在以幂律流体饱和水平多孔层中垂直通流线性不稳定

1、在以幂律流体饱和的水平多孔层中的垂直通流的线性不稳定摘要研究了非牛顿力学定律流体的垂直流动对水平多孔层中对流不稳定性的影响。扩展的达西动量扩散模型与Oberbeck-Boussinesq近似一起使用。垂直流动的固定基本解决方案是分析确定的。基本速度和温度场表现为与非牛顿流变学无关。进行线性稳定性分析，导致四阶特征值问题。使用特征值问题的数值解来获得中性稳定性曲线和不稳定性发生的临界瑞利数。转移到不稳定的控制参数是与通流相关的Péclet数和流体的幂律指数。这些参数影响中性稳定性曲线的位置以及临界瑞利数。详细讨论了绝对假塑性，绝对膨胀和小Péclet数的渐近情况。后一种情况导

2、致简单的分析解决方案，当Péclet数小于1时，可以很好地近似数值数据。关键字多孔介质 非牛顿流体 垂直流 对流不稳定 瑞利数介绍地壳中的垂直温度梯度，如果足够大，可能产生具有局部自由对流单元的流体流。因此，地下水的多孔流循环可以驱动不同地区的可溶性矿物。这可能导致所述的矿化问题。或化学污染物分散可以由地壳中地下水的自由对流驱动，从而产生含水层的严重污染。包括从下面加热并被牛顿流体或非牛顿流体饱和的多孔层的系统是用于研究这些现象的基本模型。在这种多孔层中产生的自由对流室可以与由压力梯度引起的强制垂直通流相结合。例如，在地球物理学中，净垂直通流可能由下地壳中的岩石静压力梯度引起。在由W

3、oodt，Sutton和Homsy和Sherwood的开创性论文中开发了从下面加热并受到垂直通流的水平多孔层中的对流不稳定性的建模。 通过采用基于达西定律和基于Oberbeck-Boussinesq近似的方案研究饱和多孔介质中的流动。 木材采用无定形厚度的层，而萨顿和霍姆斯和舍伍德认为有一个有限厚度的层。 通过线性分析以及通过能量方法非线性分析来研究垂直通流的稳定性。 后来，进行进一步研究调查不同的效果，如各向异性，非线性，内部发热，粘滞耗散，异质性和局部热不平衡。 关于这个主题的文献的详尽调查可以在Nield和Bejan的书中找到。 通过流动的主要特征是，如果与没有通过流动时在多孔层中发生的

4、纯Rayleigh-Bénard不稳定性相比，其效果是稳定的。 Jones和Persichetti观察到当多孔层的边界面被认为是同量异位的并因此对于不稳定的对流辊是可渗透的情况时，这种行为的轻微偏离。地球物理学中的许多问题包括非牛顿流体，例如涉及碳氢化合物和油藏的那些。 在这些情况下，分析了对流细胞在多孔中的发生层意味着偏离古典达西定律，由于非牛顿流体的流体。 一个典型的非牛顿行为是一些的剪切变稀或剪切增稠性质流体。 这种行为可以由Ostwald-de Waele建模幂律16。 Christopher和Middleman 17制定了一个修正了当饱和流体时应用的达西定律具有幂律行为。

5、几个进一步的研究修改达西定律流体力学定律是从这以来进行的开创性的纸，提供实验和理论结果验证这个模型。 彻底的评论和关于这一主题的参考书目可以在Shenoy的论文中找到18和Di Federico et al。 19。 几个研究已经最近出版的关于流动和流动的幂律流体的流动多孔介质20-30。本文的目的是扩展经典分析的在水平多孔层中开始对流不稳定垂直通过流入非牛顿流体的幂律类型。 我们提到已经进行了类似的分析一种粘弹性流体在Shivakumara的几篇论文中Sureshkumar 31,32。 我们的线性稳定性分析是意味着确定不同幂律的中性稳定性曲线索引，n和不同的Péclet数，Pe，

6、与垂直通流。 这种分析将进行数值，即使进行中性稳定性数据的分析评价对于绝对假塑性的极限情况ðn！ 0Þ，绝对膨胀ðn！ 1，或非常小的Péclet数字。 特殊情况的缺失通过流动¬Pe¼0产生完美的协议Barletta和Nield 21的结论。2.数学模型我们考虑具有厚度H的平面水平多孔层，饱和的Ostwald-de Waele（幂律）流体。 让垂直轴z平行于重力加速度g，但是具有相反的方向（参见图1）。 边界平面，z = 0和z = H，是可渗透的，并保持等温在T = T0 + DTT = T0。 这里T是温度场，T0是a参考温度和D

