线性代数n阶行列式哈工大PPT课件

1、教材：教材：郑宝东主编. 线性代数与空间解析几何. 高等教育出版社，北京，2013参考书：参考书：1同济大学数学教研室编.线性代数(第六版).高等教育出版社.2014年2赵连偶，刘晓东.线性代数与几何(面向21世纪课程教材).高等教育出版社3居余马等.线性代数. 清华大学出版社第1页/共142页第一章 n阶行列式 第二节第二节 行列式的性质行列式的性质第四节第四节 克莱姆法则克莱姆法则第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 第一节第一节 行列式的概念行列式的概念第2页/共142页 本章的基本要求与重难点 深刻理解n阶行列式的定义。 熟记行列式的性质。 熟练掌握行列式的计算。 重点：

2、行列式的计算。 难点：n阶行列式的计算。第3页/共142页第一节第一节 行列式的概念行列式的概念第4页/共142页行列式起源于解方程组引例方程组112223823xxxx 系数行列式系数行列式232 ( 2) 1 3712 称为二阶行列式二阶行列式。第5页/共142页二阶行列式（determinant）给定 a、b、c、d 四个复数，称bcaddcba为二阶行列式。.2112221122211211aaaaaaaaD其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。为方便记第6页/共142页11a12a22a主对角线副对角线221

3、1aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则例如131 7( 2) 31327 21a第7页/共142页11112212112222a xa xba xa xb 通过消元法，有：通过消元法，有：考虑线性方程组：考虑线性方程组：于是，当于是，当11 2212210,a aa a 有唯一解：有唯一解：122212111221221,b ab axaaaa 112212211122212112212212211121()()a aa axb ab aa aa axb ab a 211121211221221b ab axa aa a 第8页/共142页写成行列式形式

4、有：写成行列式形式有：122212221211111211221221212122aab ab aDxaaaaaaDbaab 112121112122111211221221212122aab ab aDxaaa aa aabbDa 第9页/共142页说 明1. 行列式是一个数；2. 计算规则：对角线法则；3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的正负号不同；共有4. 一行一列称为1阶行列式， 记为5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 n行n列称为n阶行列式aa2!2第10页/共142页2 2 三阶行列式三阶行列式11112213312112222332311322333

5、3a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 111213212223313233aaaDaaaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 112332122133132231a a aa a aa a a 如果如果 ，那么对于三元一次方程组：，那么对于三元一次方程组：0D 第11页/共142页其中，其中，1213122233231233aaDabaabab 1113221213333312bbbaaDaaaa 1112321223132213bbaaD

6、aaaab 利用消元法也有相同的结果，利用消元法也有相同的结果，11,DxD 22,DxD 33DxD 111213212223313233aaaDaaaaaa 第12页/共142页三阶行列式称312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa为三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa对角线法则第13页/共142页

7、2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第14页/共142页例例2 2 证明证明322)(11122 babbaababa证明：证明：2222223222232232233()22()22 2222 33aabababb aba ba baa babababba ba baa babbab左边（）右边第15页/共142页312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232

8、221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式，共有 ；每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同123，231，312 此三项均为正号132，213，321 此三项均为负号 为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。3!6 项第16页/共142页全排列及其逆序数定义 由1，2， ，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 jn. 例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列3级全排列的全体共有6种，分别为 123

9、，231，312，132，213，321n级全排列的种数为! 321) 1(nnn第17页/共142页定义 在在一个排列 中，若某个较大的数排在一个较小的数前面，即， 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 nstiiiii21tsjj例如 排列 32514 中 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为自然排序（自然排序（标准次序标准次序）。如：123n 是自然排序是自然排序排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序tsii第18页/共142页定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列

10、32514 中3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.说明： ( 1234n)=0第19页/共142页定义（p2）: 排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.第20页/共142页分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出每个元素的逆序数，方法2 2 前看法方法方法1 1 后看法后看法2 2 计算排列逆序数的方法分别计算出分别计算出排列中每个元素排列中每个元素后面后面比它比它小小的数的数码个数之和，即算出每个元素的逆序数，码个数之和，即算出每个元素的逆序数，所有元素的逆序数总和即为所求排

