高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教师用书 理

1、第二节两条直线的位置关系2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直。2016，全国卷，4,5分(点到直线的距离)2015，广东卷，4,5分(平行直线)2014，福建卷，5,5分(两条直线垂直)2013，全国卷，12,5分(直线分割三角形)本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是以客观题出现。

2、微知识小题练自|主|排|查1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。与axbyc0平行的直线，可设为axbym0(mc)。(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1·k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。与axbyc0垂直的直线可设为bxayn0。2两直线相交(1)交点：直线l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20的公共点的坐标与方程组的解一一对应。(2)相交方程组有唯一

3、解，交点坐标就是方程组的解。(3)平行方程组无解。(4)重合方程组有无数个解。3三种距离公式(1)点a(x1，y1)、b(x2，y2)间的距离为|ab|。(2)点p(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离为d。(3)两平行直线l1：axbyc10与l2：axbyc20(c1c2)间的距离为d。4对称问题(1)点p(x0，y0)关于点a(a，b)的对称点为p(2ax0,2by0)。(2)设点p(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为p(x，y)，则有可求出x，y。微点提醒1对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围。2求解点到直线、两平行线间的距离时，注意直线方程要用一般

4、式。小|题|快|练一 、走进教材1(必修2p114b组t1)与直线3x4y50关于x轴对称的直线的方程为()a3x4y50b3x4y50c3x4y50 d3x4y50【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，y)在已知的直线上，所以所求直线方程为3x4y50。故选b。【答案】b2(必修2p114a组t10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()a. b.c7 d.【解析】由题意知a6，直线3x4y120可化为6x8y240。所以两条平行直线之间的距离为。故选d。【答案】d二、双基查验1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()a

5、x2y10 bx2y10c2xy20 dx2y10【解析】设与直线x2y20平行的直线方程为x2ym0，又直线过点(1,0)，所以1m0，m1。故选a。【答案】a2若直线axy50与x2y70垂直，则实数a的值为()a2 b.c2 d【解析】直线axy50的斜率可记为k1a，直线x2y70的斜率可记为k2，若两直线垂直，则k1·k21，即a1，得a2。故选a。【答案】a3直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是_。【解析】在直线x2y10上任取两点(1,1)，这两点关于直线x1的对称点分别为(1,1)，过这两点的直线方程为y1(x1)，即x2y30。【答案】x2y304已知点a(3

6、,2)和b(1,4)到直线axy10的距离相等，则a的值为_。【解析】由点到直线的距离公式可知。解得a4或。【答案】4或5(2016·呼和浩特模拟)点p(1,3)到直线l：yk(x2)的距离的最大值等于_。【解析】点p(1,3)到直线l：yk(x2)的距离为d3，由于1，当且仅当k1时取等号，所以d3，即距离的最大值等于3。【答案】3微考点大课堂考点一 两条直线的平行与垂直【典例1】(1)若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210平行，则a_。(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_。【解析】(1)直线l1：ax2y60的斜率为，在y

7、轴上的截距为3。又因为直线l1与直线l2平行，所以直线l2：x(a1)ya210的斜率存在且等于，在y轴上的截距为(a1)。由两直线平行得，且3a1，解得a2或a1。(2)解法一：l1l2，k1k21，即1，解得a2。解法二：l1l2，a20，a2。【答案】(1)2或1(2)2反思归纳(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件。(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。【变式训练】已知两直线l1：xysin10和l2：2x·siny10，求的值，使

8、得：(1)l1l2；(2)l1l2。【解析】(1)解法一：当sin0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2。当sin0时，k1，k22sin。要使l1l2，需2sin，即sin±。所以k±，kz，此时两直线的斜率相等，在y轴上截距不等。故当k±，kz时，l1l2。解法二：由a1b2a2b10，得2sin210，所以sin±，所以k±，kz。又b1c2b2c10，所以1sin0，即sin1。故当k±，kz时，l1l2。(2)因为a1a2b1b20是l1l2的充要条件，所以2sinsin0，即sin0，所以k，kz

9、。故当k，kz时，l1l2。【答案】(1)k±(kz)(2)k(kz)考点二 两条直线的交点问题【典例2】求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程。【解析】解法一：先解方程组得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，则直线l的方程为y2(x1)，即5x3y10。解法二：由于ll3，故l是直线系5x3yc0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5×(1)3×2c0，由此求出c1，故l的方程为5x3y10。解法三：由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0

10、中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0。其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10。【答案】5x3y10反思归纳常用的直线系方程(1)与直线axbyc0平行的直线系方程是axbym0 (mr且mc)；(2)与直线axbyc0垂直的直线系方程是bxaym0 (mr)；(3)过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0 (r)，但不包括l2。【变式训练】已知直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为p(1,2)，则直线l的一般式方程为_。【解析】解法一：设直线l与l1的交点为a