7、T是正温差。速度场u具有笛卡尔分量（u; v; w）2.1控制方程其中u是一致性因子，n是幂律指数。 在牛顿流体的情况下，我们具有n = 1并且一致性因子与动态粘度一致。 稠度系数的SI测量单位为Pa，对于牛顿流体，u的SI单位为Pa。在n <1的情况下获得假塑性流体行为，而由n> 1描述膨胀流体。当幂律流体饱和多孔介质时，流动由热浮力驱动，通过Oberbeck-Boussinesq近似建模，经典达西定律概括为：当幂律流体饱和多孔介质时，流动由热浮力驱动，通过Oberbeck-Boussinesq近似模型化，经典达西定律被推广为其中*是有效一致性因子（SI：Pa s nm 1-n）

8、。 K是渗透率（SI：m 2），p是动态压力（SI：Pa），即 压力和静水压力之间的局部差异。 此外，0是在参考温度To下的流体密度，是流体的热膨胀系数，g是重力加速度，其模量表示为g。比值* / K取决于稠度系数，在幂律指数n，在渗透性K，孔隙率，并且在曲折因子通过关系：曲折因子C被认为由克里斯托弗和中等人17为N的数值不变独立，等于25/12，所以that* / K重合with/ K在牛顿的限制，N1。让我们假设广义达西定律的有效性， （2）。利用上述假设，局部质量，动量和能量平衡产生控制方程：其中t是时间，r是平均体积之间的比率饱和多孔介质的热容量和体积流体的热容量，并且是有效的热扩散率

9、的多孔介质。考虑垂直通流，使边界条件由下式给出：其中w0是规定的垂直通流速度。2.2无量纲分析我们通过缩放引入一个无量纲公式二维量和运算符如下：我们还介绍了无量纲参数，无量纲参数Ra是的非牛顿形式饱和多孔介质的瑞利数，以及PePéclet编号。 虽然Ra只能是积极的，Péclet数字可以是正数（向上流通）或负数（向下流动）。通过取公式 （4b），无量纲公式控制方程（4）和边界条件（5）给出：其中ez是z方向上的单位向量。2.3基本解方程的基本固定解。 （8）由均匀流动流量给出：具有纯垂直温度梯度dTbðz= dz。 这里，下标b表示“基本解”。 基本温度dis-贡

10、献TbðzÞ必须满足公式 （8）和（9）内侧方程：以及边界条件解决方案由线性稳定性分析3.1扰动方程我们扰乱基本解，方程 （9）和（12），通过定义速度和温度扰动：其中e << 1是正扰动参数。 我们替换等式 （13）代入式 （8），我们忽略高于e的条件。然后，我们获得：我们推导出方程。 （14b）相对于y， （14c）X。 然后，通过对所得到的两个方程求和，并且通过求和帐户公式。 （14a），我们得到一个稳定性的公式问题，即：由于我们的分析的线性，可以是任意扰动通过正常模式的叠加正确构造：其中g是复数参数，其实部表示扰动的生长速率，而其虚部产生角频率。 零增长

11、率定义的条件中性稳定性，即稳定性和不稳定性之间的阈值。我们假定稳定性交换原则的有效性讨论，对于牛顿的情况（n = 1），由Homsy和舍伍德。我们提到，对于饱和多孔的幂律流体已经证明了交换稳定性的原则严格地由Alves和Barletta 28参考的情况通流是水平的。 因此，下文中，参数g将被认为是真实的，意味着中性的稳定模式将是被认为是时间无关的，即，具有g = 0。在等式 （17），fðx;yÞ是二维的任意解亥姆霍兹方程：其中a> 0是波数。 通过代入方程 （17）和（18）。 （16）并且通过设置g = 0，我们获得特征值问题对于中性稳定模式，即并且素数用于表示关

12、于z的导数。特征值问题（19）的基本对称是变换下的不变性，因此，对于固定的n，改变Pe的符号意味着将WðzÞ和HðzÞ变换为Wð1ÀzÞ和Hð1ÀzÞ，分别。 另一方面，特征值Ra作为函数的a取决于n和Pe的绝对值，但不是on它的标志。 事实上，函数RaðaÞ由求解方程 （19）定义ða中的中性稳定性曲线; RaÞ平面。 因此一个可以在不失一般性的情况下吸取中性的稳定性曲线只针对Pe的正值，因为它们仅依赖于jPej和n。 此外，临界值ðac; R