11、列的逆序数所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数. .所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数. .第21页/共142页4 2 5 3 10 1 024于是排列 42531的逆序数为 7为奇数，称为奇排列5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;3的前面比1大的数有3个,故逆序数为2;1的前面比1大的数有4个,故逆序数为4;例例1 1 (1)求排列42531的逆序数.解解在排列42531中,4 4排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个4,故逆序数为1第22页/共142页 12321n nn解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,

12、4 kkn当 时为奇排列. .34 , 24 kkn(1)n 2 n例例 求排列求排列的逆序数的逆序数(1)(2)321n nnn个个逆序数的性质逆序数的性质: :(1)( (1)321);2n nn n 12(1)0().2nn nj jj (12)0;n 第23页/共142页于是此排列的逆序数为4的前面比4大的数n-2,其逆序数为n-2;6的前面比6大的数有n-3个,故逆序数为n-3; 2n的前面比2n大的数有0个,故逆序数为0;解解: 共n个数 共n个数2的前面比2大的数只有一个n-1,故逆序数为n-1 213521 246(2 )nn13521n(1)(1)(2)02n nnn2 4

13、6( 2)n第24页/共142页讨论奇偶性：当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当 时为奇排列.34 , 24 kkn第25页/共142页定义定义在排列中，将任意两个数对调，其余数不动，这种在排列中，将任意两个数对调，其余数不动，这种对排列的变换叫做对换对排列的变换叫做对换将相邻两个数对调，叫做相邻对换将相邻两个数对调，叫做相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab325143152423 1 32 1第26页/共142页定理定理1 1 一个排列中的任意两个元素对换，排一个排列中的任意两个元素对换

14、，排列改变奇偶性列改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除 外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba第27页/共142页当 时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为 一般情形一般情形nmlcbcbabaa111当当 时，时，ba 现来对换现来对换 与与a.b第28页/共142页次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次

15、相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab第29页/共142页推论推论 时，时，n个元素的所有排列中，个元素的所有排列中，2n 奇排列和偶排列的个数相等，奇排列和偶排列的个数相等， 各为各为!2n推论推论 任何一个任何一个n 级排列与自然顺序级排列与自然顺序12n排列都可通过一系列对换互变，并且排列都可通过一系列对换互变，并且所做对换的次数与这个排列有相同的所做对换的次数与这个排列有相同的奇偶性奇偶性. .第30页/共142页n n阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211

16、aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 项项!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积第31页/共142页（3 3）在行标按顺序排列后，下列标排列的逆）在行标按顺序排列后，下列标排列的逆序数决定每项的序数决定每项的“+ +、- -”号，偶号，偶“+ +”、奇、奇“- -”例如例如322113aaa列标排列的逆序数为211312322311aaa列标排列的逆序数为1320 1 1 偶排列奇排列1

17、2正号 (-1)1 1负号 (-1)1 2 31 2 3123123111213()()212223123123313233( 1)( 1).j j ji i ijjjiiiaaaaaaa aaa a aaaa第32页/共142页（4）3阶行列式的一般项为：1 12 233( 1)p qp qp qaaa 为行标 排列逆序数 与列标 排列逆序数的和.说明：223p p p123q q q13 21 32a a a 任意改变元素的顺序，排列的奇偶性不变1321 3232 13213121 123122312 24a a aa a a ，都是偶排列，奇偶性不变第33页/共142页nnnnnnnjj

18、jjjjaaaaaaaaaDaaannnnn21222211121121)(2.) 1(2121记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义定义4 (p3).det(ija简简记记作作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa二、二、n阶行列式阶行列式第34页/共142页nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111规定规定 一阶行列式aa第35页/共142页nppppppnnaaaD21)(21211其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .nppp21 阶行列式也可定义为阶

