固体物理第六章

1、第六章第六章 金属自由电子论金属自由电子论6.1 Sommerfeld的自由电子论的自由电子论一、自由电子模型一、自由电子模型 电子在一有限深度的电子在一有限深度的方势阱方势阱中运动，电子间的相互中运动，电子间的相互 作用可忽略不计；作用可忽略不计； 电子按能量的分布遵从电子按能量的分布遵从FermiDirac统计统计； 电子的填充满足电子的填充满足Pauli不相容原理不相容原理； 电子在运动中存在一定的电子在运动中存在一定的散射散射机制。机制。二、运动方程及其解二、运动方程及其解1. 运动方程运动方程2202UEm 其中，其中，U0为电子在势阱底部所具有的势能，为简单起见，为电子在势阱底部所

2、具有的势能，为简单起见，可选取可选取U0 0。令令222mEk 有有220k方程的解为：方程的解为： iAek rkr其中，其中，A为归一化因子，可由归一化条件确定。为归一化因子，可由归一化条件确定。()1Vd kk k*1AV得：V为金属的体积。为金属的体积。 1exp iVkrk rk为电子波矢为电子波矢电子的能量：电子的能量： 222kEmk二、周期性边界条件二、周期性边界条件 设金属为一平行六面体，其棱边分别沿三个基矢设金属为一平行六面体，其棱边分别沿三个基矢a1、a2和和a3方向，方向，N1、N2和和N3分别为沿分别为沿a1、a2和和a3方向方向金属的原胞数，那么，金属中原胞的总数为

3、金属的原胞数，那么，金属中原胞的总数为 N N1 N2 N3周期性边界条件：周期性边界条件： k(r) k(r+N a )， 1, 2, 311expexpiiVVk rkraNexp1ikaN kNa2h , h为整数。由于波矢量k是倒易空间中的矢量，可用倒格子基矢表示：1 1223 3kbbb1 1223 3 kabbbaNN22 hNhNh为整数， 1, 2, 3由于 h1、h2、h3为整数，可见引入周期性边界条件后，312123123hhhNNNkbbb波矢波矢k的取值不连续，每一个的取值不连续，每一个k的取值代表一个量子态，的取值代表一个量子态，这些量子态在这些量子态在k空间中排成一

4、个态空间点阵，每一个量空间中排成一个态空间点阵，每一个量子态在子态在k空间中所占的体积为空间中所占的体积为123123111bbbbNNNN那么，在那么，在k空间中，波矢空间中，波矢k的分布密度为的分布密度为 33.88abvVconstkNN这表明，在这表明，在k空间中，电子态的分布是均匀的，只与金空间中，电子态的分布是均匀的，只与金属的体积有关。属的体积有关。3. 能态密度能态密度 22222222xyzkEkkkmmk这表明，在这表明，在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能空间中，自由电子的等能面为球面，在能量为量为E的球体中，波矢的球体中，波矢k的取值总数为的取值总数为 343kk每

5、一个每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋，的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋，根据根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，两个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能量为能量为E的球体中，电子能态总数为的球体中，电子能态总数为 323233324422383mVZ EkEk32322323VmE定义：能态密度定义：能态密度 3211222322VmdZN EECEdE其中：其中：322322VmC由此可见，电子的能态密度并不是均匀分布的，电子由此可见，电子的能态密度并不是均匀分布的，电

6、子能量越高，能态密度就越大。能量越高，能态密度就越大。三、三、FermiDirac统计统计1. 量子统计基础知识量子统计基础知识 经典的经典的Boltzmann统计：统计： expBEf Ek T 量子统计：量子统计： FermiDirac统计和统计和BoseEinstein统计统计费米子：自旋为半整数（费米子：自旋为半整数（n1/2） 的粒子（如：电子、质的粒子（如：电子、质 子、中子子、中子 等），费米子遵从等），费米子遵从FermiDirac统计规统计规 律，费米子的填充满足律，费米子的填充满足Pauli原理。原理。玻色子：自旋为整数玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），的粒子