13、acÞ，即的值a;RaÞ沿中性点产生最小Ra点稳定性曲线，仅取决于jPej和n。 我们指出对称由方程定义。 （21）以前曾被揭露牛顿流体ðn¼1Þ4。3.2数值解控制不稳定性开始的特征值问题，等式 （19），可以数值求解。 准确，cedure是基于Runge-Kutta解算器和的拍摄方法。 必须制定方程。 （19）作为初始值问题与一个额外的未知参数，即事实上，n是要确定的额外未知参数满足目标条件Wð1= 0和Hð1= 0。 的初始条件Wð0Þ= 1， （22c），可以不施加作为尺度不变性的结果的一般性损失

14、解决方案ðW; 方程。 （19）。 Runge-Kutta方法33用于解方程。 （22）用于分配ða; n; k; Pe; ñ。 规定输入参数ða; n; PeÞ，可以确定特征值对ðk; 通过强加目标条件W 1 = 0和Hð1= 0。后者的操作可以通过拍摄方法来完成并通过任何root定义算法来实现，例如Newton-Raphson技术33。函数NDSolve of Mathematica 10（Wolfram Research，Inc.）用于实现Runge-Kutta解算器，而使用FindRoot 34功能应用拍摄方法。ND

15、Solve的默认选项基于自适应步长算法，使得间隔0 6 z 6 1被细分为步长可变大小，dz。 为了测试求解器的精度，与自适应步长的Runge-Kutta方法进行比较固定步长Runge-Kutta方法来减小值dz。 在表1中，比较是相对于中性稳定性Ra的值为¼4或¼6，测试用例为n = 0：5和Pe = 1。一个观察到的单调收敛固定步长算法对自适应获得的数据步长算法随dz逐渐减小。 比较之间的数据获得与dz¼10和那些有自适应步长产生的协议不得少于8个符号，弯曲。结果讨论4.1中性稳定性曲线图。 2在参数平面上显示中性稳定曲线ða;RaÞ。 在

16、考虑的情况下，Péclet数量Pe从0：1到2和幂律指数n从0：5到2稳定性曲线，在每种情况下，确定线性稳定性的区域铺设在曲线以下的不稳定区域以上曲线。 中性稳定性曲线受两个参数的影响Pe和n。 给定Pe的增加n的效果是不同的对于Pe的较小或较大值。 如图所示。 2，时Pe = 0：1和0：2，n的增加值具有不稳定效应。当Pe = 0：5和0：7时，该行为逐渐变化向不稳定性的转变取决于非单调地对n。 对于较大的Péclet数，如Pe¼1和2，的效果增加n是稳定的。 因此，假塑性流体更多当Pe小时，它们变得比膨胀流体稳定如果Pe较大则更不稳定。 这种行为部分是后果的

17、缩放与瑞利数Ra的jPej，隐含在定义（15）特征值k。 然而，这只是一个粗糙图。 2.平面上的中性稳定性曲线ða; 不同值的Peand n。 虚线曲线相对于给定的小Péclet数的渐近解。 （52）。方面的实际趋势，由于k的敏感依赖n在中性稳定性。 事情比法律更复杂Ra $ jPej通过图1中的Pe = 1的框架清楚。 2，其中Ra与n显示明显的变化。 虚线曲线，绘制图。 2，相对于小Péclet数的渐近情况这将在4.1.3节中讨论。4.1.1绝对假塑性的渐近情况，n！ 0实现数学上有趣的渐近条件当幂律指数变得十分小时。 什么时候n！ 0，系统的二阶微分方程（1

18、9）折叠成单四阶微分方程未知W由中性稳定性曲线的趋势绘制在图1中。 2建议n> 0; Ra倾向于无穷！ 顺便说一下，是一个通常的特征，在小波长域中，对于Rayleigh-Bénard设置的稳定性分析。 在另一手，如果考虑公式。 （23），行为为一个！ 描述图1通过：方程的一般解。 （26a）可以用Bessel表示功能：常数b和C被确定为使得边界条件 -满足（26b）。 因此，由于等式 （26b），可以eval-uate b和C对于给定的Péclet数求解系统：等式 （25）和（29）可以用于评价渐近值Ra，当a！ 1，用于规定的Pe。图。 图3示出了在平面ð

