高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程课时作业 新人教A版选修11

1、2.1.1椭圆及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义1,2求椭圆的标准方程4,7由椭圆的标准方程求参数或范围3,8与椭圆有关的轨迹问题5,10,12椭圆定义的应用6,9,11,13【基础巩固】1.平面内一动点m到两定点f1,f2距离之和为常数2a,则点m的轨迹为(d)(a)椭圆 (b)圆(c)无轨迹(d)椭圆或线段或无轨迹解析:当2a>|f1f2|时,轨迹为椭圆;当2a=|f1f2|时,轨迹为线段;当2a<|f1f2|时,轨迹不存在.故选d.2.设p是椭圆+=1上的任意一点,若f1,f2是椭圆的两个焦点,则|pf1|+|pf2|等于(a)(a)10(b)8(c)5(d

2、)4解析:因为椭圆中a2=25,所以2a=10.由椭圆的定义知|pf1|+|pf2|=2a=10.故选a.3.已知椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为(d)(a)8(b)12 (c)2(d)4解析:把点(-2,)代入+=1,得b2=4,所以c2=a2-b2=12.所以c=2,所以2c=4.故选d.4.方程+=10化简的结果是(b)(a)+=1(b)+=1(c)+=1(d)+=1解析:由方程形式知是到(2,0)和(-2,0)两定点距离和为10的点的轨迹方程.c=2,2a=10,所以a=5.所以b2=a2-c2=21.所以所求方程为+=1.故选b.5.(2018·衡阳周测)若abc的两个

3、顶点坐标为a(-4,0),b(4,0),abc的周长为18,则顶点c的轨迹方程为(d)(a)+=1 (b)+=1(y0)(c)+=1(y0)(d)+=1(y0)解析:因为|ab|=8,abc的周长为18,所以|ac|+|bc|=10>|ab|,故点c轨迹为椭圆且两焦点为a,b,又因为c点的纵坐标不能为零,故d正确.故选d.6.(2018·大连双基检测)f1,f2是椭圆+=1的两个焦点,a为椭圆上一点,且af1f2=45°,则af1f2的面积为(c)(a)7(b)(c)(d)解析:由已知得a=3,c=.设|af1|=m,则|af2|=6-m,所以(6-m)2=m2+(2

4、)2-2m·2cos 45°,解得m=.所以=××2sin 45°=.故选c.7.以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点m(2,)的椭圆的标准方程为. 解析:9x2+5y2=45化为标准方程形式为+=1,焦点为(0,±2),所以c=2,设所求方程为+=1,代入(2,),解得a2=12.所以方程为+=1.答案:+=18.(2018·许昌高二月考)若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是. 解析:将原方程整理,得+=1.根据题意得解得0<k<1.答案:(0,1)【能

5、力提升】9.(2018·上饶质检)已知椭圆+y2=1的焦点为f1,f2,点m在该椭圆上,且·=0,则点m到x轴的距离为(c)(a)(b)(c)(d)解析:由·=0,得mf1mf2,可设|=m,|=n,在f1mf2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,所以mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1.设点m到x轴的距离为h,则×|f1f2|×h=1,又|f1f2|=2,所以h=.10.已知椭圆的焦点是f1,f2,p是椭圆上的一个动点,如果延长f1p到q,使得pq=pf2,那么

6、动点q的轨迹是. 解析:因为|pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|,所以|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a.所以动点q到定点f1的距离等于定长2a,故动点q的轨迹是圆.答案:圆11.(2018·成都诊断)如图,把椭圆+=1的长轴ab分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于p1,p2,p7七个点,f是椭圆的一个焦点,则|p1f|+|p2f|+|p7f|=. 解析:设椭圆右焦点为f,由椭圆的对称性知,|p1f|=|p7f|,|p2f|=|p6f|,|p3f|=|p5f|,所以原式=(|p7f|+|p7f|)+

7、(|p6f|+|p6f|)+(|p5f|+|p5f|)+(|p4f|+|p4f|)=7a=35.答案:3512.abc中底边bc=12,其他两边ab和ac上中线的和为30,求此三角形重心g的轨迹方程,并求顶点a的轨迹方程.解:以bc边所在直线为x轴,bc边中点为原点,bc的垂直平分线为y轴,建立坐标系,则b(6,0),c(-6,0),ce,bd为ab,ac边上的中线,则|bd|+|ce|=30.由重心性质可知|gb|+|gc|=(|bd|+|ce|)=20.因为b,c是两个定点,g点到b,c距离和等于定值20,且20>12,所以g点的轨迹是椭圆,b,c是椭圆焦点,所以2c=|bc|=12

8、,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故g点的轨迹方程为+=1,去掉(10,0),(-10,0)两点,又设g(x,y),a(x,y),则有+=1.由重心坐标公式知故a点轨迹方程为+=1.即+=1,去掉(-30,0),(30,0)两点.【探究创新】13.(2018·甘肃质检)设p(x,y)是椭圆+=1上的点且p的纵坐标y0,点a(-5,0),b(5,0),试判断kpa·kpb是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解:因为点p在椭圆+=1上,所以y2=16×(1-)=16×.因为点p的纵坐标y0,所以x±5.所以kpa=,kpb=.所以kpa·kpb=·=.把代入,得kpa·kpb=-.所以kpa·kpb为定值,这个定值是-.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d443