19、行列式也可定义为n事实上事实上 按行列式定义有第36页/共142页nnpppaaaD21211npppnaaaD211211记记对于对于D中任意一项中任意一项,12121nnpppaaa总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项1D ,12121nqqqsnaaa 与之对应并相等;反之, 对于 中任意一项1D,12121npppnaaa也总有且仅有D中的某一项 ,12121nnqqqsaaa 与之对应并相等, 于是于是D与与1D中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而.1DD 第37页/共142页1 1221nnp qp qp qDaaannqqq,ppp2121其中其中 是

20、两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .注：注：n n阶行列式的一般项为：阶行列式的一般项为：n更一般的我们有:定理定理（p7 定理2）112233(1)nnp qp qp qpqaaaa第38页/共142页说明说明1、 阶行列式是 项的代数和;n!n2、 阶行列式的每项都是阶行列式的每项都是位于不同行、不同位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn3、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;aa 4、 的符号为的符号为nnpppaaa2121.1)(21nppp思考题思考题1. 若n阶行列式D有一行(列)元素全为零,

21、则D=?第39页/共142页 例试判断 是否都是六阶行列式中的项。解 ：故 是六阶行列式中的项 不是六阶行列式中的项1423314256653243 14512566a a a a a aa a a a a a和-6142331425665( 1)( 1)1a a a a a a （431265）（431265）=0+1+2+2+0+1=6故前面的符号是正号324314512566( 1)a a a a a a（341526）+（234156）8（341526）=0+0+2+0+3+0=5（234156）=0+0+0+3+0+0=3（-1）=1故前面的符号是正号142331425665a a

22、a a a a324314512566a a a a a a-第40页/共142页几种行列式1. 上三角行列式特点：主对角线以下的元素全为零。111212221122000nnnnnnaaaaaaa aa第41页/共142页证明：证明：上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211解解展开式中一般项是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn第42页/共142页所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 第43页/共142页例例2?8

23、000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 第44页/共142页2.下三角行列式下三角行列式特点：对角线以上元素都是特点：对角线以上元素都是0nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 3.对角行列式对角行列式特点：主对角线以外的元素都是特点：主对角线以外的元素都是011221122nnnnaaa aaa第45页/共142页0004003002001000即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为逆序数：逆序数：故故例例3 3计算行列式计算行列式( 1)2424D （4321）61 2 3 4=

24、(-1).aaaa41322314（4321）=0+1+2+3=6第46页/共142页注：112,1212,1111nn nnnnnnaaa aaa4.4.反对角行列式反对角行列式(1)( (1)21)0 1(1)2n nn nn 第47页/共142页解：行列式中不为零的项为解：行列式中不为零的项为逆序数：逆序数：故故( 1)2424D （2314）22 1 3 4=(-1)12233144.a a a a（2314）=0+0+2+0=20200001030000004练习练习 ：用定义计算行列式：用定义计算行列式第48页/共142页例例5 5设设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221

25、112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明证明.21DD 证证由行列式定义有第49页/共142页 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211第50页/共142页由于由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppp

26、tbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故第51页/共142页第二节第二节 行列式的性质行列式的性质第52页/共142页一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等 说明：说明： 转置即行列互换转置即行列互换 行列位置相等行列位置相等. .行列式 称为行列式 的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211第53页/共142页证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet ,212222111211nnnnn

27、nTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjiij即按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因为行列式D可表示为 .12121 nppptnaaaD故故.TDD 证毕证毕第54页/共142页例：131 42 3224TD 则 232205012D 121 42 3234D 121212021D练习: 写出以下两个行列式的转置行列式，并证明D=DT：第55页/共142页 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 是由行列式 变换 两行得到的, ij

28、aDdet ji,第56页/共142页于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当 时,jik, ,ipjpjpipabab D 第57页/共142页推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 第58页/共142页互换第一，第二行，得：121 42 3234D 例 343 2 1 4212 121 2 1 2012D 设 第59页/共142页练习练习 验证性质验证性质2 5718

