(fft(v).% 高通(高频分量)figure(5); %分解信号图subplot(2,l ,1)plot(real(sigl);titled分解信号1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figme(6); %分解信号频谱图subplot(2,lstem(abs(fft(sig 1);titled分解信号1频谱？subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2); titled分解信号2频谱？ % 4.MALLET重

18、构算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2); % 2 抽取 sig 1 =dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:N); % 去掉最后一个零 sig2=sig2(l, 1:N); % 去掉最后一个零 hi-=h(end>l:l);% 重构低通 gi-g(end>l:l); % 重构高通hr=ckcshift(hf, 1)' %位置调整圆周右移一位 gf=ckcshift(gF,l)' %位置调整圆周右移一位 sig 1

19、 =iffi(ffi(hr).*fft(sig 1); % 低频 sig2=ifft(fft(gr). *fft(sig2); % 高频 sig=sigl+sig2; % 源信号 figure(7); %信号重构图subplot(2,l J) plot(real(sigl); htle(，低频信号重构，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);titled高频信号重构，)；figuie(8);subplot(2,l J)stem(abs(fft(sig 1);titled重构的低频信号频谱?； subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);titl

20、ed重构的高频信号频谱，)；%5.重构信号与原信号比较 figme(9)%图形比较 plot(real(sig)/rVlinewidth2); hold on;plot(y);legendf重构信号丁原始信号，) dig重构信号与原始信号的比较图)两个正弦信号的混合正弦波21.510.50-0.5-1-1.550100200250-2o150 t=0:1300图12两个正弦信号的混合正弦波300低通滤波器图0.5050100150200250300图14低通滤波器图1.5高通滤波器图图15高通滤波器图分解信号1图16分解信号图分解信号2频谱15010050-1-20100sSilil11卜15

21、0200图17分解信号频谱图低频信号重构250300LLLII4 d111111 11 1 .LnUj|Hi1 n idL I. hfiH L11 n nII II r fl l| |l it ； Il Ih 1 h h Hi A(I ll n B ll /10 llU11 II A1 1 1! 川I fl 1! 1I 11 i i iJi j| ul n n I I AH l l II II ill 11 Iillll 1 ! nil 11 11 r 1 il IIIiiIfiilII jJ /.1 1 ! r. >n; i1 t | II /1 | 八 | I! A | I11 1

22、1 i 1 i I 1HI II un HI 1 H| fl n11 h | 1 111I J I 1 V 1 I | II *j u l川I | JI I U II If U l( I! |il II ! ll i/ lill If If I1 1 i I 1I 1 II I 1II 1II II 1Jrr(yItI/ U 1 il i u u V U li III Un HI i' 111uu H i li yipu nrrrrr50100150200250300高频信号重构-2050100150200250300图18信号重构图150重构的低频信号频谱重构的高频信号频谱图19重构

23、信号频谱重构信号与原始信号的比较图图20重构信号与原始信号的比较图(3) 畑是阶数n二8,小波函数为db3clc;clear;%1信号源：混合正弦波fl=50; % 频率 1£2=100;% 频率 2n =8; %n是阶数t = 0 : 1/(2A(11)-1) : 1;N = length( t);v=sin(2*pi*fl*t)+sm(2*pi*£2*t); % 正弦波混合figiue(l)plot(y);xla21(T=0I)曲e(，两个正弦信号的混合正弦波Jfigure(2) stem(abs(fft(v);titled混合信号频谱？%2.小波滤波器的谱分析h=wf

24、iltersCdb3T); % 低通g=wfilters(,db3,；h,); % 高通h=lLzeros(l,N-length(h); %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) g=g,zeros(l,N-length(g); %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) figiue(3);%滤波器图stem(abs(fft(h);titled低通滤波器图，)figure(4);stem(abs(fft(g);htleC高通滤波器图？% 3.MALLET分解算法(圆周卷枳的快速傅里叶变换实现)sig 1 =ifft(fft(v). *ffi(h); % 低通(低频分量)sig2=ifft(ff

25、t(v% 高通(高频分量)figure(5); %分解信号图subplot(2,l ,1)plot(real(sigl);dleC分解信号1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figme(6); %分解信号频谱图subplot(2,l ,1) stem(abs(fft(sig 1);htleC分解信号1频谱？subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);htle(分解信号2频谱？ % 4.MALLET重构算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2); % 2 抽取 sig 1

26、=dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:NJ); % 去掉最后一个零 sig2=sig2(l,l:N); % 去掉最后一个零 hi-=h(end>l:l);% 重构低通 gi-g(end>l:l); % 重构高通 lu=circshift(hf, 1)' %位置调整圆周右移一位 gr=ckcshift(gF, 1)' %位置调整圆周右移一位 sigl=ifft(fft(hr).*fft(sigl); % 低频 sig2=iffi(ffi(gr). *fft(sig2); % 高频

