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1、2021-11-51线性子空间的和两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间的并集一般不是线性子空间。则集合也是一个线性子空间，proof第1页/共20页2021-11-52线性子空间的和(2)从线性子空间的和的定义很容易看出：(3) 多个子空间的和：第2页/共20页2021-11-53线性子空间的和的维数以上 4 个线性子空间都是 2 维的第3页/共20页2021-11-54线性子空间的和的维数(理论结果)引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。proofproofproof第4页/共20页2021-11-55线性子空间的和的求法：例子主元所在的列对应

2、的向量组就是一个极大线性无关组第5页/共20页2021-11-56线性子空间的和的求法：例子基础解系:第6页/共20页2021-11-57线性子空间的直和线性子空间的直和: 定义定义下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形-直和.必要性是显然的, 下证充分性. 第7页/共20页2021-11-58线性子空间的直和，补子空间线性子空间的直和，补子空间proofproof第8页/共20页2021-11-59多个线性子空间的直和多个线性子空间的直和proof第9页/共20页2021-11-510命题的证明所以 W 是线性子空间。back证明：第10页/共20页2021-11-511命题 2.2 的证明

3、证明:由定义, 有back第11页/共20页2021-11-512引理.的证明如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充线性无关的向量组, 直到不能扩充为止 最后得到W的一组基.back引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。证明:第12页/共20页2021-11-513定理的证明证明:注意到只要证明线性无关第13页/共20页2021-11-514定理 2.4 的证明(2)设有所以即有back第14页/共20页2021-11-515定理定理 2.6 的证明的证明证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。下面证明(1)与(2)的等价性。back第15页/共20页2021-11-516定理定理 2.7 的证明的证明由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时，它的补子空间是不唯一的。back第16页/共20页2021-11-517命题 2.8 的证明证明: 第17页/共20页2021-11-518命题 2.8 的证明(2)=0所以第18页/共20页2021-11-519命题 2.8 的证明(3)其中则有于

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