第八章 过渡过程的经典解法 2014下半年

1、1第八章 过渡过程的经典解法28-1 概述概述电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态的过程，称为电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态的过程，称为过渡过程过渡过程。SUR电感电流稳态值0VCu电容电压稳态值3在过渡过程的分析中，常将外界对电路的输入称为在过渡过程的分析中，常将外界对电路的输入称为激励激励，将，将电路在激励作用下所产生的电流、电压称为电路在激励作用下所产生的电流、电压称为响应响应(或输出或输出)。一个电路若引入激励历时已久，那么这个电路在激励作用一个电路若引入激励历时已久，那么这个电路在激励作用足够长时间所建立的状态称为足够长时间所建立的状态称为强制状态强制状态或强迫状态。或强迫状态

2、。当一个稳定电路的激励是恒定或随时间作周期性变化时，强当一个稳定电路的激励是恒定或随时间作周期性变化时，强制状态就是稳定状态，简称稳态。制状态就是稳定状态，简称稳态。仅由电阻和电源组成的网络称为电阻网络，响应是即时跟随仅由电阻和电源组成的网络称为电阻网络，响应是即时跟随的，是无记忆的，故电阻网络也称即时网络。的，是无记忆的，故电阻网络也称即时网络。含有电容、电感等动态元件的电路，称为动态电路。含有电容、电感等动态元件的电路，称为动态电路。在求解动态电路过渡过程时，任一时刻的响应不仅与当前在求解动态电路过渡过程时，任一时刻的响应不仅与当前的激励有关，而且与过去的电路状态有关。的激励有关，而且与过

3、去的电路状态有关。4求解动态电路过渡过程的四种方法求解动态电路过渡过程的四种方法 (1)经典法经典法(电路时域分析法电路时域分析法)：根据电路来列写关于响应：根据电路来列写关于响应x(t)的微分方程，在时域直接求解微分方程，求出其特解和通解，的微分方程，在时域直接求解微分方程，求出其特解和通解，再由初始条件决定积分常数。再由初始条件决定积分常数。 (2)运算法运算法(电路复频域分析法电路复频域分析法)：应用拉普拉斯变换：应用拉普拉斯变换(简称拉氏简称拉氏变换变换)得到关于响应的复频域代数方程，求出响应的象函数，得到关于响应的复频域代数方程，求出响应的象函数，再经拉氏反变换，最后得到时域解。再经

4、拉氏反变换，最后得到时域解。 (3)积分法：利用卷积积分和裘阿梅里积分，在时域中直接求积分法：利用卷积积分和裘阿梅里积分，在时域中直接求解任意函数激励下的零状态响应。解任意函数激励下的零状态响应。 (4)状态变量法：适当选择一组状态变量，将一个状态变量法：适当选择一组状态变量，将一个n阶微分方阶微分方程变换为几个一阶微分方程组，即状态方程，然后求解状态程变换为几个一阶微分方程组，即状态方程，然后求解状态方程最后得到响应。方程最后得到响应。58-2 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激

5、励或响应。路中的激励或响应。单位阶跃函数单位阶跃函数001( )10ttt单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)定义为定义为阶跃函数阶跃函数K1(t)，又称为开关函数，又称为开关函数6延时单位阶跃函数延时单位阶跃函数00001()1tttttt0S12N( )ttu t若时 刻 将 开 关从 切 换 到 ，那 么 一 端 口 网 络的 入 端 电 压就 可 用 延 时 阶 跃 函 数 表 示 为 ：0( )1()Su tUtt利用阶跃函数和延时阶跃函数表示矩形脉冲函数利用阶跃函数和延时阶跃函数表示矩形脉冲函数0( )1( )1()SutAtAtt7单位冲激函数单位冲激函数单位冲激函数定义为单位冲激函

6、数定义为0( )( )1tt dt t0 t=0单位脉冲函数单位脉冲函数定义定义12( )02p t t t8111111单位脉冲函数的宽度是 ，高度是，面积为。当脉冲宽度 减小时，其高度将增大，而面积仍保持为。当脉冲宽度 趋于无限小时，其高度将趋于无限大，但面积仍然为。当脉冲宽度趋于零时，这时脉冲函数就成为单位冲激函数。( )KKt 冲激强度为的冲激函数00000()()1tttttt dt t t=0()tt延时单位冲激函数定义为9冲激函数的筛分性质冲激函数的筛分性质00000( )0( )0( )( )(0)( )( )( )(0)( )(0)( ),( )()( )()( )f ttt

7、f ttftf tt dtft dtfttf tf ttt dtf ttt dtf t设函数在时连续，由于t 0时因此同理，对于在处连续的函数有00( )1( )101( )( )ttt dtttd ttdt单位阶跃函数是单位冲激函数的积分 单位冲激函数是单位阶跃函数的导数108-3 换路定则和初始条件换路定则和初始条件电路的结构、参数突然改变或激励的突然变化，统称为换路。电路的结构、参数突然改变或激励的突然变化，统称为换路。在换路时，通常电路服从换路定则。在换路时，通常电路服从换路定则。换路定则换路定则1：当电容电流：当电容电流ic为有限值时，电容上的电荷为有限值时，电容上的电荷qc和电和电