7、（如：光子、声子等）， 玻色子遵从玻色子遵从BoseEinstein统计规律，统计规律， 玻色子不遵从玻色子不遵从Pauli原理。原理。2. T0时电子的分布时电子的分布 当当T0时，系统的能量最低。但是，由于电子的时，系统的能量最低。但是，由于电子的填充必须遵从填充必须遵从Pauli原理，因此，即使在原理，因此，即使在T0时，电子时，电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能量最低的也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能量最低的能态已经填有电子，其他电子就必须填到能量较高的能能态已经填有电子，其他电子就必须填到能量较高的能态上。所以，在态上。所以，在 k空间中，电子从能量最低的原点开始空

8、间中，电子从能量最低的原点开始填起，能量由低到填起，能量由低到 高逐层向外填充，其等能面为球面，高逐层向外填充，其等能面为球面，一直到所有电子都填完为止。由于等能面为球面，所以，一直到所有电子都填完为止。由于等能面为球面，所以，在在k空间中，电子填充的部分为球体，称为空间中，电子填充的部分为球体，称为Fermi球。球。将将Fermi球的表面称为球的表面称为Fermi面，面，Fermi面所对应的能量面所对应的能量称为称为Fermi能能EF0。于是，可得电子的分布函数为。于是，可得电子的分布函数为f(E) =1 E EF00 E EF02202FFkEm022FFmEk 费米半径费米半径FFPk

9、费米动量费米动量FFkVm 费米速度费米速度EEF001f(E)T0在在EEdE中的电子数为：中的电子数为： dNf(E)N(E)dE系统的自由电子总数为系统的自由电子总数为 0Nf E N E dET0 00FEN E dE031220023FEFCE dEC E323202323FVmE2323220223322FNEnmVm其中其中NnV 自由电子密度自由电子密度对于金属：对于金属：n：1022 1023 cm3 ， 所以所以EF0 几个几个eV定义定义 Fermi 温度：温度： 0FFBETk对于金属，对于金属，TF： 104 105 K 。系统的总能量：系统的总能量： 00UEf E

10、 N E dET0 00FEEN E dE3. T 0时的分布时的分布 当当T 0时，电子热运动的能量时，电子热运动的能量 kBT，在常温下，在常温下kBT 几个几个kBT时，时，exp(E )/ kBT 1 ，有，有， expexpexpBBBEEf Ek Tk Tk T这时，这时，FermiDirac分布过渡到经典的分布过渡到经典的Boltzmann分布。分布。且且f(E)随随E的增大而迅速趋于零。这表明，的增大而迅速趋于零。这表明， E 几个几个kBT的能态是没有电子占据的空态。的能态是没有电子占据的空态。当当 E 几个几个kBT时，时， exp(E )/ kBT 几个几个kBT的能态基

11、本上是满的能态基本上是满态。态。 在强简并情况下，在强简并情况下， EF（ EF是是T 0时的费米能）。时的费米能）。这里需要指出的是，金属自由电子气的简并性与量子力这里需要指出的是，金属自由电子气的简并性与量子力学中能量的简并性是不同的。金属自由电子气的简并性学中能量的简并性是不同的。金属自由电子气的简并性指的是统计的简并性，而不是能量的简并性，即指金属指的是统计的简并性，而不是能量的简并性，即指金属自由电子气与理想气体遵从不同的统计规律。我们将金自由电子气与理想气体遵从不同的统计规律。我们将金属自由电子气与连续气体性质之间的差异称为简并性。属自由电子气与连续气体性质之间的差异称为简并性。

