第10章轴对称华东师大版

1、第一课时 生活中的轴对称一、学习目标什么是轴对称？什么是轴对称图形？它们有什么性质？你见过哪些轴对称图？轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？二、重点难点轴对称和轴对称图形的定义。轴对称和轴对称图形的性质。三、学前准备 直尺、圆规、铅笔 预习 ：P80-P83页四、探究过程  1、书上P80页总结，完成P81页最上面云符号问题。如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形。这条 叫做它的 。练习：P82练习 图中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是 ( ) 2、书上P81，回答第二个云符号问题，找出答案把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另

2、一个图形重合，那么这 成 ，这条直线就是 ，两个图形中的 （ ）叫对称点。我们可发现：对称轴过对称点连线的中点，并且垂直于这条线段的直线。注意：（1）、对称轴是 ，不是 ，也不是 ；（2）、一个图形的对称轴可以有 条，也可以有 条。例正方形有 对称轴，等边三角形有 对称轴。（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）它的对应线段（对折后重合的线段） ，对应角（对折后重合的角） 。还有没有什么性质？ 练习：习题10.12、 比较轴对称和轴对称图形如图：ABC沿一条直线对折后与DEF重合，由此可知ABC与DEF关于直线成轴对称，且AB= ,AC= ,BC= ,A= ,B= ,C= .同时若把A

3、BC、DEF与直线看成一个整体图形，则此图形为轴对称图形。轴对称与轴对称图形的区别与联系。它们的区别：（1） 。（图形个数）（2） 。（对称点位置）（3） 。（对称轴位置）（4） 。（对称轴个数）它们的联系：（1） 。（2） 。五、应用举例：如图已知ABC和ABC关于MN对称，并且AB=5，BC=3，则AC的取值范围 。解析：利用轴对称中对应线段的性质，想一想。AEDBCm例3 如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中A=130°，B=110°，那么BCD 度数等于（ ）。A40° B. 50° C. 60° D. 70°六、

4、目标检测    1、如图所示，图中不是轴对称图形的是( ) 2我国文字非常讲究对称美，分析图中的四个图案，有别于其余三个图案的是（ ） B 3、请举出5个我们学过的轴对称图形，并说明它有几条对称轴。六、拓展提高 1、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（ ） 2如图将ABC沿DE对折，A点落在四边形BCED内部，DAE与1、2之间的关系为 。ADCBE3.如图所示，A，B两点关于直线DE对称，如果AC=5cm,BC=4cm ,求BCD的周长。七、学后反思第二课时 轴对称的认识中垂线一、学习目标 什么是线段的垂直平分线？怎样运用线段的垂直

5、平分线？二、重点难点重点：线段垂直平分线的性质。难点：运用该性质解决实际问题。三、学前准备  直尺、圆规、铅笔。预习书上P84页。四、探究过程 知识链接：1、轴对称图形的性质：轴对称图形沿着对称轴对折后的两部分 ，所以它的相等，相等。2、线段 （填“是”或“不是”）轴对称图形，它有 条对称轴。完成P84做一做1、 线段垂直平分线： 且 一条线段的 称为这条线段的垂直平分线（又称为中垂线）。2、 线段垂直平分线的性质及判定：线段垂直平分线上的 到线段 的距离相等。反之，到线段的两个端点 的点，在 上，所以线段垂直平分线可以看成是 的所有点的集合。（注意：点在线的垂直平分线上点到线段两个

6、端点的距离相等，同时这一结论向我们提供了一个说明两条线段相等的方法。线段的垂直平分线满足两个条件：平分和垂直。由此可知线段是轴对称图形，它有两个对称轴，一条是它的垂直平分线，另一条是这条线段本身所在的直线。）练习：P85练习第1题3、画出下列三角形三边的中垂线：BCDA完成P86 第2题五、应用举例：BCDAE例题1 如图，在ABC中，AB=6，CDAB且平分AB，AC=10，则ABC的周长为 。解析：利用线段垂直平分线的性质，将要求的问题转化为已知条件，从而使问题巧妙求解。例2：已知，如图在ABC中，AB=AC=14，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，BCD的周长为21，求BC的长。练

7、习：1、P102第3题BCDAE2、如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，ABC与ABD的周长分别为18和12，求线段AE的长。例3 已知某山区有三个村庄A、B、C，如图，现要建一所“希望小学”，使三个村庄的孩子上学所走的路程相等，应选在什么位置建学校？并加以说明理由。解析：（解题关键）要确定到两个点距离相等的点，此点应在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。ABCDE六、目标检测    1、如图，在ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B、D、C、E在同一条直线上，则AB+BD与DE之间的关系是（ ）。AAB+BDDE BAB+BDDEABCDECAB+BD=DE

8、D.非上述答案2、如图，ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC= 。3、在ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，且AE=3，ABD的周长为13，求ABC的周长。3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等，请你在图中确定学校的位置。BDOPCP1P2七、拓展提高 1、点P关于OA、OB的对称点分别是、，分别交OA、OB于点D、C，=6，则PCD的周长为 。八、学后反思第三课时 轴对称的认识角平分线一、学习目标 角平分线上的点有什么性质？怎样用这个性质？二、重点难点1、掌握角的对称性