19、a中的中性稳定性曲线; RaÞ极限情况n！ 对于给定的Péclet数，这个图揭示Ra是a的单调递减函数中性稳定性曲线。 当一个 ！ 1，到达渐近线其中Ra的值是通过求解方程式 （25）和（29）。 这些渐近线显示在图3中。 3作为虚线。 从而，可以识别Ra的渐近值。 1与临界值为Ra的不稳定性的开始。图。 3.渐近情况n！ 0：平面中的稳定性曲线ða;RaÞ不同的Pe值。 虚线表示对于的达到的临界值一个 ！ 1，并通过求解方程 （29）。人们可能想知道中性稳定曲线是否穿过轴Ra = 0，表示足够高的Péclet数。 这是不可能的因为这意味着热不

20、稳定性甚至可能出现当上边界比下边界热时。此外，这在数学上也是不可能的的方程。 （25）在极限Pe！ 1。 （29）趋于：其表示为neu显示的最小渐近值，tral稳定性曲线。 因此，可以想象中性稳定性曲线。 3随着Pe增加而变得越来越近，并且它们渐近线倾向于公式 （31）时Pe！ 1。可以很好地说，由公式 （31）是较低的绑定到临界值Ra时n！ 0。4.1.2。 绝对膨胀的渐近情况，n！ 1当n极端时，获得另一渐近状态大。 毫无疑问，这种情况对于真实流体是不可能的，但是但它值得一些数学兴趣。 可能会采取极限n！ 1。 （19）类似于等式（1）的解析解的过程。 （24），我们定义方程的一般解。 （

21、35a）可以再次表示贝塞尔函数，其中C是积分常数一般解（36）满足边界条件（35b）if以下色散关系成立：等式 （37）和（38）可以用于获得中性稳定性曲线在平面ða; 对于不同的Pe值。 图。 4显示这些中性稳定性曲线。 这个图表明，不能以图形方式区分Pe <0：2，可以看出，Pe = 0：5和0：7变得更显着当Pe¼1或2.可以注意到k的值是有限的对于n）1，可以近似中性稳定性值的Ra。 （15）和（32）图。 渐近情况n！ 1：在平面中的中性稳定性曲线ða; 具有不同的Pe值。 通过使用等式6绘制Pe = 0的曲线。 （53）。公式的直接后果。 （39

22、）是，在中性稳定性，对于每个a if jPej <1，while对于每个a如果jPej P 1。 （40）和（41）允许我们推断趋势图中显示的中性稳定性曲线。 2时n增加到远大于n = 2的大值。如果0 <Pe <1，这些曲线预期在平面a中向下移动; RaÞ直到他们最终折叠到水平线Ra¼0时n！ 如果Pe P 1，n> 2的中性稳定性曲线预期为grad-随着n增加，向上移动，最终趋于无穷当n！ 换句话说，如果n！ 1，Eqs。 （40）和（41）预测当jPej <1时，每个值的不稳定性，或者每个的稳定性当jPej P 1时的Ra值。4.1.3。

23、 Pe的渐近解在a的极限情况下可以获得渐近溶液非常小Péclet数。 我们从公式开始。 （19）我们扩大特征函数W和H，以及参数k的Pe，即：由于方程 （15），我们指出， （49）表示Pe！ 0，如果n> 1，或者无穷大，则临界值为0n <1.在物理上，这意味着膨胀流体总是不稳定的当垂直通流被关闭时，同时假塑性液体总是稳定的。 等式 （15）和（49）意味着牛顿流体是一种特殊情况，其中*，当*这些结果与所得出的结论完全一致Barletta和Nield 21参考了Rayleigh-Bénard饱和水平多孔层的幂律流体的不稳定性。这些结果也与图1中报道的Pe =

24、0：2和Pe = 0：1的中性稳定性曲线的趋势一致。 事实上， 2表明n <1的中性稳定性曲线向上移动对于Pe的较小和较小的值，而对于n> 1的那些值移动向下。 最终，当Pe！ 0，中性稳定曲线被推到无穷（如果n <1）或零（如果n> 1）。 在一个真实的非牛顿流体，这些特征可能由于改变粘度幂律的精度损失作为剪切速率趋于零。 由于这种效应，中性稳定性曲线是预期接近非常大的（但不是无限的）上限当Pe！ 0和n <1，或者当非零下限 0和n> 1。式中的常数A0和B0。 （45）可以选择成使得归一化条件W0ð0Þ= 1，由式 （22c）和（4