12、对金属而言，其熔点均低于对金属而言，其熔点均低于TF，因此，在熔点以下，因此，在熔点以下，TTF总是满足的。所以，我们将金属自由电子气称为总是满足的。所以，我们将金属自由电子气称为强简并的费米气体。强简并的费米气体。 而对于半导体，而对于半导体，n 1017 cm3，其，其TF 102 K。当当T TF时，其分布已经很接近于经典分布了。时，其分布已经很接近于经典分布了。 对于金属而言，由于对于金属而言，由于T TF总是成立的，因此，总是成立的，因此，只有费米面附近的一小部分可以电子被激发到高能态，只有费米面附近的一小部分可以电子被激发到高能态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（而离费米面较远的

13、电子则仍保持原来（T0）的状态，）的状态，我们称这部分电子被我们称这部分电子被“冷冻冷冻”下来。因此，虽然金属下来。因此，虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。正因为这样，对金属费米面的研究就显得尤小部分。正因为这样，对金属费米面的研究就显得尤为重要。为重要。四、结果与讨论（粗略的数量级估算）四、结果与讨论（粗略的数量级估算）1. 电子热容量电子热容量 对于金属，对于金属，T 0时，只有在费米面附近几个时，只有在费米面附近几个kBT的

14、电子受热激发，而离费米面较远处的电子仍保持的电子受热激发，而离费米面较远处的电子仍保持原来的状态（被原来的状态（被“冷冻冷冻”下来）。因此，尽管金属中有下来）。因此，尽管金属中有大量的自由电子，但对电子热容量有贡献的只是在费米大量的自由电子，但对电子热容量有贡献的只是在费米面附近厚度面附近厚度kBT的一层电子，而这层电子仅占电子总的一层电子，而这层电子仅占电子总数的很小一部分。在数的很小一部分。在 EEF kBT中的电子数为中的电子数为00122FFFBFBNN Ef EEN Ek TN Ek T 0012FFN EC E由于：03223FNC E及及0032FFNN EE于是，于是，032B

15、FNNk TE 而每个电子热运动的平均能量为而每个电子热运动的平均能量为32Bk T由于热激发，系统所获得的能量为由于热激发，系统所获得的能量为 2203294BBFk TE TNk TNE 09922BeBBFFdE Tk TTCNkNkdTET电子热容量为：电子热容量为：对于一摩尔金属，对于一摩尔金属，NZN0，Z是每个金属原子所贡是每个金属原子所贡献的自由电子数。献的自由电子数。92eFTCZRT而常温下，而常温下，CL 3R，由于，由于TTF，所以，所以Ce CL ，即即常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。2. Pauli顺磁顺磁这里只考虑这里只考虑

16、T 0的极端情况。的极端情况。B=0EF0 B- BN(E)/2N(E)/2 E0当当B=0时，由于电子时，由于电子自旋方向相反的两种自旋方向相反的两种取向的几率相等，所取向的几率相等，所以，整个系统不显示以，整个系统不显示磁性，即磁性，即M=0。当当B 0时，自旋磁矩时，自旋磁矩在磁场中的取向能：在磁场中的取向能： B平行于平行于B： BB； B反平行于反平行于B： BB B为玻尔磁子，为玻尔磁子， B9.271024J/T导致两种自旋电子的能级图发生移动，相应的费米导致两种自旋电子的能级图发生移动，相应的费米能相差能相差2 BB。因此，电子的填充情况要重新调整，。因此，电子的填充情况要重新

17、调整，即有一部分电子从自旋磁矩反平行于即有一部分电子从自旋磁矩反平行于B转到平行于转到平行于B的方向，最后使两边的费米能相等。的方向，最后使两边的费米能相等。 N (E )/2 N (E )/2 BB BB B BEB N (E )/2 N (E )/2 BB BB B BEBEF0自旋磁矩改变方向的电子数：自旋磁矩改变方向的电子数：012FBNN EB 而每个电子的自旋磁矩从而每个电子的自旋磁矩从 B变为变为 B改变了改变了2 B所以，产生的总磁矩为所以，产生的总磁矩为022BFBMNN EB0200FBN EHH 所以所以0200FBMN EH 0032FFNN EE200032BFNE