8、压压uc在换路瞬间保持连续。在换路瞬间保持连续。00 0t假设换路发生在时刻， 、 分别表示换路前后的瞬间。000000000( )( )( )1( )( )( )0 ,0 ,(0 )(0 )( )1(0 )(0 )( )tCCCttCCCtCCCCCCqtqtidututidCttqqiduuidC令式中则有+00(0 )(0 )(0 )(0 )CCCCCiqquu当电容电流为有限值时，从积分项为零，故有112LLuL换路定则 ：当电感电压为有限值时，电感中的磁链和和电流i 在换路瞬间保持连续。00LL0000LL000( )( )( )1( )( )( )0 ,0 ,(0 )(0 )( )

9、1(0 )(0 )( )tLttLLLtLLLLttudi ti tudLttudiiudL 令式中则有LL(0 )(0 )(0 )(0 )LLLuii 当电感两端电压为有限值时，积分项为零，故而有Li LLddLdtdtui12初始条件的确定初始条件的确定利用换路定则、基尔霍夫定律、欧姆定律利用换路定则、基尔霍夫定律、欧姆定律(0 )(0 )00CuttL电容元件用电压为的电压源替代，电感元件用电流为i的电流源替代，各独立电源取时刻的值，从而得到时刻的等效电阻电路。13128-3-16 ,2 ,4 ,1 ,3,S(0 )2 ,0SS(0 ),(0 ),(0 )(0 )CCLCV RRCF L

10、HuVtuiu SL例在如图所示电路中，U开关 打开已久，且在时刻，将开关 合上，求开关 闭合后瞬间的i和各为多少？12210SL(0 )1t=0S(0 )(0 )1(0 )(0 )20b(0 )(0 )(0 )20 )(0 )2/3(0 )(0 )SLLLCCLCLLLLLSCCtUiARRiiAuuVtuuR iVdiuLdtdiuA sdtLUuiR +解：当时， 打开已久，电感 相当于短接，则有在瞬间， 闭合，由换路定则知画出时刻的等效电路，如图 所示，它是一个直流电阻电路由知（(0 )1(0 )(0 )1 /LCCCCiAduiCdtduiV sdtC由知148-3-2a4 , 12

11、2 ,t=0S(0 )(0 )SIA RRS R1R2例在如图 所示电路中，闭合已久，求时打开 瞬间的i、i。12112121122120SC1C2L(0 )0(0 )2(0 )(0 )40S(0 )(0 )4(0 )(0 )0(0 )(0 )20b(0 )LSCLCCCCLLRRtVRRRiIARRuRiVtuuVuuViiAtiiC2解：当时， 闭合已久，电容、相当于开路，电感 相当于短接，则有u由 、分流，得在瞬间， 打开，由换路定则知画出时刻的等效电路，如图 所示，于是1(0 )(0 )12SLIiA15当电路换路后，电路中存在由电压源、电容组成的回路或纯当电路换路后，电路中存在由电压

12、源、电容组成的回路或纯电容回路时，换路定则不再适用，各电容电压可能会跳变，电容回路时，换路定则不再适用，各电容电压可能会跳变，此时电容电流不再是有限值。此时电容电流不再是有限值。12121+2+8-3-31 ,2 ,(0 )(0 )1 ,5 ,t0SS(0 )(0 )CCSCCCF CFuuV UVuu例在如图所示电路中，已知在时，开关 闭合，求 闭合后瞬间、各为多少？1212210212022112211S0(0 )(0 )5(1)00(0 )(0 )(0 )(0 )(2)(2)CCSCCCCCCCCCCtuuUVdududtdtdududtdtduduCdtdtdtC uC uC uC u

13、12211解： 闭合后瞬间，在时有 电容电压必须跳变才能满足上式，若沿用换路定则就不可能满足上式。由KCL得i=CCCCC 式表明换路前后电荷守恒，代入数据得1621121122(0 )(0 )1(3)(1) (3)(0 )3(0 )2(0 )(0 ),(0 )(0 ),CCCCCCCCuuuVuVuuuu2 联立求解、 得从计算结果知：电容电压强迫跳变，电容电流不为有限值。当电路换路后，电路中存在由电流源和电感组成的割集或纯电当电路换路后，电路中存在由电流源和电感组成的割集或纯电感割集时，换路定则亦不再适用，各电感电流可能要发生跳变，感割集时，换路定则亦不再适用，各电感电流可能要发生跳变，此