29、53266571853266825567361第60页/共142页 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面第61页/共142页注：当k= -1时，26141372052 205012012D 例 111211212niiinnnnnaaaaaaaaa11

30、1211212niiinnnnnaaaaaaaaa 第62页/共142页,13523570503253例如例如2770103535235705032532770103535所以所以)27(5135135第二列提取第二列提取-5倍倍第63页/共142页性质行列式中如果有两行（列）元素成比性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 第64页/共142页1202420121D 例如第1行，第2行成比例第6

31、5页/共142页性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如第66页/共142页性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnj

32、ninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如第67页/共142页32530507352D例例 计算计算3030507352D让第让第1列加到第列加到第3列，得列，得300050( 3) ( 5) 91357359D 让第让第2行乘以行乘以5加到第加到第1行，得行，得分析：利用性质把分析：利用性质把D化为上（下）三角行列式化为上（下）三角行列式第68页/共142页二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化

33、为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 11121222000nnnnaaaaaa第69页/共142页例：计算行列式分析：第二列有一个0，先互换第二列第一列记为c(1,2)行row,简记r；列 column 简记c3112513420111533D111212223112051342011001533nnnnaaaaaDa第70页/共142页 行row, 简记r；列 column 简记c解：3112513420111533D(1,2)c13121534021151332 1( 1)r13120846021151334 1(5)r1312084602

34、1101627第71页/共142页(2,3)r1312021108460162734(2)r13120211008100162742( 8)r1312021100810001015543( )4r13120211008100005/251 2 8402 第72页/共142页例例22101044614753124025973313211 D3 第73页/共142页2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr第74页/共142页2101044614753140202010013211 21010446147

35、53124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 第75页/共142页42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第76页/共142页2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第77页/共142页6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第78页/共142页nnnnnnnnaaaaaaaaa

36、aaaaaaa321333323122322211131211综上可知，化三角形行列式的一般步骤如下00001000200将a11的下方化为0的过程中，若（1）011a，则可通过换行（列）使; 011a（2）11a的下方化为0时，其它元素出现分数，则可通过性质11a“不漂亮”，即变化a11，以尽量避免出现分数.a22 、a33 的下方化为0的过程依此类推.0步骤第79页/共142页第80页/共142页例例3 3计算 n 阶行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2第81页/共

37、142页 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna第82页/共142页例例4 4nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明第83页/共142页证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .01

38、11112nnnknqqpqqD 设为设为第84页/共142页,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 第85页/共142页阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知例例5 5第86页/共142页解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 第87页

39、/共142页dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第88页/共142页第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第89页/共142页,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、

40、余子式与代数余子式1 11 21 3111112121313111112121313( 1)( 1)( 1)a Ma Ma Ma Aa Aa A 111112121313a Ma Ma M第90页/共142页在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代数余子式的代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD

41、44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 第91页/共142页,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .式余子式和一个代数余子每个元素都对应着一个第92页/共142页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式

42、等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如第93页/共142页证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 1111Ma.1111Aa再证一般情形,nnnnjjjjjjaaa222211111nnnnjjjjjjaaa2222111111111) 1(Ma第94页/共142页nnnjnijnjaaaaaaaD1111100

43、,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija第95页/共142页,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija第96页/共142页 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaija第97页/共142页nnnjnijn

44、jaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija第98页/共142页故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 ijijjiMa1于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijijAa第99页/共142页定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的

45、代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展开法则（拉普拉斯展开定理）第100页/共142页nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 第101页/共142页例例1 计算行列式计算行列式277010353 D解解1 110( 1)( 3)72D .27 按第按第1行展开，得行展开，得1 200( 1)(

46、 5)72 1 301( 1)377 方法方法2： 按第按第2行展开行展开2 233( 1)( 1)72D .27 第102页/共142页 例2 计算分析：第一行有2个零，按第一行展开2004310050100232D 1 11 201102 1 1 24 3 ( 1)5 ( 1)2323 44(3 ( 2)5 3)88 1 11 41003102 ( 1)0104 ( 1)501232023D 第103页/共142页 例3 计算解：1232120510124312D103210052 1( 2)12124512c103710004 1(5)121745122c0370372121721751

