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1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3
2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式评估验收卷(三)(时间:120 分钟满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设xy0,则x24y2y21x2的最小值为()a9b9c10d0解析:x22y21x2y2x1x2yy29.答案:b2学校要开运动会,需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件,现在选择商店中为5
3、元、3 元、2 元的奖品,则至少要花()a300 元b360 元c320 元d340 元解析:由排序原理,反序和最小所以最小值为 502403205320(元)答案:c3锐角三角形abc中,设pabc2,qacoscbcosbccosa,则p,q的大小关系为()apqbpqcpqd不能确定解析:不妨设abc,则abc,cosacosbcosc,则由排序不等式有qacoscbcosbccosaacosbbcoscccosar(2sinacosb2sinbcosc2sinccosa),qacoscbcosbccosabcosaccosbacoscr(2sinbcosa2sinccosb2sinac
4、osc),上面两式相加,得qacoscbcosbccosa12r(2sinacosb2sinbcosa2sinbcosc2sinccosb2sinccosa2sinacosc)rsin(ab)sin(bc)sin(ac)r(sincsinasinb)abc2p(r为锐角三角形abc的外接圆的半径)答案:c6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f
5、 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 54已知 3x22y21,则 3x2y的取值范围是()a0, 5b 5,0c 5, 5 d5,5解析:因为(3x22y2)( 3)
6、2( 2)2( 3x 3 2y 2)2(3x2y)2,即 5(3x22y2)(3x2y)2(当且仅当xy时等号成立),又 3x22y21,所以(3x2y)25,所以 53x2y 5.答案:c5设a,b,c为正数,则(abc)4a9b36c的最小值为()a54 6b9c121d8 3解析:因为a,b,c为正数,所以(abc)4a9b36c(a)2(b)2(c)22a23b26c2(236)2121.当且仅当a2,b3,c6 时取等号答案:c6已知半圆的直径ab2r,p是弧ab上一点,则 2|pa|3|pb|的最大值是()a. 6rb. 13rc2 13rd4 13r解析:由 2|pa|3|pb|
7、(2232) (|pa|2|pb|2) 13|ab|2 132r.答案:c7函数f(x) 1cos 2xcosx,则f(x)的最大值是()a. 3b. 2c1d2解析:f(x) 2 sin2xcosx.又( 2 sin2xcosx)2(21)(sin2xcos2x)3,所以f(x)的最大值为 3.答案:a8已知x21x22x231,y21y22y232,则x1y1x2y2x3y3的最大值是()a2b3c. 2d. 3解析:因为x21x22x231,y21y22y232,所以(x1y1x2y2x3y3)2(x21x22x23)(y21y22y23)122,所以x1y1x2y2x3y3 2.6 e
8、 d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d
9、 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5当x1y1x2y2x3y322时,取“”,故选 c.答案:c9已知x,y,z0,且1x2y3z1,则xy2z3的最小值是()a5b6c8d9解析:xy2z31x2y3zxy2z3 1xx2yy23zz329.所以xy2z3min9.故应选 d.答案:d10设a1,a2,a3为正数,则a1a2a3a2a3a1a3a1a2与a1a2a3大小为()abcd解析:不妨设a1a2a30,于是1a11a21a3,a2a3a3a1a1a2,由排序不等
10、式:顺序和乱序和,得a1a2a3a3a1a2a2a3a11a2a2a31a3a3a11a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3a2a3a1a3a1a2a1a2a3.答案:b11已知x,y,a,b为正数,且ab10,axby1,xy的最小值为 18,则a,b的值分别为()aa2,b8ba8,b2ca2,b8 或a8,b2da2,b2 或a8,b8解析:因为xy(xy)axby(ab)2ab2ab18.又ab10,所以ab16.所以a2,b8 或a8,b2.答案:c6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e
11、 d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d
12、 4 4 3 5 f 3 7 512设c1,c2,cn是a1,a2,an的某一排列(a1,a2,an均为正数),则a1c1a2c2ancn的最小值是()anb.1nc.nd2n解析:不妨设 0a1a2an,则1a11a21an,1c1,1c2,1cn是1a1,1a2,1an的一个排列再利用排序不等式的反序和乱序和求解,所以a1c1a2c2ancna1a1a2a2anann,当且仅当a1a2an时等号成立故选 a.答案:a二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中的横线上)13已知a,b,c为非零实数,则(a2b2c2)1a21b21c2的最小值为_解析:由(a2
13、b2c2)1a21b21c2a1ab1bc1c29,所以所求最小值为 9.答案:914设a,b0,若a2b25,则a2b的最大值为_解析:(1222)(a2b2)(a2b)2,即 25(a2b)2.所以(a2b)max5.答案:515已知x,y,z(0,),xyz9,则xyz的最大值是_解析:(xyz)2(121212)(xyz)3927.所以xyz3 3.答案:3 316设x,y,zr,若x2y2z24,则x2y2z的最小值为_解析:由柯西不等式,得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2,故(x2y2z)24936.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8
14、 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1
15、 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5当且仅当x1y2z2k,k23时,上式取得等号当k23时,x2y2z取得最小值6.答案:6三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设a(1,0,2),b(x,y,z),若x2y2z216,求ab的最大值解:因为a(1,0,2),b(x,y,z),所以abx2z.由柯西不等式120(2)2(x2y2z2)(x02z)2516(x2z)24 5x2z4 54 5ab4 5,故ab的最大值为 4 5.18 (本小题满分 1
16、2 分)已知 0abc, 求证c2abb2aca2bca2abb2bcc2ca.证明:因为 0abc,所以 0abcabc,所以1ab1ca1bc0,又 0a2b2c2,所以c2abb2aca2bc是顺序和,a2abb2bcc2ca是乱序和,由排序原理可知顺序和大于等于乱序和,即不等式c2abb2aca2bca2abb2bcc2ca成立19(本小题满分 12 分)设a,b,c都是正实数,求证:aabbcc(abc)abc3.证明:不妨设abc0,则 lgalgblgc,据排序不等式,有algablgbclgcblgaclgbalgc,algablgbclgcclgaalgbblgc,且alga
17、blgbclgcalgablgbclgc,以上三式相加整理,得 3(algablgbclgc)(abc)(lgalgblgc),即 lg(aabbcc)abc3lg(abc)故aabbcc(abc)abc3.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e
18、d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 520(本小题满分 12 分)设不等式|x2|1 的解集与关于x的不等式x2axb0 的解集相同(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)a x3b5x的最大值,以及取得最大值时x的值解:(1)不等式|x2|1 的解集为x|x1
19、或x3,所以,不等式x2axb0 的解集为x|x1 或x3,所以a4,b3.(2)函数的定义域为3,5,显然有f(x)0,由柯西不等式可得:f(x)4x33 5x 4232(x3)2( 5x)25 2,当且仅当 4 5x3x3时等号成立,即x10725时,函数取得最大值 5 2.21 (本小题满分 12 分)已知函数f(x)k|x3|,kr, 且f(x3)0 的解集为1,1(1)求k的值;(2)若a,b,c是正实数,且1ka12kb13kc1.求证:a2b3c9.(1)解:因为f(x)k|x3|,所以f(x3)0 等价于|x|k,由|x|k有解,得k0,且解集为k,k因为f(x3)0 的解集为1,1因此k1.(2)证明:由(1)知1a12b13c1,因为a,b,c为正实数所以a2b3c(a2b3c)1a12b13c3a2b2baa3c3ca2b3c3c2b32a2b2ba2a3c3ca22b3c3c2b9,当且仅当a2b3c时等号成立因此a2b3c9.22(本小题满分 12
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