14、时电感电压不再是有限值。此时电感电压不再是有限值。17212S1R =2L =2HL =4HI =3ASS(0 )(0 ) 1L1L2例8-3-4 如图所示电路，已知R，开关 原在1处已久，在t=0时，开关 由1切换至2，求换路后瞬间的电感电流i、i为多少？21211221222111+0SLL(0 )2(0 )1S12(0 )+(0 )0(1)0(2)00SSLLLLtRIARRRIARRdidiLR iLRidtdt12L1L2+L1L2解：当时，开关 在1处已久，、相当于短接，则ii在 由 切换至 后瞬间，t=0 时有ii 对上式从到积分得180+0+00212221110-0-00-+

15、00+112200-dtdt 00=0dt=0(0 )(0 )(0 )(0 )(3)313LLLLLLdidiLR iLdtRi dtdtdtRi dtR iL1L212 L21 L12 L21 L1因为i 、i 仍是有限值，且从0 到的时间间隔为无穷小，故，于是L iL iL iL i 式（ ）表明换路前后磁链守恒。在（）、（ ）中(0 )=(0 )0(0 )(0 ),(0 )(0 ),L1L2L1L1L2L2代入数据并联立求解得ii从计算结果知：iiii在换路前后电感电流发生强迫跳变，电感电压不为有限值。磁链为代数量，选择回路方向，当电感电流方向与回路磁链为代数量，选择回路方向，当电感电流

16、方向与回路方向一致时，取正，反之取负。方向一致时，取正，反之取负。19小结：小结： (3)当电容电压、电感电流发生强迫跳变时，在节点上电荷守恒，当电容电压、电感电流发生强迫跳变时，在节点上电荷守恒，即即 。值得注意的是，电荷为代。值得注意的是，电荷为代数量，当与节点相连为电容正极板时，电荷取正，反之，取负；数量，当与节点相连为电容正极板时，电荷取正，反之，取负；在回路中磁链守恒，即在回路中磁链守恒，即 同样，同样，磁链也为代数量，选择回路方向，当电感电流方向与回路方向磁链也为代数量，选择回路方向，当电感电流方向与回路方向一致时，取正，反之取负。一致时，取正，反之取负。(2)当电路中存在电压源与

17、电容组成的回路或纯电容回路时，存在当电路中存在电压源与电容组成的回路或纯电容回路时，存在电流源与电感组成的割集或纯电感割集时，在换路前后瞬间电容电流源与电感组成的割集或纯电感割集时，在换路前后瞬间电容电压、电感电流将发生强迫突变，不再满足换路定则。电压、电感电流将发生强迫突变，不再满足换路定则。(1)换路定则：通常情况下，在换路前后瞬间电容电压连续，换路定则：通常情况下，在换路前后瞬间电容电压连续，即即 ；电感电流连续，即；电感电流连续，即 。(0 )(0 )CCuu(0 )(0 )LLiiCC(0 )(0 )Cu (0 )=Cu (0 )qq节点节点节点节点或(0 )(0 )(0 )(0 )

18、LLLiLi回路回路回路回路或208-4 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应当电路中含有一个储能元件当电路中含有一个储能元件L或或C 时，列写的电路基尔霍时，列写的电路基尔霍夫电流或电压定律方程通常是一阶微分方程。夫电流或电压定律方程通常是一阶微分方程。仅含一个独立储能元件的电路称为一阶电路。仅含一个独立储能元件的电路称为一阶电路。当电路中没有激励，仅由储能元件的初始储能引起的响当电路中没有激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。应，称为零输入响应。RC电路电路RL电路电路21RC电路的零输入响应电路的零输入响应0(0 )CuU0CRiuCduiCdt将代入上式当当t 0

19、，S切换至切换至2后，由后，由KVL得得0CCduRCudt上式是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为上式是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为10RCs 特征根为特征根为1sRC 齐次方程的通解为齐次方程的通解为( )tstRCCutAeAe22( )tstRCCutAeAe0(0 )(0 )CCuuU0(0 )CuAU00( )( )tRCCtCRCutU eduUi tCedtR 负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反。负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反。i还可以这样求还可以这样求0tCRCuUieRR ( )Cui t、都按指数规律衰减230

20、0( )( )tRCCtCRCutU eduUi tCedtR 具有时间的量纲，因而称为电路的具有时间的量纲，因而称为电路的时间常数时间常数。RC令时间常数时间常数的大小反映了过渡过程进展的快慢。的大小反映了过渡过程进展的快慢。 越大，过越大，过渡过程维持的时间越长、过渡过程进行得越慢；渡过程维持的时间越长、过渡过程进行得越慢； 越小，过越小，过渡过程维持的时间越短，过渡过程进行得越快。渡过程维持的时间越短，过渡过程进行得越快。从理论上说，过渡过程需要经过无穷长的时间才能结束，当从理论上说，过渡过程需要经过无穷长的时间才能结束，当 时，指数函数时，指数函数 ，但实际上去经过，但实际上去经过3

