卢氏一高数列求和的常用方法

1、专题二 数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路 是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1、等差数列求和公式:2、等比数列求和公式:Snn(aa.)二 na!n(n -1)(q)3、1n(n 1)2a1(1-qn)|1 - q2nai 'Rnqi -qSn4(q = 1)、& 二 k2 二 1n(n 1)(2n 1) 心6例1(07高考山东文18)设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和

2、已知S3 =7，且a1 - 3,2, a3 4构成等差数列.(1) 求数列an的通项公式.(2) 令 bn =1 n a3n 1, n =1,2,川,求数列bn的前 n项和 T .a a2 a3 = 7,解: (1)由已知得:(a1 3) (a3 4) 解得 a? =2 . 2=3a2.设数列an的公比为q，由a2 = 2，可得a1 = , a3 = 2q . q2又 2=7，可知 2 2q =7,即卩 2q2 -5q 2 =0 ,q1解得q=2, q2.由题意得q 1, q = 2 .2-a1 .故数列an的通项为a. =2n.(2)由于 t)n 1 n a3n 1, n = 12,l,由(

3、1 )得 a3n 1 = 2'".bn =1 n23n=3nln2 ,又 bn1-bn=3In 2 bn是等差数列.3n(n 1), 故 TnIn 2 .2二、错位相减法设数列£n?是等比数列，数列 b 是等差数列，则数列 abn 的前n项和Sn求解，均可 用错位相减法。例2 (07高考天津理改编)1、 在数列、an 中，an =(n T)1 n，其中 - 0 .求数列：aj的前n项和Tn ；2、 在数列a/1中，a = 2© = (n T)'n 2n，其中'0 .求数列'a的前n项和Sn;解：1:Tn = k2+2k3+3二4+|

4、H + (n 2)hn'+(n 1)於,&Tn =人3 + 2人4 +3丸5 + + (n -2)富 +(n -1)kn41当，"时，式减去式，. n 1得(1 -，)Tn 虫2 3 n -(n -1)，. (n -1)'n 1,1丸n 1n 1n -2'> n -1 , - 2九 (n 1)人 (n 1)九一n Z + Z2(1;)T n '2（1-）21 - 当 一1 时，Tn 二"5.22:前半部分与上面相同 这时数列CaJ的前n项和S这时数列的前n项和Snn(n -1)2n122_ (n1)n 2 _nn1 2 才 1

5、_2(1 一 扎)例7：求1 2 33n的和2 22 232n三、倒序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）123f （） f f （一）f（n2x例4设函数f(X)=、，若Sn2X +J221_x 2解：因为f(1-x)=亍匚21 +V22+42 2X所以 f x f 1 -x =1f 2川fn2nn2X又因为 f(x)=2x"n -1*,),nN,求Sn； n1nr fn 1 )丄心丄z(2Sff -2S1 f 口 f Z f 口川心 f 1又 Sn =fU 1nf 1 2n(1) + (2)得:_ n . n _ n . n_ n n= 11|）

6、（1= n -1n -1S2-四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 .裂项法的实质是将数列中的每项（通项） 然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）女口：1 1 1n 1（丄亠（2n -1）（2n 1）2 2n -1 2n 11 1 r 1 1一分解,(1)(2)(3)ann(n 1) n1等。n(n -1)(n2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)1 1 1求数列,，,，的前 n项和.1 +V2 “2 +丁3Jn +ln +1解：设 an = _ 1 .= Jn +1 _ Jn如 + Jn +11 11、223n n 1=(T 2 - 1)

7、(3 - 12)(Jn 1 - n)（裂项）则Sn（裂项求和）n1_T aiai，1n 1 n 1 1 1首先考虑 -(-)i =1 aiai 申 i 4 d ai 印申1n则Vi J ai ai 1111n( )=d a1an 1 an 1下列求和：n、-一1也可用裂项求和法。i 4 “ai * 1 ai 1=、n 1 -1评析：一般地，若数列、an 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：7a!的前n项和为Sn练习：已知等差数列 富？满足：a7,a5 a26,(1)求 an 及 Sn ;1(2)令bn二h n 乂*，求数列江？的前n项和人 an -1五、分组求和法所谓分组法求和就是

8、：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列 适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例 7 数列an的前 n 项和 Sn = 2an -1，数列bn满 d = 3,bn an bn(n N ).(I)证明数列an为等比数列；(U)求数列bn的前n项和Tn。解析：(I)由S两式相减得：an 1ann - 2an -1, n N , Sn 1 = 2an 1 -1，an 1 =2an 1 -2an，. an 2an,n N 同a询a. =0， =2,同定义知an是首项为1,公比为2的等比数列.(U) an n2n，bn 12n_ bn-1 一bn - bn=2n,等式左、右两边分别相加得：1 _2n=2n =2n 2n -1.1 _2练习：已知数列"a ， a* = n n 1求其前n项和Sn点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列，分别求和.六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例9 求111111/111之和.n个1(找通项及11解：由于 1111=9999 = (10k