18、0BH 由于由于 BB kBT，当当T 0时，只有在费米面附近的一小部分电子被激发而时，只有在费米面附近的一小部分电子被激发而跃迁到高能态，而比跃迁到高能态，而比EF0低几个低几个kBT的电子仍保持原来的的电子仍保持原来的状态，因此，上述的积分可以作适当的近似处理。状态，因此，上述的积分可以作适当的近似处理。 12N ECE二、二、Sommerfeld展开式展开式设函数设函数Q(E)在（在（- ，+ ）上连续可微，）上连续可微，Q(0)0 ，并且，并且满足条件满足条件 ，其中，其中为大于为大于0的常数。在的常数。在kBT 几个几个 kBT时，函数的值迅速趋于时，函数的值迅速趋于0，具有，具有

19、类似于类似于 函数的性质。函数的性质。 因此，积分的贡献主要来自因此，积分的贡献主要来自E EF附近的区域，由附近的区域，由于于EF kBT，所以，我们可以将均分的下限由，所以，我们可以将均分的下限由0改为改为-，而并不会影响积分值。而并不会影响积分值。 dfIQ EdEdE 由于由于(-df/dE)的值集中在的值集中在E=EF附近，因此，可将附近，因此，可将Q(E)在在E=EF附近展开成附近展开成Taylor级数。级数。 212!FFFFFQ EQ EQEEEQEEEFFFdfdfIQ EdEQ EEEdEdEdE 212FFdfQEEEdEdE0FFdfIQ EdEQ EdE1FFdfIQ

20、EEEdEdE011FBxxxdxQEk TeeFBEExk T令2212FFdfIQEEEdEdE221211FBxxx dxQEk Tee222201xBFxx e dxIk TQEe23112112!3! nnnnnnn利用Taylor展开式：2223201234xxxxBFIk TQEx eeeedx22221112! 1234BFk TQE226BFk TQE2222111123412 2206FBFf E Q E dEQ Ek TQE三、三、Sommerfeld展开式的应用展开式的应用1. EF的确定的确定 0Nf E N E dE 2206FBFEN E dEk TNE 0120

21、220162FFFBFEEEN E dEN E dEk TCE 12N ECE Q EN E02200012FFFFBFN ENNN EEEk TE2222000111212BFFFFFk TTEEEET 对于金属，由于对于金属，由于TF T，所以，所以EF EF0 。我们可以我们可以定性地分析为什么定性地分析为什么EF会略低于会略低于EF0 。当。当T 0时，由于时，由于TF T，所以电子的分布函数只在费米能附近几个，所以电子的分布函数只在费米能附近几个kBT的的范围内有变化，而离费米能较远处电子的分布于范围内有变化，而离费米能较远处电子的分布于T=0时相时相同。在有限温度下，同。在有限温度

22、下， EF0以下能态的占有几率减小，而以下能态的占有几率减小，而EF0以上能态的占有几率增大，可以认为，以上能态的占有几率增大，可以认为， EF0上下电上下电子占有几率的增大和减小子占有几率的增大和减小是关于是关于EF0对称的。但是，对称的。但是，由于电子的能态密度由于电子的能态密度N(E)随随E的增加而增大，即的增加而增大，即EF0以上的以上的N(E)大于以下的大于以下的N(E) ，因此，若，因此，若EF0上、下上、下电子能态占有率的增加、电子能态占有率的增加、减少相同，则减少相同，则EF0以上要多以上要多填一些电子。因此，若保填一些电子。因此，若保持持EF = EF0 ，那么系统的电，那么