25、6b）满意。 因此，对于q = 1，有一个这里，W0和H0是由等式1给出的已知函数。 （45），其中q = 1，和（50）。 由于归一化条件Wð0= 1， （22c）满足W0，可以容易地得出结论*。因此，边界值问题（51）是过度确定的。 一个可能使用例如边界条件H1ð1= 0来确定未知常数k1。 我们省略了详细的计算为简洁起见，但结果是k1 = 0。这个结论是期望自a中的中性稳定曲线; kÞ平面不变的Pe的符号变化，如已经指出的第3.1节。 因此，k的幂级数展开式 （42）实际上期望只包括Pe的偶数次幂。 为了在非常小的值处接近中性稳定性条件可以很好地使用方程 （

26、48）和（49），以及等式 （15），即：图。 图2显示了中性稳定性曲线之间的比较通过采用等式 （52）。 这些虚线曲线几乎没有可区别于实数，通过数字获得采用第3.2节中描述的数值程序Péclet数小于0：7。 观察到弱的差异当Pe = 1时，Pe = 2时变得相当强。 （52）也可以用于特殊情况n！ 1，讨论第4.1.2节。 可以通过使用来评估参数¼k = n等式 （48）其中k = k0，然后取极限n！ 因此，得到非常简单的中性稳定性条件图。 图4示出了Pe = 0的中性稳定性曲线， （53），与Pe的小值相比; 0：1或0：2。 这三个中性稳定性曲线几乎完全重叠。4.

27、2临界值对于不同的Pe值，ac; Rac和kc对n的趋势是报道。 5-7。 图1中的实线。 5通过使用特征值的数值解来绘制稳定性问题， （19），如3.2节所述。 在另一手，虚线是相对于渐近解，等式 （52），对于极限情况Pe（1.图5显示了极好Pe的分析渐近解之间的一致性和Pe = 0：1的数值数据; 0：2或0：5。 一个越来越大的差异显示在图3中。 5时Pe = 1或更大。 从图1和图2中得出类似的结论。 6和7渐近解（52）表明ac和kc不依赖对Pe，从而评估等式的可靠性。 （52）只是一个问题将Pe = 0的曲线与Pe-0的曲线进行比较。 6或者。 我们再次得出结论，Pe = 0：1

28、的曲线; 0：2和0：5几乎是一致的，这意味着这些情况很好地代表，由渐近解（52）发送。 图6 图6和图7，kc对n的强直增加趋势和单调递减趋势趋势。 另一方面，Rac是非单调函数，n的显示最大值，如图1所示。 这个非 -单调行为容易解释与方程。 （52）。 事实上，我们得到Ra相对于n的导数消失为：图。 8. Rac的最大值：n和Rac的曲线;最大值与Pe的曲线。 从数值解中获得的数据，第3.2节和近似解析表达式之间的比较。 （55）和（56）。等式（54）定义了显示的最大值的近似位置。 该方程也使得这些最大值明显只允许jPej <1。Rac的最大值为a给定jPej近似通过使用等式 （

29、52）和（54），即：并通过求解方程 （54）。 图。 图8示出了n0和Rac; max对jPej。 这些数量的数值数据比较通过在第3.2节中描述的方法评价具有由等式1给出的近似表达式。 （55）和（56）。 的在范围jPej <0:95上的一致性对于n0是非常好的差异低于0.4，相当好的Rac; max，with a差异低于4。Rac对n的趋势，如图1所示。 5为固定Pe和越来越大的n值反映了结论第4.1.2节。 当n！ 1;如果jPej <1或无穷大if，Rac为0人们也可以注意到Rac对的依赖当流体离开时，Péclet数显着放大从牛顿行为ðn¼1

30、Þ。5.结论垂直通流在水平多孔中的不稳定性通过非牛顿幂律流体饱和的层已经通过采用线性分析进行研究。 下和上边界平面被认为是可渗透的并且保持恒定温度。 除了瑞利数Ra，还有两个在这个问题中控制无量纲参数，法律指数n和Péclet数Pe。 后一个参数是与规定的垂直通过流速成比例。 我们可以具有Pe的正值或负值表示向上通过流动或向下流动。 线性稳定特征值问题已经通过采用a解决基于拍摄方法的数值解。 主要功能：恢复表征对流不稳定性开始的特征如下：（1）中性稳定性曲线受n和jPej的影响，而它不受Pe的符号影响。 增加 -对于给定的Pe，对于较小或较大的值是不同的的Pe。 一般来说，

