高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式评估验收卷 新人教A版选修45

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式评估验收卷(三)(时间：120 分钟满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设xy0，则x24y2y21x2的最小值为()a9b9c10d0解析：x22y21x2y2x1x2yy29.答案：b2学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件，现在选择商店中为5

3、元、3 元、2 元的奖品，则至少要花()a300 元b360 元c320 元d340 元解析：由排序原理，反序和最小所以最小值为 502403205320(元)答案：c3锐角三角形abc中，设pabc2，qacoscbcosbccosa，则p，q的大小关系为()apqbpqcpqd不能确定解析：不妨设abc，则abc，cosacosbcosc，则由排序不等式有qacoscbcosbccosaacosbbcoscccosar(2sinacosb2sinbcosc2sinccosa)，qacoscbcosbccosabcosaccosbacoscr(2sinbcosa2sinccosb2sinac

4、osc)，上面两式相加，得qacoscbcosbccosa12r(2sinacosb2sinbcosa2sinbcosc2sinccosb2sinccosa2sinacosc)rsin(ab)sin(bc)sin(ac)r(sincsinasinb)abc2p(r为锐角三角形abc的外接圆的半径)答案：c6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f

5、 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 54已知 3x22y21，则 3x2y的取值范围是()a0， 5b 5，0c 5， 5 d5，5解析：因为(3x22y2)( 3)

6、2( 2)2( 3x 3 2y 2)2(3x2y)2，即 5(3x22y2)(3x2y)2(当且仅当xy时等号成立)，又 3x22y21，所以(3x2y)25，所以 53x2y 5.答案：c5设a，b，c为正数，则(abc)4a9b36c的最小值为()a54 6b9c121d8 3解析：因为a，b，c为正数，所以(abc)4a9b36c(a)2(b)2(c)22a23b26c2(236)2121.当且仅当a2，b3，c6 时取等号答案：c6已知半圆的直径ab2r，p是弧ab上一点，则 2|pa|3|pb|的最大值是()a. 6rb. 13rc2 13rd4 13r解析：由 2|pa|3|pb|

7、（2232） （|pa|2|pb|2） 13|ab|2 132r.答案：c7函数f(x) 1cos 2xcosx，则f(x)的最大值是()a. 3b. 2c1d2解析：f(x) 2 sin2xcosx.又( 2 sin2xcosx)2(21)(sin2xcos2x)3，所以f(x)的最大值为 3.答案：a8已知x21x22x231，y21y22y232，则x1y1x2y2x3y3的最大值是()a2b3c. 2d. 3解析：因为x21x22x231，y21y22y232，所以(x1y1x2y2x3y3)2(x21x22x23)(y21y22y23)122，所以x1y1x2y2x3y3 2.6 e

8、 d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d

9、 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5当x1y1x2y2x3y322时，取“”，故选 c.答案：c9已知x，y，z0，且1x2y3z1，则xy2z3的最小值是()a5b6c8d9解析：xy2z31x2y3zxy2z3 1xx2yy23zz329.所以xy2z3min9.故应选 d.答案：d10设a1，a2，a3为正数，则a1a2a3a2a3a1a3a1a2与a1a2a3大小为()abcd解析：不妨设a1a2a30，于是1a11a21a3，a2a3a3a1a1a2，由排序不等

10、式：顺序和乱序和，得a1a2a3a3a1a2a2a3a11a2a2a31a3a3a11a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3a2a3a1a3a1a2a1a2a3.答案：b11已知x，y，a，b为正数，且ab10，axby1，xy的最小值为 18，则a，b的值分别为()aa2，b8ba8，b2ca2，b8 或a8，b2da2，b2 或a8，b8解析：因为xy(xy)axby(ab)2ab2ab18.又ab10，所以ab16.所以a2，b8 或a8，b2.答案：c6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e

11、 d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d

12、 4 4 3 5 f 3 7 512设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则a1c1a2c2ancn的最小值是()anb.1nc.nd2n解析：不妨设 0a1a2an，则1a11a21an，1c1，1c2，1cn是1a1，1a2，1an的一个排列再利用排序不等式的反序和乱序和求解，所以a1c1a2c2ancna1a1a2a2anann，当且仅当a1a2an时等号成立故选 a.答案：a二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)1a21b21c2的最小值为_解析：由(a2

13、b2c2)1a21b21c2a1ab1bc1c29，所以所求最小值为 9.答案：914设a，b0，若a2b25，则a2b的最大值为_解析：(1222)(a2b2)(a2b)2，即 25(a2b)2.所以(a2b)max5.答案：515已知x，y，z(0，)，xyz9，则xyz的最大值是_解析：(xyz)2(121212)(xyz)3927.所以xyz3 3.答案：3 316设x，y，zr，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为_解析：由柯西不等式，得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2，故(x2y2z)24936.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8

14、 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1

15、 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5当且仅当x1y2z2k，k23时，上式取得等号当k23时，x2y2z取得最小值6.答案：6三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，求ab的最大值解：因为a(1，0，2)，b(x，y，z)，所以abx2z.由柯西不等式120(2)2(x2y2z2)(x02z)2516(x2z)24 5x2z4 54 5ab4 5，故ab的最大值为 4 5.18 (本小题满分 1

16、2 分)已知 0abc， 求证c2abb2aca2bca2abb2bcc2ca.证明：因为 0abc，所以 0abcabc，所以1ab1ca1bc0，又 0a2b2c2，所以c2abb2aca2bc是顺序和，a2abb2bcc2ca是乱序和，由排序原理可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c2abb2aca2bca2abb2bcc2ca成立19(本小题满分 12 分)设a，b，c都是正实数，求证：aabbcc(abc)abc3.证明：不妨设abc0，则 lgalgblgc，据排序不等式，有algablgbclgcblgaclgbalgc，algablgbclgcclgaalgbblgc，且alga

17、blgbclgcalgablgbclgc，以上三式相加整理，得 3(algablgbclgc)(abc)(lgalgblgc)，即 lg(aabbcc)abc3lg(abc)故aabbcc(abc)abc3.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e

18、d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 520(本小题满分 12 分)设不等式|x2|1 的解集与关于x的不等式x2axb0 的解集相同(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)a x3b5x的最大值，以及取得最大值时x的值解：(1)不等式|x2|1 的解集为x|x1

19、或x3，所以，不等式x2axb0 的解集为x|x1 或x3，所以a4，b3.(2)函数的定义域为3，5，显然有f(x)0，由柯西不等式可得：f(x)4x33 5x 4232（x3）2（ 5x）25 2，当且仅当 4 5x3x3时等号成立，即x10725时，函数取得最大值 5 2.21 (本小题满分 12 分)已知函数f(x)k|x3|，kr， 且f(x3)0 的解集为1，1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1ka12kb13kc1.求证：a2b3c9.(1)解：因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0 等价于|x|k，由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f(x3)0 的解集为1，1因此k1.(2)证明：由(1)知1a12b13c1，因为a，b，c为正实数所以a2b3c(a2b3c)1a12b13c3a2b2baa3c3ca2b3c3c2b32a2b2ba2a3c3ca22b3c3c2b9，当且仅当a2b3c时等号成立因此a2b3c9.22(本小题满分 12