第3章 电阻电路的一般分析

1、3.1电路的图及KCL和KVL的独立方程数3.2支路电流法3.3回路电流法第三章 电阻电路的一般分析3.4节点电压法 重点：重点： 熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法支路电流法 回路电流法回路电流法 节点电压法节点电压法目的目的：找出求解线性电路的：找出求解线性电路的一般分析方法一般分析方法 。对象对象：含独立源、受控源的：含独立源、受控源的电阻网络电阻网络的直流稳态解。的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）可推广应用于其他类型电路的稳态分析中） 应用应用：主要用于复杂的线性电路的求解。：主要用于复杂的线性电路的求解。 复杂电路的分析法就是根

2、据复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为为支路电流法、回路电流法支路电流法、回路电流法和和节点电压法。节点电压法。元件特性元件特性(约束约束)(对电阻电路，即欧姆定律对电阻电路，即欧姆定律)电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律定律相互独相互独立立基础基础：（一）（一） 图图（G） 结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连接结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连接到相应的结点上。到相应的结点上。一、图（一、图（G）：图（图（G）5个结点，个结点，8条支

3、路。条支路。3.1电路的图及KCL和KVL的独立方程数 在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，但任一条在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，但任一条支路必须终止在结点上。移去一条支路并不意味着同时把它支路必须终止在结点上。移去一条支路并不意味着同时把它连接的结点也移去，所以允许有孤立的结点存在。若移去一连接的结点也移去，所以允许有孤立的结点存在。若移去一个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都移去。个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都移去。（二）无向图、有向图：（二）无向图、有向图：支路的方向即该支路的电流（和电压）的参支路的方向即该支路的电流（和电压）的参考方向。电压电流取关联参考方

4、向。考方向。电压电流取关联参考方向。未赋予支路方向的图称为无向图。未赋予支路方向的图称为无向图。赋予支路方向的图称为有向图。赋予支路方向的图称为有向图。二、二、KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数（一）（一）KCL独立方程数：独立方程数： 对有对有n个结点的电路，就有个结点的电路，就有n个个KCL方程。每条支路对应方程。每条支路对应于两个结点于两个结点,支路电流一个流进支路电流一个流进,一个流出。一个流出。 如果将如果将n个结点个结点电流方程式相加电流方程式相加必必得得0=0，所以独立结点数最多为，所以独立结点数最多为(n1)。可可以证明以证明：此数目恰为此数目恰为(n1)个。即个。即 n

5、个方程中的任何一个方程个方程中的任何一个方程都可以从其余都可以从其余(n1)个方程推出个方程推出 来。来。独立结点：独立结点：与独立方程对应的结点。与独立方程对应的结点。 任选任选(n1)个结点即为独立结点。个结点即为独立结点。独立的独立的KCL方程数：方程数：n个结点的电路，在任意（个结点的电路，在任意（n-1）个）个结点上可以得出结点上可以得出n-1个独立的个独立的KCL方程。方程。（二）（二）KVL独立方程数：独立方程数：1、连通图：当、连通图：当G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，的任意两个结点之间至少存在一条路径时，G就称为就称为连通图连通图。从图从图G的某一个结点出发，沿着一些

6、支路移动，从而到达另的某一个结点出发，沿着一些支路移动，从而到达另一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图G的的一条一条路径路径。2、回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其、回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点都相异，这条闭合路径就构成他结点都相异，这条闭合路径就构成G的一个的一个回路回路。3、树、树支、连支：、树、树支、连支：利用利用“树树”的概念来寻找一个图的独立回路组，从而得到的概念来寻找一个图的独立回路组，从而得到独立的独立的KVL方程组。方程组。树树：一个连通图：一个连通图G的树的树T包含包含G的全部结点

7、和部分支路，而树的全部结点和部分支路，而树T本身是连通的且又不包含回路。本身是连通的且又不包含回路。树支树支：树中保含的支路称为该树的树支。：树中保含的支路称为该树的树支。连支连支：其他的支路则称为对应于该树的连支。：其他的支路则称为对应于该树的连支。可以证明，任一个具有可以证明，任一个具有n个结点的连通图，它的任何一个树个结点的连通图，它的任何一个树的树支数为（的树支数为（n-1）。）。4、独立回路：、独立回路：连通图连通图G的树支连接了所有的结点又不形成回路，因此，的树支连接了所有的结点又不形成回路，因此，对于对于G的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回的任意一个树，加入一个连支后，