31、假塑性流体ðn<1Þ更多稳定比膨胀液ðn>1Þ当Pe小，而他们如果Pe大，则变得更不稳定。（2）数学上有趣的渐近条件是当幂律指数n变得消失时实现小。 在该极限中，瑞利数Ra是单调的沿着中性点的波数a的递减函数稳定性曲线。 当一个 ！ 1，达到水平渐近线取决于Péclet编号。 因此，这些渐近线发送临界值Ra用于不稳定性的发生。（3）当n极端时，获得另一渐近状态大。 在这种情况下，可以解决特征值问题分析，导致表达的色散关系用于以Bessel函数表示的中性稳定性。 基于在这个分析解上，我们得出结论，基本流是如果jPej P 1总是稳定的

32、，或者如果jPej <1则总是不稳定。（4）已经获得了分析渐近解小Péclet数字的制度。 已经表明，简单中性稳定性曲线的分析公式，RaðaÞ，并且对于临界值，通过采用获得ac和Rac这渐近解。 这些分析公式很好jPej <0：5的数值数据，而他们给出了一个公平在整个范围jPej <1上的可接受的近似。（5）如果jPej <1，则临界瑞利数显示最大值当绘制对n。 另一方面，如果jPej P 1; Rac是a为n的单调递增函数。这些项目概述非牛顿的主刻面通过FL垂直行为流在水平多孔层。我们强调，从牛顿行为出发转身出通过溢流垂直提升的不稳定影响

33、，通过使日益强烈关键的依赖上Peclet数瑞利数。1 C.赵某，BE霍布斯，A奥德，对流和平流换热地质系统，施普林格出版社，德国柏林，2008年。2 RA伍迪，在溢流通过热边界层雷利不稳定多孔介质，流体J.机甲。9（1960）183-192。3 FM萨顿，对流的发病与净孔道通过溢流，物理学。 流体13（1970）1931年至1934年。4 GM Homsy，AE舍伍德，在多孔介质对流不稳定通过溢流，AIChE的J. 22（1976）168-174。5 MC琼斯，JM Persichetti，与填充床对流不稳定通过溢流，AIChE的J. 32（1986）1555年至1557年。6 DA尼尔德，对

34、流不稳定多孔介质通过溢流，AIChE的J.33（1987）1222年至1224年。7 A.哈利利，IS Shivakumara，对流的发病与净多孔层吞吐量溢流和内部产生的热量，物理。流体10（1998）315-317。8的DAS里斯，L Storesletten，热边界层的线性不稳定抽吸在各向异性多孔介质，流体的Dyn。 Res。 30（2002）155-168。9郭敬明皮特斯，HM Schuttelaars，在盐水的非线性动力学通过溢流多孔介质的表面附近形成边界层，物理学D：非线性飞鸿。237（2008）3075-3088。10 DAS里斯，涡不稳定性在本次发病及非线性发展水平强迫对流边界层

35、与表面均匀抽吸，透明。 多孔介质77（2009）243-265。11 A.巴尔莱塔，E.罗西迪斯基奥，L. Storesletten，对流卷的不稳定性垂直通过溢流在水平多孔层粘性耗散，透明。 多孔介质81（2010）461-477。12 DA尼尔德，AV库兹涅佐夫，对流的异构多孔发病通过溢流，运输垂直网上平台。多孔介质88（2011）347-355。13 PM帕蒂尔，DAS里斯，线性不稳定OFA水平热边界层垂直通过溢流多孔介质形成的：当地的影响非热平衡，运输。多孔介质99（2013）207-227。14 CJ范Duijn，郭敬明皮特斯，RA伍迪，A.范德Ploeg，稳定性标准。用于通过溢流的表面附近形成的垂直边界层多孔介质中：环保机械：水，质量和能量转让生物圈：菲利普卷，美国地球物理联盟2013年，第155-169。15 DA尼尔德，A Bejan，对流多孔介质中，四版，施普林格出版社，纽约，2013。16 RB鸟，我们斯图尔特，EN Lightfoot的运输现象，第二版，威利，2006年，纽约。17 RH克里斯托弗S.中间人，幂律溢流通过填充管，工业。Eng。 Chem。Fundam。4（1965）422-426。18 AV谢诺伊，非牛顿流体热多孔介质，传输进阶。 热转让24（1994）102-191。19五迪费德里科，M. PINELLI，R. Ugar