11、(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为b(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10。解法二：设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20。由得x。由得x。则2，解得k3。因此直线l的方程为y23(x1)，即3xy10。【答案】3xy10考点三 距离公式的应用【典例3】已知点p(2，1)。(1)求过点p且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点p且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点p且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。【解析】(1)过点p的直线l与原点的距离为2，而点p的坐标为(2，1)，显然

12、，过p(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2。若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10。由已知得2，解得k。此时l的方程为3x4y100。综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100。(2)作图可得过点p与原点o的距离最大的直线是过点p且与po垂直的直线，如图。由lop，得klkop1，所以kl2。由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50。所以直线2xy50是过点p且与原点o的距离最大的直线，最大距离为。(3)由(2)可知，过点p不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点p且到原点的距离为6的直线。【答案】(1)x2或3x4y100(2

13、)(3)不存在，理由见解析反思归纳利用距离公式应注意1点p(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；2两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等。【变式训练】(1)平行于直线3x4y20，且与它的距离是1的直线方程为_。(2)直线l经过点p(2，5)且与点a(3，2)和点b(1,6)的距离之比为12，求直线l的方程。【解析】(1)设所求直线方程为3x4yc0(c2)，则d1，解得c3或c7，所求直线方程为3x4y30或3x4y70。(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x2，点a到直线l的距离为d11，点b到直线l的距离为d23，不符合题意

14、，故直线l的斜率必存在。设直线l的方程为y5k(x2)，即kxy2k50，则点a(3，2)到直线l的距离d1，点b(1,6)到直线l的距离d2，d1d212，解得k1或k17。所求直线方程为xy30和17xy290。【答案】(1)3x4y30或3x4y70(2)xy30和17xy290考点四 对称问题【典例4】已知直线l：2x3y10，点a(1，2)。求：(1)点a关于直线l的对称点a的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l对称的直线m的方程；(3)直线l关于点a(1，2)对称的直线l的方程。【解析】(1)设a(x，y)，再由已知解得所以a。(2)在直线m上取一点，如m(2,0)，则m(2

15、,0)关于直线l的对称点必在m上。设对称点为m(a，b)，则解得m。设m与l的交点为n，则由得n(4，3)。又因为m经过点n(4,3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020。(3)设p(x，y)为l上任意一点，则p(x，y)关于点a(1，2)的对称点为p(2x，4y)，因为p在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90。【答案】(1)a(2)9x46y1020(3)2x3y90反思归纳1.关于中心对称问题的处理方法：(1)若点m(x1，y1)及n(x，y)关于p(a，b)对称，则由中点坐标公式得(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出

16、它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求直线方程。2关于轴对称问题的处理方法：(1)点关于直线的对称若两点p1(x1，y1)与p2(x2，y2)关于直线l：axbyc0对称，则线段p1p2的中点在l上，而且连接p1p2的直线垂直于l，由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标(x2，y2)(其中b0，x1x2)。(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。【变式训练】光线从a(4，2)点射出，到直线yx上的b点后被直线yx反射到y轴上c点，又

17、被y轴反射，这时反射光线恰好过点d(1,6)，则bc所在的直线方程为_。【解析】作出草图，如图所示，设a关于直线yx的对称点为a，d关于y轴的对称点为d，则易得a(2，4)，d(1,6)。由入射角等于反射角可得ad所在直线经过点b与c。故bc所在的直线方程为，即10x3y80。【答案】10x3y80微考场新提升1(2016·汕头模拟)已知l1：(1a)xay20，l2：ax(2a1)y30，若l1l2，则a的值为()a0或2b0或2c2 d2解析由l1l2得(1a)aa(2a1)0，a0或a2。故选b。答案b2“a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行”的()a充分不必要

18、条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析依题意，注意到直线ax3y30和直线x(a2)y10平行的充要条件是解得a1。故选c。答案c3(2017·衡阳模拟)若a，b，p(a0，b0，p0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是()a. b.c. d.解析由题意设直线方程为1，则p2，。故选a。答案a4(2016·昆明模拟)已知a，b两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且线段ab的中点为p，则线段ab的长为_。解析依题意，a2，p(0,5)，设a(x,2x)，b(2y，y)，由中点坐标公式得解得x4，y2，所以a(4,8)，b(4,2)，|ab|10。答案105(2016·抚顺模拟)已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点p(3,4)。(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标。(2)当点p到直线l的距离最大时，求直线l的方程。解析(1)直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得所以直线l恒过定点(2,3)。(2)由(1)知直线l恒过定点a(2