8、就会形成一个回路，并且此回路除所加的连支外，均由树支组成。路，并且此回路除所加的连支外，均由树支组成。这种回路称为这种回路称为单连支回路单连支回路或或基本回路基本回路。每一个基本回路仅由一个连支，且这一连支并不出现在其每一个基本回路仅由一个连支，且这一连支并不出现在其他基本回路中。由全部连支形成的基本回路构成基本回路他基本回路中。由全部连支形成的基本回路构成基本回路组。显然，基本回路组是组。显然，基本回路组是独立回路组独立回路组。根据基本回路列出的根据基本回路列出的KVL方程组是方程组是独立方程独立方程。每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。因

9、这样所建立的方程不可能由原来方程导出，所以，因这样所建立的方程不可能由原来方程导出，所以，肯定是独立的肯定是独立的(充分条件充分条件)。可以证明可以证明:结点数为结点数为 n，支，支路数为路数为 b 的连通图，其独立回路数的连通图，其独立回路数 l =（b - n+1）。）。平面电路平面电路：可以画在平面上：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。不出现支路交叉的电路。非平面电路非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。路相互交叉。5、网孔、网孔平面图平面图的一个网孔是它的一个自然的的一个网孔是它的一个自然的“孔孔”，它限定，它限定 的区域的区域内

10、不再有支路。内不再有支路。平面图的全部网孔是一组独立回路，所以平面图的网孔数平面图的全部网孔是一组独立回路，所以平面图的网孔数也就是独立回路数。也就是独立回路数。一个电路的一个电路的KVL独立方程数等于它的独立回路数独立方程数等于它的独立回路数。 3.2支路电流法一、一、2b法法：以支路电压和支路电流为电路变量列写方程的方法。以支路电压和支路电流为电路变量列写方程的方法。结点数为结点数为 n，支路数为，支路数为 b 的连通图，总共的连通图，总共 2b 个未知数。个未知数。KCL：n 1 个方程。个方程。KVL：b n + 1 个方程。其独立回路数个方程。其独立回路数 l =（b - n+1）。

11、）。VCR：b 个方程。个方程。总计方程数为总计方程数为2b，与未知数相等。，与未知数相等。这种方法，称为这种方法，称为2b法法。二、支路电流法二、支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。电路的方法。结点数为结点数为 n，支路数为，支路数为 b 的连通图，总共的连通图，总共 b 个未知数。方个未知数。方程数减少一半。程数减少一半。 R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 + R5 is5 = 0 R2 i2 R4 i4 + R6 i6 = 0R1 i1 us1 + R2 i2 + R3 i3=0 i1 + i2 + i6 =0 i2

12、+ i3 + i4 =0 i4 + i5 i6 =0112341R2R3R4R6R5R1su5si1i2i6i3i4i5i整理得：整理得：R1 i1 + R2 i2 + R3 i3= us1 R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 = R5 is5 R2 i2 R4 i4 + R6 i6 = 02方程组方程组1和和方程组方程组2就是以支路电流就是以支路电流i1 i2 i3 i4 i5 i6为未知为未知量的支路电流法的方程。量的支路电流法的方程。式中式中 Rk ik 为回路中第为回路中第k个支路的电阻上的电压，和式遍及回个支路的电阻上的电压，和式遍及回路中所有支路，路中所有支路，且当且当ik

13、 参考方向与回路方向一致时参考方向与回路方向一致时，前面取，前面取“+”号，不一致时，取号，不一致时，取“”；右方右方usk为回路中第为回路中第k个支路的个支路的电源电压电源电压，电源电压包括电压源，电源电压包括电压源，也包括电流源引起的电压。也包括电流源引起的电压。 usk的方向与回路方向一致时，的方向与回路方向一致时，前面取前面取“”； usk的方向与回路方向不一致时，的方向与回路方向不一致时，前面取前面取“+”； 12341R2R3R4R6R5R1su5si1i2i6i3i4i5i支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：(1) 标定各支路电流的参考方向；标定各支路电流的参考方向；(2

14、) 选定选定(n1)个结点个结点，写出，写出KCL方程；方程；(4) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流；(3) 选定选定b(n1)个独立回路，指定回路的绕行方向，按个独立回路，指定回路的绕行方向，按照照 ， 列写其列写其KVL方程；方程；解题步骤：解题步骤：1. 对每一支路假设一未对每一支路假设一未 知电流知电流（I1-I6）4. 解联立方程组解联立方程组对每个节点有对每个节点有0I2. 列电流方程列电流方程对每个回路有对每个回路有0U3. 列电压方程列电压方程节点数节点数 N=4支路数支路数 B=6U4U3-+R3R6R4R5R1R2I2I5I6I1I4I3+_例