21、5 时间时间后，通常认为过渡过程基本结束，因为响应衰减至初始值的后，通常认为过渡过程基本结束，因为响应衰减至初始值的5%0.67%t 0te244求时间常数 的图解法从衰减曲线上任一点从衰减曲线上任一点P作切线作切线00tan1tCtCuU ePPP QduU edt25时间常数 的进一步讨论时间常数时间常数的大小取决于电路的结构和参数，而与激励无关。的大小取决于电路的结构和参数，而与激励无关。R C串联电路的时间常数串联电路的时间常数=R C。R、C愈大，愈大，愈大。当愈大。当R一定时、一定时、C愈大，则电容愈大，则电容C上储存的初始能量上储存的初始能量 越大，放电时间越大，放电时间愈长；当

22、愈长；当C一定时、一定时、R愈大，则放电电流愈小，放电时间愈长。愈大，则放电电流愈小，放电时间愈长。2012CU上述的过渡过程实质上是电容中原来储存的电场能转换为电阻上述的过渡过程实质上是电容中原来储存的电场能转换为电阻消耗的热能的过程。在整个过渡过程中，电阻消耗的总能量为消耗的热能的过程。在整个过渡过程中，电阻消耗的总能量为22000222000()12tRCtRCURi dtRedtRUedtCUR0( )tCRCduUi tCedtR 26RL电路的零输入响应电路的零输入响应(0 )SUiR0diLRidt0sLR特征方程为 RsL 特征根为 RtstLiAeAe0(0 )(0 )SUi

23、iIR(0 )iA00( )SRRttSLLUAIRUi tI eeR270( )RRttSLLUi tI eeRSUiR可见换路后，电流 从初值按指数规律衰减，最终衰减至零，如图所示。( )( )( )RtLRSRtLLSutRi tU ediutLU edt 电阻电压 电感电压 28时间常数时间常数,LR具有时间量纲，反映了过渡过程进展的快慢。在在R L电路中，时间常数电路中，时间常数与与L成正比，与成正比，与R成反比。当成反比。当R一定一定时，时，L愈大，电感中储存的初始能量愈大，放电时间愈长；当愈大，电感中储存的初始能量愈大，放电时间愈长；当L一定时，一定时，R越大，电阻越大，电阻R消

24、耗的功率消耗的功率Ri2愈大，磁场能转化为愈大，磁场能转化为热能的速率愈大，放电时间愈短，时间常数愈小。热能的速率愈大，放电时间愈短，时间常数愈小。电阻上消耗的总能量为电阻上消耗的总能量为22200001()2RtLRi dtR I edtLI电阻上消耗的能量就等于电感电阻上消耗的能量就等于电感L上的初始储能。上的初始储能。从从R C和和R L电路的零输人响应可以看出，零输入响应的大小与电路的零输人响应可以看出，零输入响应的大小与其对应的初始值成正比关系。例如式其对应的初始值成正比关系。例如式(8-4-11)，当电流，当电流i的初值的初值增大增大K倍，则零输入响应倍，则零输入响应i也随之增大也

25、随之增大K倍。这一特性称为零输倍。这一特性称为零输入线性。入线性。0( )RRttSLLUi tI eeR零输入线性零输入线性298-5 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应当所有的储能元件均没有初始储能，电路处于零初始状态情当所有的储能元件均没有初始储能，电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中产生的响应称为零状态响应。况下，外加激励在电路中产生的响应称为零状态响应。直流激励下的零状态响应直流激励下的零状态响应RC串联电路串联电路开关开关S原置于位置原置于位置2，电路已达稳，电路已达稳态，态， ，电容上无初始储能。，电容上无初始储能。(0 )0CuV( )( )(852)( )( )(

26、 )CCSCpSttRCChtCCpChSduRCuUdtutUutAeAeutututUAe 特解为齐次方程的通解为 全解为30(0 )(0 )0(852)(0 )( )(1)( )( )( )CCCSStCStCStRSuuuUAAUutUeduUi tCedtRutRi tU e 根据换路定则由式得最终求得( )( )( )( )(852)ttRCChtCCpChSutAeAeutututUAe 齐次方程的通解为 全解为 当当t0后，电压源对电容后，电压源对电容C充电。电容充电。电容C从初始电压为零逐渐增大，最终充电至从初始电压为零逐渐增大，最终充电至稳态电压稳态电压U s，而电流，而电

27、流i则从初始值逐渐则从初始值逐渐减小，最终衰减至稳态值零。减小，最终衰减至稳态值零。31微分方程的特解所对应的分量就是强制分量，齐次方程的微分方程的特解所对应的分量就是强制分量，齐次方程的通解对应的分量就称为自由分量。当电路中激励为恒定或通解对应的分量就称为自由分量。当电路中激励为恒定或随时间作周期性变化时，强制分量就是稳态分量，也称为随时间作周期性变化时，强制分量就是稳态分量，也称为稳态响应；自由分量就称为暂态分量，也称为暂态响稳态响应；自由分量就称为暂态分量，也称为暂态响应。应。( )(1)tCSutUe( )( )tChSCpSutU eutU 通解为 特解为一般将单位阶跃函数激励下的零

