高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修23

1、第1课时组合与组合数公式学习目标：1.理解组合与组合数的概念(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明(难点、易混点)自 主 预 习·探 新 知1组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合思考：怎样理解组合，它与排列有何区别？提示(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺

2、序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题2组合数的概念从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数思考：如何理解组合与组合数这两个概念？提示同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(mn)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组

3、合，这些组合共有3个，则组合数为3.3组合数公式及其性质(1)公式：c.(2)性质：cc_，ccc.(3)规定：c1.基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为c.()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法()(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题()解析(1)因为只要两个组合的元素相同

4、，不论元素的顺序如何，都是相同的组合(2)由组合数的定义可知正确(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题(4)因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法(5)×因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题答案(1)(2)(3)×(4)(5)×2若c28，则n() 【导学号：95032046】a9b8c7 d6bc28，解得n8.3甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是_3甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同

5、票价的种数为c3.4c_，c_. 【导学号：95032047】1518c15，cc18.合 作 探 究·攻 重 难组合的概念(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：设集合aa，b，c，d，e，则集合a的子集中含有3个元素的有多少个？某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？2018年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？(2)已知a，b，c，d，e五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合. 【导学号：95032048】思路点拨要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关解(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题

6、因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题(2)可按abacadbcbdcd顺序写出，即所以所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.规律方法1区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题而要判定它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题2写组合时，

7、一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作法，这样做直观、明了、清楚，以防重复和遗漏跟踪训练1(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合解(1)是组合问题由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这

8、和顺序无关是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序(2)可按abcd顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.组合数公式的应用(1)计算cc·a；(2)计算cc. 【导学号：95032049】思路探究解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件解(1)原式·(3×2×1)2102100.当n4时，原式cc5，当n5时，原式cc16.规律方法1在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式c常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式c常用于n为字

9、母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式2解题时，一定不要忘记组合数的意义跟踪训练2求值：cc.解由组合数的公式的性质，解得n6.所以，原式cccc121931.组合数的性质应用探究问题1试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？提示法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共c10(种)选法法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共c10(种)不同选法经求解发现cc.推广到一般结论有cc.2从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？提示共有c210(种

10、)选法3在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？提示若队长必须参加，共c126(种)选法若队长不能参加，共c84(种)选法由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：ccc.一般地：ccc.(1)计算：ccc_；(2)若c>c，则n的取值集合是_. 【导学号：95032050】思路探究恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式(1)5 050(2)6,7,8,9(1)ccccccc5 050.(2)由c>c，得>，所以n29n10<0，

11、得1<n<10，因为nn*且n6，所以n6,7,8,9，所以n的取值集合为6,7,8,9规律方法1性质“cc”的意义及作用2连续使用“ccc”时，一定要掌握住该性质两边的上、下标字母的特征，并注意观察分析待化简的组合式的特征3与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由c中的mn*，nn*，且nm确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意跟踪训练3(1)化简：ccc_；(2)已知ccc，求n的值(1)0原式(cc)ccc0.(2)解根据题意，ccc，变形可得ccc，由组合数的性质，可得cc，故87n1，解得n14.当 堂

12、达 标·固 双 基1下列问题：将图案不同的4张扑克牌分给两人，每人2张，有几种方法？将图案不同的4张扑克牌分给四人，每人1张，有几种分法？空间中的10个点，任意3个点都不共线，能构成多少个以这些点为顶点的三角形？其中，包含组合问题的有()a0个b1个c2个 d3个c由组合的定义可知两个命题与顺序无关，是组合问题2下列计算结果为21的是()aacbcca dcdc21.3下列等式不正确的是() 【导学号：95032051】ac bccccc dccd由组合数公式逐一验证知d不正确46个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手_次15每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手c15次5已知c，c，c成等差数列，求c的值. 【导学号：95032052】解由已知得2ccc，所以2·，整理得n221n980，解得n7或n14，要求c的值，故n12，所以n14，于是cc9