23、系统的电子数就要增加，但实际上子数就要增加，但实际上系统的电子数是一定的，系统的电子数是一定的，因此，因此，EF必须略低于必须略低于EF0 。2. 电子热容量电子热容量 0UEf E N E dE自由电子系统的总能量为自由电子系统的总能量为 2206FFBEEdEN E dEk TEN EdE 0120220362FFFBFEEEEN E dEEN E dEk TCE22000004FFFFBFUE N EEEk TN E Q EEN E2222000124FBBFUUN Ek Tk TN E22006BFUk TN E22004BFk TUNE0032FFNN EE这里这里 000FEUEN

24、 E dE为为T=0时自由电子系统的总能量时自由电子系统的总能量第二项为第二项为T 0时，由于热激发自由电子系统从外界所获时，由于热激发自由电子系统从外界所获得的能量。得的能量。电子热容量：电子热容量：222022BeBFFdUNk TTCNkdEET 若每个金属原子贡献若每个金属原子贡献Z个自由电子，那么，一摩尔个自由电子，那么，一摩尔金属的电子热容量为：金属的电子热容量为：22022eBFFTTCZN kZRTTT其中其中22FZRT一些金属的一些金属的 值值NaKCaZnAlSn 实验实验（mJ/mol.K2）1.38 2.08 0.695 0.64 1.35 1.78 理论理论（mJ/

25、mol.K2）1.09 1.67 0.505 0.75 0.91 1.41当当T D时，常温下，一摩尔金属的晶格热容时，常温下，一摩尔金属的晶格热容CL 3R26eLFCZTCT 对于金属，由于对于金属，由于TF T，所以，所以Ce CL。因此，。因此，在常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。在常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。当当T T，Pauli顺磁磁化率随温度顺磁磁化率随温度的变化很小，通常可以认为的变化很小，通常可以认为 0，即磁化率近似与温，即磁化率近似与温度无关。度无关。 实验结果表明，对于简单金属，如碱金属的顺磁性实验结果表明，对于简单金属，如碱金属的顺磁性几乎与温度无关，与理论

26、计算的结果一致，其实验值在几乎与温度无关，与理论计算的结果一致，其实验值在数量级上也与理论值一致。数量级上也与理论值一致。 LiNaKMgCa实验实验 (106CGS)2.00.630.580.871.70理论理论 (106CGS)0.80.650.530.980.896.3 功函数和接触电势功函数和接触电势一、热电子发射和功函数一、热电子发射和功函数实验表明，热电子发射的电流密度为实验表明，热电子发射的电流密度为2expBWjATk T其中其中A为常数，为常数，W为功函为功函数（或脱出功），即电子数（或脱出功），即电子逸出金属所需克服的势垒。逸出金属所需克服的势垒。V0EF0 xVW金属金属

27、真空真空RichardsonDushman公式公式 在金属内部，自由电子受正离子的吸引，但由于各在金属内部，自由电子受正离子的吸引，但由于各金属离子的吸引力相互抵消，电子所受的净合力为金属离子的吸引力相互抵消，电子所受的净合力为0。但如电子试图逸出金属，则有一部分离子的吸引力不能但如电子试图逸出金属，则有一部分离子的吸引力不能被抵消，这部分作用力就阻止电子逸出金属，因而在金被抵消，这部分作用力就阻止电子逸出金属，因而在金属表面形成一个势垒。属表面形成一个势垒。 实际上，能被激发而逸出金属的电子只是在费米能实际上，能被激发而逸出金属的电子只是在费米能附近，因此，有附近，因此，有0FWVE其中其中

28、V0为真空能级，即电子跑到无穷远处所具有的势能，为真空能级，即电子跑到无穷远处所具有的势能， V0也可看成是势阱的深度；也可看成是势阱的深度；W几个几个eV。热电子发射电流密度的表达式为热电子发射电流密度的表达式为 2xxxxyzjev dnevfdk dk dkV kk 3328xxyzemv fdv dv dv v033322124exp1xyzxFVmBdvm edvdvvmvEk T 032332expexp42FyzxxBBVmm eEmvdvdvvdvk Tk T mkv2023exp2BFxBme k TVEjk T 2expBWjATk T RichardsonDushman公