28、状态响应，称为单位阶跃响一般将单位阶跃函数激励下的零状态响应，称为单位阶跃响应。在如图所示电路中，若应。在如图所示电路中，若Us=1V，那么电容电压，那么电容电压uc(t)、电、电流流i(t)以及电阻上的电压以及电阻上的电压uR(t)是单位阶跃响应。若是单位阶跃响应。若Us=K 时，时，那么电路的零状态响应是对应的阶跃响应的那么电路的零状态响应是对应的阶跃响应的K倍，这一特性倍，这一特性称为零状态线性。称为零状态线性。32RL串联电路串联电路(0 )0 ,LiA电感 上无初始储能。( )( )( )( )( )SphdiLRiUdttti ti ti tph上式是一个一阶线性常系数非齐次微分方

29、程。该方程的全解是特解和齐次方程的通解之和i(t)=ii式中，表示全解，表示特解，表示通解。特解对应的分量就是强制分量，此处的激励是直流电源，所以强制分量就特解对应的分量就是强制分量，此处的激励是直流电源，所以强制分量就是稳态分量。因此换路后电路达到新的稳定状态的稳态电流就是特解是稳态分量。因此换路后电路达到新的稳定状态的稳态电流就是特解( )( )( )( )( )( )(85 10)SpthtSphUii tRi tAeUi ti ti tAeR 其通解为 于是，全解为 33积分常数积分常数A由初始条件确定。在由初始条件确定。在t=0时刻，根据换路定则时刻，根据换路定则( )( )( )(

30、85 10)tSphUi ti ti tAeR (0 )(0 )0(85 10)(0 )( )(1)(1)( )( )(1)( )( )( ),SStRtSSLRtLRSRtLLSRLSiiUiARUARUUi teeRRutRi tUediutLU edtututU 由式得因此最终得到显然，满足KVL。34正弦交流激励下的零状态响应正弦交流激励下的零状态响应RC串联电路串联电路仍以图仍以图8-5-1所示电路为例，将直所示电路为例，将直流电压源改为正弦交流电压源流电压源改为正弦交流电压源( )2sin()SuutUt( )2sin()( )( )( )( )( )( )CCSuCCpChCCp

31、ChduRCuutUtdtutututututut的全解等于特解和通解之和，即+( )( )( )ChCptututCp由于激励是正弦交流激励，u即为稳态分量，即为暂态分量。稳态分量可利用相量计算3522221()11()11arctan()()1()902( )sin(90 )( ),2( )sin(90 )0uuCpuCputChtCuI RjUCUUUIzRjRCCzRCRCUUIjCz CUuttz CutAeUuttAez Ct式中 暂态分量仍为于是全解为当时刻，根据换路定(0 )(0 )0,2(0 )sin(90 )02sin(90 )CCCuuuuUuAz CUAz C 则确定积

32、分常数，由上式最终得到 3622( )sin(90 )sin(90 )(8516)22( )sin()sin(90 )(8517)22( )( )sin()sin(90 )(8518)tRCCuutCRCuutRCRuuUUuttez Cz CduUUi tCtedtzz CRRUUutRi ttezz C 180uu或2Uz C2Uz式式(8-5-16)式式(8-5-18)说明电源的初相角说明电源的初相角 对暂态分量的大小对暂态分量的大小有影响，通常有影响，通常 称为接通角。当称为接通角。当 ，电容电压的暂态分量最大。电容电压的暂态分量最大。uu从式从式(8-5-16)不难看出，电容过渡电压

33、的最大值无论如何不会不难看出，电容过渡电压的最大值无论如何不会超过稳态电压幅值超过稳态电压幅值 的两倍，但是从式的两倍，但是从式(8-5-17)可以看出，在可以看出，在某些情况下，过渡电流的最大值将大大超过稳态电流的幅某些情况下，过渡电流的最大值将大大超过稳态电流的幅值值 。3722( )sin(90 )sin(90 )(8516)22( )sin()sin(90 )(8517)22( )( )sin()sin(90 )(8518)tRCCuutCRCuutRCRuuUUuttez Cz CduUUi tCtedtzz CRRUUutRi ttezz C 150090 ,90 ,500ooCu

34、XRCRUz 例如，当时，若设接通角500 2则在换路后瞬间电流暂态分量约为比稳态分量的幅值将大倍左右。工程上遇到接通电容电路，例如接通空载电缆或架空母工程上遇到接通电容电路，例如接通空载电缆或架空母线时，会形成极大的电流冲击，应注意采取相应的安全线时，会形成极大的电流冲击，应注意采取相应的安全措施。措施。1arctan()CR 38RL串联电路串联电路仍以如图所示电路为例，将直流电压仍以如图所示电路为例，将直流电压源改为正弦交流电压源源改为正弦交流电压源( )2sin()SuutUt( )2sin()(0 )0SudiLRiutUtdti初始条件( )( )( )phi ti ti t非齐次