27、sig=sigl+sig2; % 源信号 figure(7); %信号重构图 subplot(2,l J) plot(real(sigl);htle(，低频信号重构，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);titled高频信号重构，)；figure ； subplot(2,l J) stem(abs(fft(sig 1);titled重构的低频信号频谱?；subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2);titled重构的高频信号频谱，)； %5.重构信号与原信号比较 figure(9)%图形比较 plot(real(sig)/r71inewidt

28、h2); hold on;plot(y);legendf重构信号:原始信号，) dig重构信号与原始信号的比较图)两个正弦信号的混合正弦波21.510.50-0.5-1-250100200250150 t=0：1300图21两个正弦信号的混合正弦波混合信号频谱300图22混合信号频谱1.5低通滤波器图图23低通滤波器图高通滤波器图1.530图24高通滤波器图-1300LLLi-11 1 1 (MI1UI1 d Ji1 i ) In n11jllliuhHHlinhiHl Hlhfiii n Afl RR n 1 n1 | 1 A A | III 1 i I I t M ' 1H | (

29、 nil/ '.Ii!*-JII Hi 1(1IIIM i川II U 1III it IIU1UhI it y ii ii u 11 H U I! HyyIIIIIIIII Ii il II ii lllii1 UHillillln艸州jIII 卩川 Illi|n|rrrrr分解信号11050100200250150图25分解信号图分解信号1频谱图26分解信号频谱图低频信号重构LI 1 1 I I I h h kL 1I I fl 1 | A 1 'II llll I A 1 J1| 1 ! 1 1 I r| 1 1 1 1 1 1 I I J 1 1 1 f 11 1 1L山

30、1I i A In i n 11 ' 1di ftLIdlb11 I 1 III 1 Illi II 11|i|hL1Lh|b|J1 IrliTI'UH I；r H M1 |H|/ 1 (J HV n/ (|1 1H I riFflfl l w I idHyi 11 N1!Bl11 ni-2 1cc1050100150200250300高频信号重构图28重构信号频谱图28重构信号频谱图27信号重构图重构的高频信号频谱200250300图28重构信号频谱重构信号与原始信号的比较图图29重构信号与原始信号的比较图(4) %n是阶数n二6,小波函【为db3clc;clear;%1信号

31、源：混合正弦波fl=50; % 频率 1£2=100;% 频率 2n =6; %n是阶数t = 0 : l/(2A(n)-l) : 1;N = length( t);v=sin(2*pi*fl*t)+siii(2*pi*£2*t); % 正弦波混合figiue(l)plot(y);xlaHl(T=0I)曲e(，两个正弦信号的混合正弦波Jfigure(2)stem(abs(fft(v);titled混合信号频谱？%2.小波滤波器的谱分析h=wfiltersCdb3T); % 低通g=wfiltersCdb3,；h,); % 高通h=lLzeros(l,N-length(h);

32、 %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) g=g,zeros(l,N-length(g); %补零(圆周卷积，且增人分辨率变于观察) figuie(3);%滤波器图stem(abs(fft(h);titled低通滤波器图，)figure(4);stem(abs(fft(g);titled高通滤波器图？% 3.MALLET分解算法(圆周卷枳的快速傅里叶变换实现) sig 1 =ifft(fft(v).*ffi(h); % 低通(低频分量) sig2=ifft(fft(v).% 高通(高频分量)figure(5); %分解信号图subplot(2,l ,1)plot(real(sigl);tit

33、led分解信号1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figme(6); %分解信号频谱图subplot(2,lstem(abs(fft(sig 1);titled分解信号1频谱？subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2); titled分解信号2频谱？ % 4.MALLET重构算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2); % 2 抽取 sig 1 =dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:

34、N); % 去掉最后一个零 sig2=sig2(l, 1:N); % 去掉最后一个零 hi-=h(end>l:l);% 重构低通 gi-g(end>l:l); % 重构高通hr=ckcshift(hf, 1)' %位置调整圆周右移一位 gf=ckcshift(gF,l)' %位置调整圆周右移一位 sig 1 =iffi(ffi(hr).*fft(sig 1); % 低频 sig2=ifft(fft(gr). *fft(sig2); % 高频 sig=sigl+sig2; % 源信号 figure(7); %信号重构图subplot(2,l J) plot(real(sigl); htle(，低频信号重构，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);titled高频信号重构，)；figuie(8);subplot(2,l J)stem(abs(fft(sig 1);titled重构的低频信号频谱?；subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);titled重构的高频信号频谱，)；%5.重构信号与原信号比较figure(9)%图形比