中考中与平行四边形有关的动点问题探究

1、学习必备欢迎下载中考中与平行四边形有关的动点问题探究例 1 20XX 年福州市中考第21 题如图 1，在 Rt ABC 中， C 90°， AC 6， BC 8，动点 P 从点 A 开始沿边AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD/BC，交 AB 于点 D ，联结 PQ点 P、 Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（ t 0）（ 1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB_， PD _；（ 2）是否存在t 的值，使四边

2、形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动） ，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；（ 3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点 M 所经过的路径长图1图2思路点拨1菱形运动的时间PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在 ABC 的平分线上， PQ/AB先求出点 t ，再根据 PQ/AB，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度P2探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径满分解答（ 1）QB 8 2t， PD 4 t 3（ 2）如图 3，作 ABC 的平分线交 C

3、A 于 P，过点 P 作 PQ/AB 交BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形过点 P 作 PE AB，垂足为 E，那么 BE BC 8在Rt ABC中， AC6， BC 8，所以AB 10图 3在 RtAPE 中， cos AAE23，所以 t10 APt53当 PQ/AB 时， CQCP ，即 CQ61032 3 解得 CQCBCA869所以点 Q 的运动速度为 3210169315学习必备欢迎下载（ 3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t 0 时， PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3， 0)如图 5，当 t 4 时， PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1， 4)直线

4、EF 的解析式是 y 2x 6如图 6， PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（6 t ， t）经验证，点M（ 6t ， t）在直22线EF上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长， EF2 5图4图5图6考点伸展第（ 3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t 2 时， PQ 的中点为 (2， 2)设点 M 的运动路径的解析式为y ax2 bxc，代入 E(3， 0)、 F(1， 4)和 (2，2)，9a 3b c0,得 a b c 4,解得 a 0， b 2， c 64a 2b c2.所以点 M 的运动路径的解析式为y 2x 6例 2 20XX 年烟台市中

5、考第26 题如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D (3, 4) 以A 为顶点的抛物线 yax2 bx c 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P、 Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E（ 1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（ 2）过点 E 作 EF AD 于 F ，交抛物线于点 G，当 t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值为多少？（ 3）在动点 P、 Q 运动的过程中

6、，当 t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点 H ，使以 C、 Q、E、 H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值学习必备欢迎下载图 1思路点拨1把 ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（ 1）A(1, 4) 因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为代入点 C(3, 0)，可得 a 122所以抛物线的解析式为y (x 1) 4 x 2x 3y a(x1) 2 4，（ 2）因为 PE/BC，所以 APAB2 因

7、此 PE1 AP1 t PEBC22所以点 E 的横坐标为 11 t 2将 x 11 t 代入抛物线的解析式， y (x1) 2 4 41 t2 24所以点 G 的纵坐标为 41t2 于是得到 GE(41t2 )(4 t)1t2 t 444因此 S ACG S AGE S CGE1 GE(AFDF )1 t2t1 (t 2) 21244所以当 t 1 时， ACG 面积的最大值为 1（ 3） t20 或 t 20 8 5 13考点伸展第（ 3）题的解题思路是这样的：因为 FE /QC，FE QC，所以四边形FECQ 是平行四边形 再构造点F 关于 PE 轴对称的点 H ，那么四边形EH CQ

8、也是平行四边形再根据 FQ CQ 列关于 t 的方程，检验四边形于 t 的方程，检验四边形EHCQ 是否为菱形FECQ是否为菱形，根据EQ CQ列关E(1 1 t ,4t) ， F (11 t, 4) ， Q(3,t) ， C(3,0)22如图 2，当 FQ CQ 时， FQ 2 CQ2，因此 (1 t2) 2(4t) 2t2 2整理，得 t 240t 800 解得 t1 20 8 5 ， t2208 5（舍去）学习必备欢迎下载如图 3，当 EQ CQ 时， EQ2 CQ2，因此 (1 t2)2 (4 2t) 2t2 2整理，得 13t 272t 800 0 (13t 20)(t 40)0所以

9、 t120 ， t240 （舍去）13图2图3例 320XX 年上海市中考第24 题已知平面直角坐标系xOy（如图 1），一次函数y3 x 3 的图象与 y 轴交于点 A，点 M4在正比例函数y3 x 的图象上，且 MO MA 二次函数2yx2 bx c 的图象经过点A、 M（ 1）求线段 AM 的长；（ 2）求这个二次函数的解析式；（ 3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图象上，点 D 在一次函数 y 3 x 3的图象上，且4四边形 ABCD 是菱形，求点C 的坐标图 1思路点拨1本题最大的障碍是没有图形， 准确画出两条直线是基本要求， 抛物线可以不画出

10、来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MO MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得点 M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（ 3）题求点C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（ 1）当 x 0 时， y3 x 3 3，所以点 A 的坐标为 (0， 3)， OA34学习必备欢迎下载如图 2，因为 MO MA，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上， 点 M 的纵坐标为 3 将 y322代入 y3 x ，得 x 1所以点 M 的坐标为 (1,3 ) 因此 AM13 222c3,（ 2）因为抛物线

