2差分方程模型

1、差分方程模型差分方程 离散时段上描述变化过程的数学模型差分方程的种类： 1.一阶线性常系数差分方程2. 高阶线性常系数差分方程 3. 线性常系数差分方程组 4. 非线性差分方程例1 一年期存款年利率为r，存入m， 记第k年本息为xk， xk= xk-1（r+1）, x0=mn年后本息为: xn= m（r+1）n一阶差分方程模型例2 污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第k天的污水浓度c(k),则c(k+1)=(1-q)c(k)差分方程解的稳定性一阶线性常系数差分方程：) 1 (,.1 , 0,1方程kbaxxkkbaxx由的平衡点,) 1 (abx1*解得：*xxkk时，若当否则是不稳定的

2、是稳定的则,*x可以用变量替换的方法将方程（1）的平衡点稳定性转换为的稳定性问题方程的平衡点00*1xaxxkk对于方程（2），其解显然为：0)(xaxkk立即可知方程（2）平衡点才是稳定的时当且仅当,1a构成的方程组常数矩阵和维向量顺便指出对于annkxn)(0)()1(kaxkx平衡点稳定的条件是：1,iia有的每一个特征根差分方程解的稳定性对于二阶线性差分方程，我们考虑的稳定性的平衡点)0(, 0*2112xxaxaxkkk首先写出它的特征方程0212aa21,记特征方程的根为不难验证上述差分方程的解为kkkccx2211由初始条件决定其中,21cc1, 121定的条件：由此立即得到平衡

3、点稳对于非齐次方程bxaxaxkkk2112的平衡点的稳定性条件与上述条件相同差分方程解的稳定性对于二阶方程的上述结果可以推广到n阶线性方程，即稳定平衡点条件是特征方程-n次代数方程的根1,ii有最后讨论一阶非线性的差分方程的平衡点的稳定性),3()(1kkxfx解出由其平衡点)(,*xfxx点作泰勒展开得在对*1)(xxfxkk)4()()(*1xfxxxfxkk（3）的稳定性和（4）相同稳定时即当：*,1)(xxf时当1)(* xf高阶线性常系数差分方程例 一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发

4、芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最多可以活过两个冬天。建立数学模型研究植物数量的变化规律，及它能够一直繁殖下去的条件.高阶线性常系数差分方程解：设一棵植物平均产种数为c, 种子能够活过冬天的比例为b, 活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为b, 在下一年春季发芽的比例为a2。x(k)第k年的植物数量，设今年种下(并成活)的数量为x0x0x(1)=a1bcx0x(1)=a1bcx0x(k)=a1bcx(k-1)+a

5、2b(1-a1)bcx(k-2)x(k)=a1bcx(k-1)+a2b(1-a1)bcx(k-2)记记 p=-a1bc,q=-a2b(1-a1)bcp=-a1bc,q=-a2b(1-a1)bcx(1)+px0=0,x(k)+px(k-1)+qx(k-2)=0x(1)+px0=0,x(k)+px(k-1)+qx(k-2)=0差分方程的特征方程：差分方程的特征方程：y2+py+q=0y2+py+q=0解得根解得根 y1,y2 y1,y2 差分方程的解：x(k)=c1y1k+c2y2k当|y1,y2|1实验 设c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.18, 0.19, 0.20，x0=10

6、0线性常系数差分方程组 汽车租赁公司的运营汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还.在a市租赁在a, b, c市归还的比例分别为0.6, 0.3, 0.1在b市租赁在a, b, c市归还的比例分别为0.2, 0.7, 0.1在c市租赁在a, b, c市归还的比例分别为0.1, 0.3, 0.6公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型，讨论时间充分长以后的变化趋势.x1(k), x2(k), x3(k)第k个租赁期末公司在a,b, c市的汽车数量x1(k+1)=0.6 x1(k)+0.2 x2(k)+0.1 x3(k

7、)x2(k+1)=0.3 x1(k)+ 0.7x2(k)+0.3 x3(k)x3(k+1)=0.1 x1(k)+0.1 x2(k)+0.6 x3(k)记a=0.1 0.1 0.6；0.3 0.7 0.3；0.6 0.2 0.1，x(k)=x1(k), x2(k), x3(k)t则 x(k+1)=ax(k)设稳定值为x：ax=x 稳定状态为：a对应于特征值1的特征向量x1+x2+x3=600计算得：x1=180, x2=300, x3=1207.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规

8、律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di, 存活率存活率为为si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种

9、群数量)() 1(klxkx)0()(xlkxktnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布000000121121nnnsssbbbblleslie矩阵矩阵(l矩阵矩阵)() 1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0)稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk, 3 , 2,1 l矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1， 若若l矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1)0()(xlkxk11),(pdiagplnp的第的第1列是列是x*)0()0,