15、例1节点节点a：143III列电流方程列电流方程节点节点c：352III节点节点b：261III节点节点d：564IIIbacd（取其中三个方程）（取其中三个方程）节点数节点数 N=4支路数支路数 B=6U4U3-+R3R6R4R5R1R2I2I5I6I1I4I3+_列电压方程列电压方程电压、电流方程联立求得：电压、电流方程联立求得：61IIbacd33435544 :RIUURIRIadca :U4U3-+R3R6R4R5R1R2I2I5I6I1I4I3+_665522 :RIRIRIbcdb=01144664RIRIRIUabda-0-123例例2.列写如图电路的支路电流方程列写如图电路的

16、支路电流方程(含理想电流源支路含理想电流源支路)。b=5, n=3KCL方程：方程：- - i1- - i2 + i3 = 0 (1)- - i3+ + i4 - - i5 = 0 (2)R1 i1- -R2i2 = uS (3)KVL方程：方程：+ui1i3uSiSR1R2R3ba+i2i5i4cR4解解i5 = iS (6)- - R4 i4+ +u = 0 (5)R2 i2+ +R3i3 + + R4 i4 = 0 (4)R1 i1- -R2i2 = uS (3)i5 = iS (5)R2 i2+ +R3i3 + + R4 i4 = 0 (4)解解列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。

17、列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23方程列写分两步：方程列写分两步：(1) 先将受控源看作独立源先将受控源看作独立源列方程；列方程；(2) 将控制量用未知量表示，将控制量用未知量表示，并代入并代入(1)中所列的方程，中所列的方程，消去中间变量。消去中间变量。KCL方程：方程：- -i1- - i2+ i3 + i4=0 (1)- -i3- - i4+ i5 - - i4=0 (2)例例3.1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23KVL方程：方程：R1i1- -

18、 R2i2= uS (3)R2i2+ R3i3 + +R5i5= 0 (4)R3i3- - R4i4= u2 (5)R5i5= u (6)补充方程：补充方程：i6= i1 (7)u2= R2i2 (8)另一方法：去掉方程另一方法：去掉方程(6)。基本思想：基本思想：以假想的回路电流为未知量。回路电流已求得，以假想的回路电流为未知量。回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性组合表示。则各支路电流可用回路电流线性组合表示。回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以进一次，流出一次，所以KCL自动满足自动满足。若以回路电

19、流为未。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。方程。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2选图示的两个独立回路，回路选图示的两个独立回路，回路电流分别为电流分别为il1、 il2。支路电流可由回路电流求出支路电流可由回路电流求出 i1= il1，i2= il2- - il1， i3= il2。3. 3 回路电流法回路电流法回路电流法回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2回路回路1：R1 il

20、1+ +R2(il1- - il2)- -uS1+uS2=0回路回路2：R2(il2- - il1)+ R3 il2 - -uS2=0整理得，整理得，(R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2- - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2电压与回路绕行方向一致时取电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取；否则取“- -”。回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1) 选定选定l=b- -n+ +1个独立回路，个独立回路， 标标明各回路电流及方向。明各回路电流及方向。(2) 对对l个独立回路，以回路电流个独立回路，以回路电流为未知量，列写其为未知量，列写其KVL方程；方

21、程；(3)解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。自电阻自电阻总为正。总为正。R11=R1+R2 回路回路1的自电阻。的自电阻。等于回路等于回路1中所有电阻之和。中所有电阻之和。R22=R2+R3 回路回路2的自电阻。的自电阻。等于回路等于回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。R12= R21= R2 回路回路1、回路、回路2之间的互电阻。之间的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向相当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。同时，互电阻取正号；否则为负号。ul1= uS1- -uS2 回路回路1中所有电

22、压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2= uS2 回路回路2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当电压源电压方向与该回路方向一致时，取当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负负号反之取号反之取正正号。号。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2(R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2- - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2R11il1+ +R12il2=uSl1R12il1+ +R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：一般情况，对于具有一般情况，对于具有 l=b- -(n- -1) 个回路的

23、电路，有个回路的电路，有其中其中Rjk:互电阻互电阻+ : 流过互阻两个回路电流方向相同流过互阻两个回路电流方向相同- - : 流过互阻两个回路电流方向相反流过互阻两个回路电流方向相反0 : 无关无关特例：不含受控源的线性网络特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。（平面电路，（平面电路， Rjk均为负均为负(当回路电流均取顺当回路电流均取顺(或逆或逆)时针方向时针方向)）R11il1+R12il1+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+ +R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+ +Rll ill=uSllRkk:自

24、电阻自电阻(为正为正) ，k=1,2,l ( 绕行方向取回路电流参考方向绕行方向取回路电流参考方向)。回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1) 选定选定l=b- -(n- -1)个独立回路，标明回路电流及方向；个独立回路，标明回路电流及方向；(2) 对对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写个独立回路，以回路电流为未知量，列写其其KVL方程；方程；(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流；(5) 其它分析。其它分析。(4) 求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)；网孔电流法网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此：对平面电路，若以网孔为独立