29、式公式其中其中 2232BmekA 0FWVE在上面的推导中，用到两个积分公式：在上面的推导中，用到两个积分公式：222expexp22yzByzBBmvmvk Tdvdvk Tk Tm0202expexp2xBxxBBVmmvVk Tvdvk Tmk T 不同的金属有不同的功函数，由于热膨胀，不同的金属有不同的功函数，由于热膨胀，W是温是温度的函数。度的函数。几种金属功函数的平均值（几种金属功函数的平均值（eV）LiNaKMgAlCuAgAuPt2.482.282.223.674.204.454.46 4.89 5.36二、接触电势二、接触电势W1W2(EF)2(EF)1金属金属1金属金属2

30、 当两块不同金属当两块不同金属1和和2相接触或用导线相连接时，相接触或用导线相连接时，这两块金属会同时带电，而具有不同的电势这两块金属会同时带电，而具有不同的电势V1和和V2，这种电势称为接触电势。这种电势称为接触电势。W1W2EF金属金属1金属金属2eV12 用两金属的共同真空能级作参考，设用两金属的共同真空能级作参考，设W1 (EF)2。当两金属接触后，电子将从化学势高。当两金属接触后，电子将从化学势高的金属的金属1流向化学势低的金属流向化学势低的金属2，从而导致金属，从而导致金属1带正带正电，金属电，金属2带负电。于是在两金属的界面处附加了一带负电。于是在两金属的界面处附加了一个静电场，

31、以阻止电子继续从个静电场，以阻止电子继续从1流向流向2。 电子在金属电子在金属1 中的静电势能为中的静电势能为eV1 0，能级，能级图上升。当两金属的费米能相等时，电子停止从图上升。当两金属的费米能相等时，电子停止从1流流向向2。金属。金属1 的能级图下降的能级图下降eV1，而金属，而金属2的能级图上升的能级图上升eV2，使得两金属的化学势相等，电子停止流动。，使得两金属的化学势相等，电子停止流动。这时两金属的接触电势差为这时两金属的接触电势差为1212211VVVWWe6.4 自由电子的输运问题自由电子的输运问题 金属的许多重要性质，如电导、热导、热电效应、金属的许多重要性质，如电导、热导、

32、热电效应、电流磁效应等都与自由电子的输运过程有关。因此，电流磁效应等都与自由电子的输运过程有关。因此，研究自由电子的输运特性是研究金属物性的重要组成研究自由电子的输运特性是研究金属物性的重要组成部分。部分。一、一、Boltzmann方程方程 在平衡时，电子的分布遵从在平衡时，电子的分布遵从FermiDirac统计，统计，f = f(E)，这时，这时，E = E(k)。在有外场（如电场、磁场。在有外场（如电场、磁场或温度梯度场）存在时，电子的平衡分布被破坏，在或温度梯度场）存在时，电子的平衡分布被破坏，在一般情况下，电子的能量一般情况下，电子的能量E = E(r, k, t)。类似于气体运。类似

33、于气体运动论，我们可以用由动论，我们可以用由r和和k组成的相空间中的分布函数组成的相空间中的分布函数f(r, k, t)来描述电子的态分布随时间的变化。来描述电子的态分布随时间的变化。分布函数分布函数f(r, k, t)的物理意义是，在的物理意义是，在t时刻，电子的位置时刻，电子的位置处在处在rr+dr的体积元内，电子的状态处在的体积元内，电子的状态处在kk+dk范围范围内的电子数为内的电子数为33328dNfd rd kr,k, tr,k, t达到稳定时，分布函数达到稳定时，分布函数f中不显含时间中不显含时间t，分布函数，分布函数f随随时间的改变主要来自两方面：一是电子在外场作用下时间的改变