10、0 , 1 ()(lim11xppdiagkxkktnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释l对角化对角化11),(pdiagplknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布, 与初始分布无关。与初始分布无关。 各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减， 称固有增长

11、率称固有增长率tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkxii)() 1(klxkx与基本模型与基本模型比较比较3） =1时时*)() 1(cxkxkx 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为11121121nnsssbsbb稳态分析稳态分析tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii3） =1时时*xlx tnssss

12、ssx121211*, 1000000121121nnnsssbbbbl实验 设一种群分成n=5个年龄组, 繁殖率b1b5= 0,0.2, 1.8, 0.8, 0.2, 存活率s1s4= 0.5, 0.8, 0.8, 0.1, 各年龄组现有数量均为100习题1养老保险模型 问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？ 模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25

13、岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。参考解答 模型分析及假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第k月止所交保费及收益的累计总额为fk，每月收益率为r，用p、q分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，n表示停交保险费的月份，m表示停领养老金的月份。 模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足： mnkqrffnkprffkkkk,.,)1 (1,.,1 , 0,)1 (11

14、在这里 实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值， 我们关心的是，在第m个月时， 能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。 kfmf 引入收益率 ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。 模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁则有 r600,420;2282,200mnqpmnkrrqrffnkrrprffnknknkkkk,

15、.,1,1)1()1(,.,2 , 1 , 0,1)1()1 (0 利用 求出： 的根 同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为 r=0.00461,r=0.004130)1)(1 ()1 (pqrpqrnmm0mf00485. 0r习题2设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是r1 ，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。 模型假设：设贷款后第 k个月后的欠款数是 元，月还款为m元，月贷款利息为 考虑差分关系有： 即 令 则 这就

16、是差分方程的解 ka121rr maraakkk1marakk)1 (11kkkaab111)1 ()1 (kkkrbrbbkkbbbaa.210)1 (.)1 (1 110krrba,.2 , 1 , 0,1)1()1 (0krrmrakk 例如：当 时 有： 可解出 2,0052125. 0,100000nra0,10000240aa356.444m)1()(nxrxtx,2, 1),1 (1knyryyykkkk7.3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (logistic模型模型)t, xn, x=n是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r

17、大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=n, 则则yk+1,yk+2,=n讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykn ？y*=n 是平衡点是平衡点kkynrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkynrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=n讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变

18、量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111*(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkx

19、bxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点bx11*稳定性稳定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（单调增）0 x1x1x2xx* 稳定稳定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=01 rb1)0(bf不稳定不稳定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振荡地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果

20、bx11*b 3.57, 不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛)1 (1kkkxbxx的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b实验 设n=1，取r=0.3, 1.8, 2.5, 初值x0=0.1，寄主寄生模型 寄主靠自然资源为生，假定其数量用离散形式的 阻滞增长模型描述; 寄生物的存在会减少其增长，寄生物数量越多， 寄主的增长率减少得越多，假设寄主的减少率与 寄生物数量成正比; 寄生物完全靠寄主为生，假定其相邻两代数量之 比与寄主数量成正比. 建立寄主寄生模型研究二者数量变化的规 律，讨论时间充分长以后的趋势.寄主寄生模型xk第k代寄主的种群数量

21、(最大容量n，固有增长率r);yk 第k代寄生物的种群数量（k=0, 1, 2, ）.x(k+1)-x(k)=r(1-x(k)/n)x(k)-ax(k)y(k)y(k+1)=bx(k)y(k) 非线性差分方程组非线性差分方程组存在存在3个平衡点个平衡点（0，0），（），（n,0）(1/b,r(1-1/bn)/a)实验实验设n=100，r=1.5,b=0.02,a=0.025 下表是美国加州和其它各州 1955 年至1960 年人口出生、死亡和迁移（只考虑 加州和其它各州之间的净迁移）的情况（单位：千人），根据这些数据建立差 分方程模型，计算并预测直至2010 年的人口状况。 1)以加州和其它各

22、州的人口数量为对象。 2） 以加州和其它各州在美国总人口中的比例为对象，观察趋势1955 年人口 1955年至1960 1955 年至1960 1955 年至1960 1960 年 年出生 年死亡 年迁移 人口加州 12 988 1 708 614 1 124 15 206其它各州152 082 19 499 7 417 -1 124 163 040总数165 070 21 207 8 031 0 178 246解答 设xk 为加州第k 年人口，xk+1=(1+r1-d1)xk+q，其中出生率r1 用1708/12988 估计， 死亡率d1 用614/12988 估计，迁移q 用1124 估计，或q=qxk， 或q=qxkyk（q 用 1124/12988152082 估计）。类似地考虑其它各州第k 年人口yk。 2）设zk 为加州第k 年人口比例，zk+1=azk，a 直接用15 206/17