25、回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。析方法称为网孔电流法。例例1.用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。解：解：(1) 设独立回路电流设独立回路电流(顺时针顺时针)(2) 列列 KVL 方程方程(R1+R2)Ia - -R2Ib = US1- - US2- -R2Ia + (R2+R3)Ib - - R3Ic = US2 - -R3Ib + (R3+R4)Ic = - -US4对称阵，且对称阵，且互电阻为负互电阻为负(3) 求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic(4) 求各支路电流：求各支路电流：

26、I1=Ia , I2=Ib- -Ia , I3=Ic- -Ib , I4=- -IcIaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4 将看将看VCVSVCVS作独立源建立方程；作独立源建立方程； 找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。4Ia- -3Ib=2- -3Ia+6Ib- -Ic=- -3U2- -Ib+3Ic=3U2 4Ia- -3Ib=2- -12Ia+15Ib- -Ic=09Ia- -10Ib+3Ic=0U2=3(Ib- -Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=- -0.51A例例2.用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法

27、求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc解解：将将代入代入，得，得各支路电流为：各支路电流为：I1= Ia=1.19A, I2= Ia- - Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A,I4= Ib- - Ic=1.43A, I5= Ic=0.52A.解得解得* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。例例3. 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。方法方法1： 引入电流源电压为变量，增加回路电流和引入电流源电压为变量，增加回路电流和

28、电流源电流的关系方程。电流源电流的关系方程。(R1+R2)I1- -R2I2=US1+US2+Ui- -R2I1+(R2+R4+R5)I2- -R4I3=- -US2- -R4I2+(R3+R4)I3=- -UiIS=I1- -I3I1I2I3_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路属于一个回路, 该回路电流即该回路电流即 IS 。I1=IS- -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=- -US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2R1

29、R2R5R3R4IS_+Ui+I3节点电压法节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。节点电压法的独立方程数为节点电压法的独立方程数为(n- -1)个。与支路电流法个。与支路电流法相比，相比，方程数可减少方程数可减少b- -( n- -1）个）个。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2节点节点b为参考节点，则为参考节点，则0 b设节点设节点a电压为电压为a 则：则：33Ria 111)(Ruisa 222)(Ruisa 3. 4 节点电压法节点电压法举例说明：举例说明： (2) 列列KCL方程：方程： iR出出= iS入入i1+

30、i2+i3+i4=iS1- -iS2+iS3- -i3- -i4+i5=- -iS3un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012(1) 选定参考节点，标明其余选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压个独立节点的电压代入支路特性：代入支路特性：S3S2S14n2n13n2n12n21n1iiiRuuRuuRuRu S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu 整理，得整理，得S3S2S1n243n14321)11( )1111(iiiuRRuRRRR S32n543n143 )111()11(iuRRRuRR 令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4

31、, 5上式简记为上式简记为G11un1+G12un2 = isn1G11un1+G12un2 = isn2标准形式的节点电压方程标准形式的节点电压方程。(3)求解上述方程求解上述方程由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可用节点电压表示：压，各支路电流即可用节点电压表示：un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R40121n11Rui 2n22Rui 3n2n13Ruui 4n2n14Ruui 5n25Rui S3S2S1n243n14321)11( )1111(iiiuRRuRRRR S32n54

32、3n143 )111()11(iuRRRuRR G11=G1+G2+G3+G4节点节点1的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点1上上所有支路的电导之和。所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5 节点节点2的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点2上所上所有支路的电导之和。有支路的电导之和。G12= G21 =-(-(G3+G4)节点节点1与节点与节点2之间的互电导，等之间的互电导，等于接在节点于接在节点1与节点与节点2之间的所有之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。支路的电导之和，并冠以负号。* 自电导总为正，互电导总为负。自电导总为正，互电导总为负。* 电流源支路电导为零。电流

33、源支路电导为零。S3S2S1n243n14321)11( )1111(iiiuRRuRRRR S32n543n143 )111()11(iuRRRuRR iSn1=iS1- -iS2+iS3流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=- -iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。* 流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+- -若电路中含电压源与电若电路中含电压源与电阻串联的支路：阻串联的支路：S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu S3S24n2n13n2n12n21S1n1iiRuuRuuRuRuu uS1整理，并记整理，并记Gk=1/Rk，得，得(G1+G2+G3+G4)un1- -(G3+G4) un2 = G1 uS1 - -iS2+iS3- -(G3+G4) un1 + (G1+G