35、微分方程的全解是特解非齐次微分方程的全解是特解ip(t)与通解与通解ih(t)之和之和特解就是正弦交流激励下的稳态电流，可用相量求解特解就是正弦交流激励下的稳态电流，可用相量求解()pIRj LU392222()=() ,arctan2( )sin()( )2( )( )( )sin()(0 )(0 )02(0 )sin()2sin()upuputhtphuuuUUUIRj LzRLLzRLRUi ttzi tAeUi ti ti ttAeziiUiAzUAz 式中暂态电流仍为于是全解为根据换路定则因而最终得到( )2sin()(0 )0SudiLRiutUtdti初始条件4022( )sin

36、()sin()(8523)22( )sin(90 )sin()(8524)22( )sin()sin()(8525)RtLuuRtoLLuuRtLRuuUUi ttezzdiUUutLLtRedtzzUUutRtRezz (1),(8523)(8525)sin()0, ( )( )( )uuLRi tutut 两种极端情况：换路时，恰好由式知，、中无暂态分量，即没有发生过渡过程，从初始状态直接进入稳定状态。4122( )sin()sin()22( )sin(90 )sin()22( )sin()sin()RtLuuRtoLLuuRtLRuuUUi ttezzdiUUutLLtRedtzzUUu

37、tRtRezz90 ,(8523)(8525)22( )sin(90 )22( )sin22( )sin(90 )( )oRtoLRtLLRtoLRUUi ttezzUUutLtRezzUUutRtRezzi t u(2)换路时，由式知，这时，中暂态分量指数函数的系数达到最大，通常情况下暂态分量中指数函数的系数介于(1)、(2)两种情况之间。倘若时间常数 很大，衰减很慢，则在经过半( )( )LRuututz个周期时，i(t)中暂态分量与稳态分量相加后的瞬时2电流约为稳态分量幅值的两倍，同样、也会超过其稳态分量的幅值。这种过电流、过电压现象在实际电路中必须予以考虑。回顾上述的回顾上述的RC、R

38、L电路的零状态响应，无论是在直流还是在正弦交流激电路的零状态响应，无论是在直流还是在正弦交流激励下，零状态响应的大小均与激励成正比关系。倘若激励扩大励下，零状态响应的大小均与激励成正比关系。倘若激励扩大K倍，各零倍，各零状态响应也随之扩大状态响应也随之扩大K倍，这一特性称为零状态线性。倍，这一特性称为零状态线性。428-6 一阶电路的全响应和三要素法一阶电路的全响应和三要素法由外加激励和非零初始状态的储能元件的初始储能共同引起的响应，称为由外加激励和非零初始状态的储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应。全响应。全响应就是微分方程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。全响应就是微分方

39、程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。全响应全响应开关开关S闭合前，电容两端已有初始电压闭合前，电容两端已有初始电压uc(0-)=U0(86 1)CCSduRCuUdt 0000( )( )( )(0 )(0 )(0 )( )()( )(1)tRCCCpChSCCCSStRCCSSttRCRCCSutututUAeuuUuUAAUUutUUUeutU eUe根据换路定则全响应0( )(844)tRCCutU e零输入响应 ( )(1)(853)tCSutUe 零状态响应 43全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应上述结论的另外一种引出方法上述结论的另外一种引出方法00

40、(0 )(0 )00(0 )(0 )()()(0()()(0 )CzsCzsCzsSCzsCzsCziCziCziCziCziCzsCziCzsCzCzsCziCzsCziSCziCziC sizuduRCuUdtuuuduRCudtuuUd uuRCuududuRCUdtuuRCuuUudtdt零状态响应满足的方程和初值为零输入响应满足的方程和初值为显然，( )CziutC满足(8-6-1)及其初始条件，因此，它就是全解u。(86 1)CCSduRCuUdt 这一方法也适用于高阶线性常系数微分方程的情况，故高阶电路也具备这这一方法也适用于高阶线性常系数微分方程的情况，故高阶电路也具备这一性质

41、。一性质。44用经典法求解一阶电路过渡过程，一阶电路的全响应等于对应的一阶用经典法求解一阶电路过渡过程，一阶电路的全响应等于对应的一阶线性常系数微分方程的全解，记为线性常系数微分方程的全解，记为f(t)三要素法三要素法( )( )( )( )( )( ),( )( )0(0 )(0 )(0 )(0 )( )( ) (0 )(0 )(86 11)phtphhtppptppf tftf tftf tf tAef tftAetffAAfff tftffe代表方程特解，代表齐次方程的通解。为指数形式则取时刻的值于是得到 上式就是著名的三要素公式。上式就是著名的三要素公式。45( )( ) (0 )(0