47、225122 2+1按第 行展开（-1）27217522511+21+3按第1行展开 -3(-1）（-1）48 第104页/共142页例例43351110243152113 D5112111341 3( 2)00115533c51111113143(1)00105530c第105页/共142页0551111115)1(33 511(2 1)620550r5526)1(31 30( 10)40. 第106页/共142页 总结：计算行列式最常用的两种方法1 .化上（下）三角形法 根据行列式的性质2.按某行某列展开 降阶法 先利用行列式的性质把原行列式的某行（列）的元素尽可能多地变为零，使该行（列）

48、不为零的元素只有一个或两个； 然后再按该行（列）展开降阶后进行计算。第107页/共142页推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 第108页/共142页,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行

49、行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同第109页/共142页关于代数余子式的重要性质，可简记为关于代数余子式的重要性质，可简记为;,0,1jijiDAankkjki当当;,0,1jijiDAankjkik当当第110页/共142页0532004140013202527102135 D例例5 计算行列式解解0532004140013202527102135 D第111页/共142页66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 5320

50、4140132021352152 (3 1)r(21( 2)r第112页/共142页 例6 设求第一行各元素的代数余子式之和解：12312001030100nnDn11121nAAA1112111121111112001111030100nnAAAAAAn 21111111 2()200211()11 3()030311()00niiciinnn21111102000030000niin221112 31!nniinnii 第113页/共142页 例7范得蒙行列式1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxVxxxxxxxxxx 213111()()(

51、)()ijnj i nxxxxxxxx 其中322()()nxxxx122()()nnnnxxxx1()nnxx第114页/共142页 例如3123222123111V = xxxxxx2211211V =xxxx213132()()()xxxxxx第115页/共142页例 计算 解：2221D= 11aabbccT222111D=D = abcabc是是3阶范得蒙行列式阶范得蒙行列式()()()Dba ca cb故第116页/共142页第四节第四节 克莱姆法则克莱姆法则第117页/共142页记作记作 . .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，

52、在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列nij1n ijaijM 1ijijijAM ，叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija记记1, ,0, ;nikjkijkDija ADij 当当当当1, ,0, ;nkikjijkDija ADij 当当当当1, 0, .ijijij ，当当当当第118页/共142页非齐次与齐次线性方程组的概念mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组,21不全为零若常数项mbbb则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零若常数

53、项mbbb此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.使得方程组成立的一组数使得方程组成立的一组数 称为此方称为此方程组的解程组的解. .12,nx xx第119页/共142页12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx 例如 12341242341234250,360,220,4760.xxxxxxxxxxxxxx是是 非齐次线性方程组非齐次线性方程组是是 齐次线性方程组齐次线性方程组显然，显然， 是齐次线性方程组的是齐次线性方程组的一个解，简称一个解，简称 零解零解120nxxx第120页/共142页一、引例一、引例 用消元法解二元线性方程组用

54、消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（，得消去类似地1x，.211211221122211abbaxaaaa）（第121页/共142页,211211221122211abbaxaaaa ）（,212221121122211baabxaaaa）（原方程组即原方程组即1112112212212122aaDa aa aaa记记11211222122

55、22baDbab aba111211 221 1212abDa ba bab则上述方程组可写为则上述方程组可写为,11DDx .22DDx D称为原方程组的系数行列式称为原方程组的系数行列式.第122页/共142页时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为DDx11DDx2222211211222121aaaaabab 22211211221111aaaababa 时，即0D第123页/共142页二、克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的

56、系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 第124页/共142页.,332211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组组右端的常数项右端的常数项代替后所得到的代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为 1第125页/共142页证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222

57、221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj再把再把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n第126页/共142页,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj .,332211DDxDDxDDxDDxnn ,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当 时,方程组 有唯一的一个解0 D 2第127页/共