11、y x2bx c 经过 A(0，3) 、M (1,3) ，所以3 解得 b5 ，21b c.22c 3所以二次函数的解析式为y x2 5 x 3 2（ 3）如图 3，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AE CD ，垂足为 E在 RtADE 中，设 AE 4m， DE 3m，那么 AD 5m因此点 C 的坐标可以表示为(4m，3 2m)将点 C(4m，3 2m)代入 yx 2 5 x 3，得23 2m 16m2 10m 3 解得 m1 或者 m 0（舍去）2因此点 C 的坐标为（ 2， 2）图2图3考点伸展如果第（ 3）题中，把“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、B、C、 D 为顶

12、点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为 (7, 27) 4 16学习必备欢迎下载图 4例 4 20XX 年江西省中考第24 题将抛物线 c1： y3 x23沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示（ 1）请直接写出抛物线c2 的表达式；（ 2）现将抛物线c1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与 x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为D、E当 B、 D 是线段 AE 的三等分点时，求m 的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、 E、M

13、为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1把 A、 B、 D、E、 M、 N 六个点起始位置的坐标罗列出来，用m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2 B、 D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照 AB 与 AE 的大小写出等量关系列关于 m 的方程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答（ 1）抛物线 c2 的表达式为 y3x23 （ 2）抛物线 c1： y3 x23 与 x 轴的两个交点为 ( 1，0)、(1 ，0)，顶点为 (0, 3) 学习必备欢迎下载抛物线 c2： y3 x23 与 x 轴的两个交点也为(1， 0)、 (

14、1， 0)，顶点为 (0,3) 抛物线 c1 向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为 ( m,3) ，与 x 轴的两个交点为A( 1m,0) 、 B(1m,0) ， AB 2抛物线 c2 向右平移 m 个单位长度后，顶点N 的坐标为 (m,3) ，与 x 轴的两个交点为D( 1m,0) 、 E(1m,0) 所以 AE(1 m) ( 1 m) 2(1m) B、 D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2， B 在 D 的左侧，此时 AB1 AE2 ，AE 6所以 2(1 m) 6解得 m 23情形二，如图3， B 在 D 的右侧，此时 AB2 AE2 ，AE 3所以 2(1

15、m) 3解3得 m1 2图 2图 3图 4如果以点 A、 N、 E、M 为顶点的四边形是矩形，那么AE MN 2OM 而 OM 2m23，所以 4(1 m)2 4(m2 3)解得 m 1（如图 4）考点伸展第（ 2）题，探求矩形ANEM ，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中，因为AB 2， AB 边上的高为3 ，所以 ABM 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时， B、 D 两点重合因为起始位置时BD 2，所以平移的距离m 1例 520XX 年山西省中考第26 题在直角梯形OABC 中， CB/OA， COA 90°， CB 3，OA 6， B

16、A 35 分别以学习必备欢迎下载OA、OC 边所在直线为x 轴、 y 轴建立如图1 所示的平面直角坐标系（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）已知 D 、 E 分别为线段 OC、OB 上的点， OD 5， OE 2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F求直线 DE 的解析式；（ 3）点 M 是（ 2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N，使以 O、D 、M、 N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由图1图2思路点拨1第（ 1）题和第（ 2）题蕴含了 OB 与 DF 垂直的结论，为第（ 3）题讨论菱形提供了计算基础2讨论菱形要进行两次（两级）

17、分类，先按照 DO 为边和对角线分类，再进行二级分类， DO 与 DM 、DO 与 DN 为邻边满分解答(1)如图 2，作 BH x 轴，垂足为H，那么四边形BCOH 为矩形， OH CB 3在 RtABH 中， AH 3， BA 3 5 ，所以 BH 6因此点 B 的坐标为 (3,6)(2) 因为 OE 2EB ，所以 xE2 xB 2， yE2 yB 4 ， E(2,4) 33b5,1设直线 DE 的解析式为 y kx b，代入 D (0,5)， E(2,4)，得解得 k，2kb 4.2b 5 所以直线 DE 的解析式为 y1 x5 12(3) 由 y5 ，知直线 DE 与 x 轴交于点F

18、(10,0)，OF 10， DF 55 x2如图 3，当 DO 为菱形的对角线时， MN 与 DO 互相垂直平分， 点 M 是 DF 的中点 此时点 M 的坐标为 (5, 5)，点 N 的坐标为 (5,5)22如图 4，当 DO、DN 为菱形的邻边时，点N 与点 O 关于点 E 对称，此时点N 的坐标为(4,8) 如图 5，当 DO、 DM 为菱形的邻边时，NO5，延长 MN 交 x 轴于 P学习必备欢迎下载由 NPO DOF ，得 NPPONO ，即NPPO5解得 NP5，DOOFDF51055PO 2 5 此时点 N 的坐标为 (2 5,5) 图3图4考点伸展如果第（ 3）题没有限定点N

19、在 x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图6 的情形图5图6例 6 20XX 年江西省中考第24 题学习必备欢迎下载如图 1，抛物线 yx 22x 3与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴相交于点 C，顶点为 D（ 1）直接写出 A、 B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（ 2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作PF/DE 交抛物线于点F ，设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？设 BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系图 1思路点拨1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF 为平行四边形时，根据DE =FP 列关于 m 的方程3把