42、 )(86 11)tppf tftffe 一阶动态电路的三个要素一阶动态电路的三个要素(1) fp(t)：是一阶线性常系数微分方程的特解，是一阶动态电：是一阶线性常系数微分方程的特解，是一阶动态电路在激励作用下的强制分量。各种激励函数作用下的特解形路在激励作用下的强制分量。各种激励函数作用下的特解形式详见表式详见表861。当激励是直流或正弦交流电源时，强制分。当激励是直流或正弦交流电源时，强制分量即是稳态分量，这时候，可按直流电路、正弦交流稳态电量即是稳态分量，这时候，可按直流电路、正弦交流稳态电路的求解方法求得路的求解方法求得fp(t), fp(t)=f()。(2)f(0+)：是响应在换路后

43、瞬间的初始值，按本章第三节中：是响应在换路后瞬间的初始值，按本章第三节中介绍的方法求解。介绍的方法求解。(3)：是时间常数，一个一阶电路只有一个时间常数。：是时间常数，一个一阶电路只有一个时间常数。 是电路储能元件两端的端口等效电阻。是电路储能元件两端的端口等效电阻。,eqeqeqLR CRR或46471111222(0 )0(0 )(0 )00,( )6 ,( )6(+)1( )( )(0 )(0 )(66)022 ,(2 )(66)5.19CCCCCpeqtCCpCCptCuuutSutVutVR CRR CsututuueeVtsts SueV 解：由题意知 根据换路定则此处激励为直流，

44、当时闭合的稳态值为即有时间常数利用三要素公式可得 当闭合，有 2Vts当的换路时刻，仍满足换路定则12128-6-16 ,1 ,0.5 ,( ),( )SCUV RRCFS Stut 1C2例如图所示电路，原来打开，C上无电荷。当t=0时，S闭合 求u，当t=2s时，S 又闭合 求。( )( ) (0 )(0 )(86 11)tppf tftffe 4822122(2)2(2)(2 )(2 )5.19( )6V( )60.522( )( )(2 )(2 )(6(5.196)(60.81)2CCCCptCCpCCpttuuVututVRCstssututuueeVeVts的稳态值仍为，则时间常数

45、又因为换路在进行，延迟了 ，故而根据三要素公式得 ( )( ) (0 )(0 )(86 11)tppf tftffe 49128-6-2( )3sin(230 ) ,0.5 ,0.5 ,S( )?oe ttVRRCFtK例在如图所示的电路中，电路已达稳态。当t=0时，开关S闭合，求开关 中的过渡电流i1212133021.5 751111()1.5 75 ()1.5 15( )1.5 2sin(215 )(0)0(0 )1.5 2sin( 15 )0.549(0 )CooCooCCoCoCCIRRjECEIAAjRRjCUIjj VVCuttVttuVVu 解：当t0时，电路已达稳态，可利用相

46、量计算。由KVL可得 时刻 根据换路定则0(0 )0.549(0 )3sin301.50CuVeVVt 且画出时刻的等效电路，即可求得5012212(0 )(0 )1.50.549(0 )1.9020.50.50( )CSC( )( )6sin(230 )0.25( )( )(0 )(0 )6sin(230 )1.9023CKKpoKptKKpKKpoueiAAARRtitRe tittARR CsititiietA当后，即是稳态开关电流，此时、 串联支路被 短接，电容 两端的电荷已放完毕，故根据三要素公式0.2546sin(230 )1.098toteAtAeA( )( ) (0 )(0 )

47、(86 11)tppf tftffe 51121212C221111121118-6-3a8.75 ,1 ,2 ,1 ,1 ,2 ,( )(2)S( )aMN()1.758.75 1.SmCRRmRSRdSRUV RRgS CF CF C CtutI RIg I R RUIAUUI R 12例如图 所示电路，控制系数原来不带电。(1)当t=0时，S 接通，求u。又经过很长时间，电路已稳定， 闭合，再求。解：(1)首先将图 中的以左部分化为戴维南等效电路175 17MNMN()17.50.4dSdmSdddVIUIgUARURI 短接，取电流 方向为从到1RI2RIb戴维南等效电路，如图 所示5

48、212121122aMNb7 ,0.4t=0S(0 )(0 )0(0 )(0 )0,(0 )(0 )0ddCCCCCCUV RSuuuuuu图 中的以左部分化为戴维南等效电路，如图所示，根据戴维南定理得当时， 接通， 断开，由题意知于是 5321212211221122111221212222000d( )( )(0 )(0 )0( )( )77( )30.83( )( )(CCCCCCCpC pCCC pCpdCpdeqdCCpCdiidqdqdtdtdC uC udtC utC utC uC uututUutVC CR CRsCCututu在节点上式表明在节点 上电荷始终守恒，故代入数据联

49、立求解，得利用三要素公式3.75270 )(0 )(1)3ttCpueeV54222200222222221.25(2)77( ),( )33( )( )70.8( )( )(0 )(0 )14(7)3CCttCpCpddtCCpCCptSSutV utVSututUVR CsututuueeV 又经过很长时间，电路已达稳定， 闭合。取 闭合瞬间作为新的时间起点，记为t =0。闭合后的就是稳态值利用三要素公式551221212218-6-412 ,5 ,2 ,3 ,2.5,0( )( )( )SSabUV IA RRLHSStSSi tuti t 例如图所示电路，已知电路原处于 打开、 闭合的