34、主要来自两方面：一是电子在外场作用下的漂移运动，从而引起分布函数的变化，这属于破坏的漂移运动，从而引起分布函数的变化，这属于破坏平衡的因素，称为漂移变化；另一个是由于电子的碰平衡的因素，称为漂移变化；另一个是由于电子的碰撞而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平衡的因撞而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平衡的因素，称为碰撞变化。因此，分布函数的变化率为素，称为碰撞变化。因此，分布函数的变化率为dcdffffdttttdft为漂移项，为漂移项，cft为碰撞项，为碰撞项，ft为瞬变项为瞬变项当体系达到稳定时，当体系达到稳定时，0ft0dfdt且0dcfftt由此可以导出：由此可以导出：ffbark

35、vk Boltzmann方程方程其中其中 331,8d kaffkkkk k 331,8d kbffkkkk k二、弛豫时间近似二、弛豫时间近似令令 0ffba k 弛豫时间近似弛豫时间近似其中其中f0为平衡为平衡FermiDirac分布函数，分布函数， (k)为弛豫时间。为弛豫时间。 这个假设的根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡这个假设的根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡态的特点。若系统原来不平衡，在态的特点。若系统原来不平衡，在t = 0时撤去外场时撤去外场 t = 0时时, f=f0+ f(t=0)， 当只有碰撞作用时，当只有碰撞作用时， f(t=0)应很快消失。关于弛应很快消失。关于弛豫时

36、间近似的假设认为，碰撞促使对平衡分布的偏差是豫时间近似的假设认为，碰撞促使对平衡分布的偏差是以指数的形式消失的。以指数的形式消失的。0ffft 积分得积分得 00 expttf tfff t 所以，弛豫时间所以，弛豫时间 大致就是系统恢复平衡所用的时间。大致就是系统恢复平衡所用的时间。于是，于是，Boltzmann方程可简化为方程可简化为0ffdffdt rkkv通常采用逐步逼近法求解通常采用逐步逼近法求解Boltzmann方程方程0ffdffdt rkkv f0 f1 f1 f2 fn fn+1 三、电导和热导三、电导和热导为简单，只考虑各向同性的金属（多晶和立方系单晶）为简单，只考虑各向同

37、性的金属（多晶和立方系单晶） i 设同时存在电场设同时存在电场和温度梯度场和温度梯度场 dTTdxi电流密度：电流密度：3328xejv fd k 热流密度：热流密度：3328xFjvEEfd k由由Boltzmann方程可求出分布函数的一级近似解为方程可求出分布函数的一级近似解为 00FxfEdEdTffveTETdTTdxk分别代入电流密度和热流密度的表达式中，再根据电分别代入电流密度和热流密度的表达式中，再根据电导率和热导率的定义，可求得导率和热导率的定义，可求得2FneEm电导率：电导率：热导率：热导率：223BFnkETKm223BKkTe WiedemannFranz定律定律223

38、BKkLTe Lorenz数数2928/5.87 102.45 10s KVLcalK一些金属一些金属Lorenz数的实验值数的实验值108(V/K)2T( C)AgAuCuCdIrZnPbPtSn02.312.352.232.422.492.312.472.512.521002.372.402.332.432.492.332.562.602.49四、四、Hall效应效应jxBqxyz0EH 将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这方向垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称为种现象称为Hall效应。效应。正电荷正电荷q受的力：受的力：Hq FEvB稳定时，稳定时，F00HqEvBHEvB又由于又由于xjnqvxjvnq 1HxHxEvBj BR j Bnq1HRnq Hall系数系数对于自由电子：对于自由电子：q =e，所以，所以，10HRne 其中，其中，n为单位体积中的载流子数，即载流子浓度。由为单位体积中的载流子数，即载流子浓度。由Hall系数的测量不仅可以判断载流子的种类（带正电还系数的测量不仅可以判断载流子的种类（带正电还是带负电