50、稳态。当时， 闭合、打开，求、与。12222122122122212S(0 )4(0 )(0 )40SS( )( )( )20.5SpSeqSUiARiiAti tRitiIARRLLsRRR 2解：换路前电路处于 打开、 闭合的稳态，则根据换路定则时， 闭合、打开，则就是稳态电流，即利用三要素公式56222220.522 22222212( )( ) (0 )(0 )(2(42)(22)( )( )3(22)2.5( 4)(64)( )( )(32)tppttabttttSi titiieeAeAdiutR i tLdteVeVeVi tIi teA571118-6-5R =20 ,1,10

51、0U2i%RRLLHUV1ab2例在如图所示的电路中， 、 是磁力线圈，接在的直流电源上。现要求断开时电压u 不超过 的 倍，且使电流 在0.06s内衰减至初值的5以下，求为多少？111122S(0 )5(0 )(0 )50S( )( )0VD120peqUiARiiAti tiLLRRRR 解：开关 闭合前，电路处于稳态，则根据换路定则后， 断开，回路中没有激励，则假设二极管导通时电阻为零，则时间常数利用三要素公式5822222(20)11(20)(20)2(20)222(20) 0.0622( )( ) (0 )(0 )5( )( )20 55 (20)5(0 )52 10040(0.06

52、)5%(0 )50.2529.929.9tRtppabRtRtRtabRi ti tiieediutRi tLdteR eR euRRiieRR 根据题意 因此，240 ,R在此范围内取值均能满足要求。598-7 一阶电路的阶跃响应和冲激响应一阶电路的阶跃响应和冲激响应阶跃响应阶跃响应在单位阶跃函数激励下的零状态响应，称为单位阶跃在单位阶跃函数激励下的零状态响应，称为单位阶跃响应。响应。如图所示如图所示R L电路，设电压电路，设电压us(t)=1V是单位阶跃函数是单位阶跃函数,即即us(t)=1(t) ,相当于相当于在在t=0时刻接通时刻接通1 V的直流电压的直流电压( )( ) (0 )(0

53、 )1(1) 1( )(87 1)tppRtLi ti tiieetR 倘若将图中的激励改变为延时的单位阶跃函数，即倘若将图中的激励改变为延时的单位阶跃函数，即0( )1()Suttt相当于在相当于在t=t0时刻接通时刻接通1 V的直流电压，仍以的直流电压，仍以t=0时刻作为时刻作为时间的起点，利用三要素公式得时间的起点，利用三要素公式得600000()0( )( ) ()()111()- -t tppRt tLi titi titeettR （8 7 2）非时变电路非时变电路1( )(1) 1( )(87 1)RtLi tetR 比较式比较式(8-7-1)与式与式(8-7-2)，发现只要将式

54、，发现只要将式(8-7-1)中的时间变量中的时间变量t用用延时的时间变量延时的时间变量(t-t0)替代，就得到式替代，就得到式(8-7-2)。由此可见，该电路的激励延时由此可见，该电路的激励延时t0，则响应也随之延时，则响应也随之延时t0，这种，这种电路称为非时变电路。若电路中的电路称为非时变电路。若电路中的R、L、C、M均为常系数，均为常系数，这样的电路都是非时变电路。这样的电路都是非时变电路。6100008-7-1( )- -(0 )0,(0 )(0 )00( )( )( )( ) (0 )(0 )(1)(8-7-3)()(1)SptppRtLRtLutiiittUi tiRi ti ti

55、ieUeRttUi teR 例在如图所示电路中，激励是图8 7 2所示的矩形脉冲，求电路中产生的零状态响应i(t)。解：当t0时，根据换路定则当时利用三要素公式的 当时，由上式可得根据换路定则6200000000()()()(1)( )( )0( )( ) ()()(1)(8-7-4)RtLpt tppRRtt tLLUi ti teRi tii ti ti ti teUeeR 由三要素公式得 00()0( )1( ) 1(),(87 1)( )11( )11()(8-7-5)(8-7-5)(8-7-3)(8-7-4)RRtt tLLtUtttUUi tetettRRS以上求解方法是根据激励的

56、作用对时间矩形分段求解得方法。考虑到激励为矩形脉冲，依据叠加定理,u因而根据式、式(8-7-2)以及零状态线性性质,可直接得到 式按时间写成分段函数，即是式和式。00000000()0()()()()( )11( )11()=-(1)RRtt tLLRRtt tLLRRt ttt tLLRRtt tLLttUUi tetettRRUUeeRRUUeeRRUeeR当时63如图所示的周期性矩形脉冲电压如图所示的周期性矩形脉冲电压序列序列us(t)作用下作用下RL串联电路的零串联电路的零状态响应电流状态响应电流i(t)为为00()()()00( )11( )11()11()11()RRRRtt tt TtT tLLLLUUUUi tetettetTetTtRRRR64冲激响应冲激响应单位冲激响