9、。2、掌握角平分线的性质。三、学前准备  直尺、圆规、铅笔。预习书上P85页。四、探究过程  （一）知识链接1、角平分线的性质：角平分线上的点 相等，角是 图形，它的对称轴是 。ABCOEFP12详解：（1）角平分线的性质中的“距离”指的是点到角两边的距离，是垂线段的长度。（2）角的平分线是一条 ，三角形中的角平分线是一条 ，而角的对称轴是角平分线所在的 ，注意三者之间的区别。（3）如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PEOA于E，PFOB于F，则角平分线的性质的符号语言为：1= ，PE ，PF PE=PF（ ）。完成练习P86 第3题DABCEF（二）应用举例：例

10、1、如图所示，在ABC中，BDAC于点D，AE平分BAC交BD于F点，ABC=90°。（1）若BC=80，BE：EC=3：5，求点E到AC的距离（2）你能说明 BEF=BFE吗？试说出理由。分析：已知角平分线可得出 ， 。DABCEF练习：如图，BD是ABC的平分线，DEAB于点E，DFBC于点F，SABC=36，AB=18，BC=12，求DE的长。ABCP例2已知在ABC中，ABC、ACB的平分线交于P，试证明P点到ABC三边的距离相等（如图示）。分析：欲说明P点到ABC三边的距离相等，先P到ABC的AB、BC距离相等，即P到ABC两边的距离相等，再说明P到BC、AC的距离也相等。

11、DABCO例3 在V型公路（AOB）内部，有两个村庄，C、D如图示，你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？分析：本题应分两层次去思考（1）到OA、OB的距离相等，符合题意的点在 （2）到点C、点E的距离相等，符合题意的点在 ，所以所找的P点就是 交点。完成练习P86第4题DABCOP五、目标检测    1、下列语句中，正确的有（ ）线段是轴对称图形，它只有一条对称轴；角的平分线是这个角的对称轴；若PA=PB，则P点在线段AB的中垂线上；若PA=PB，P点在AOB内部，则P点在AOB的平分线上。A0个 B1个 C2个 D

12、3个EABFO2、如图，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）APC=PD BOC=OD CCPO=DPO DOC=PCABCD3、如图某学校开运动会，要选一起点C，两名运动员先从C点出发分别到E、F两处取物品，然后负重回到C，再分别将物品送到OA、OB的路上，你能找到一个公平的点C吗？两名运动员又应沿怎样的路线走？4、如图，在ABC中，C=90°，AD是BAC的平分线，BC=8，BD=5，那么点D到直线AB的距离是 。六、拓展提高 1、如图，PA、PC分别是ABC的外角MAC与NCA的平分线，它们交于P点，PDBM，PFBN，垂足分别

13、为D、F，那么BP为MBN的平分线吗？为什么？L2L3L12、如图，直线L1、L2、 L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？七、学后反思第四课时 画图形的对称轴和轴对称图形一、学习目标 怎样根据已知图形画对称轴？怎样利用已知图形和对称轴画出另一部份图形？ 二、重点难点掌握对称轴和轴对称图形的画法。三、学前准备（学法指导、预习内容）直尺、圆规、铅笔。预习 ：P86-P87页。P89-90页四、探究过程   做一做：将右图所有应点连起来并填空（1）连结对称点的线段，被对称轴 。（）当对称点重合时，对称轴 这个点。（填

14、“经过”或“不经过”）（）轴对称图形中，所有对称点连线互相 。1、画出P86试一试和P87做一做图形的对称轴2、根据上面的信息，试着画出下列轴对称及轴对称图形的对称轴注：轴对称图形的对称轴是一条直线，有时不止一条，甚至有无数条。3、对称轴的画法： ， 。ABa例：如图，要在河边修一座水泵站，分别向张村和李村送水，水泵站修在河边哪个位置，可使所用水管最短？分析：利用“两点之间线段最短”来思考4、若已知一个图形和对称轴，如何画出另一部分？请试着补全下列图形。我们总结一下找对应点的方法： ， ， 。五、目标检测    1、在上图画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的另一个图形 A

15、 B C DACDEB、如果一个三角形的在两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角（ ）。A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、无法确定、轴对称图形的对应点连线被 垂直平分。4、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=20，DE垂直平分AB，若DBC的周长为35，则BC= 。若BC=16，则DBC的周长为 。六、拓展提高 ALB、如图，已知直线L两侧的A、B两点，在L上找一点C，使C到A、B的距离之差最小，并说明作图依据。、 如图，四边形EFGH是一长方形的台球桌，有黑、白两球分别为A、B两点。（1）怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF，反弹后再击中白球B？（2）怎样撞击

16、黑球A，使黑球先碰撞台边GH，反弹后再碰撞台边EF，最后击中白球B？分析：利用轴对称的性质，问题得解。BAL2L13、已知，如图，在小河（宽度为d）的两岸有村庄A、B，现有在小河上造一座桥（要求桥垂直于小河），使从A村到B村所行路程最短。问小桥应建在哪里？、：如图所示，1=2，且ABAC，点P是AD上的一点。求证：PBPCABAC分析：利用对称轴将所求证的线段集中一个三角形中，再利用三角形三边之间的关系，便可使问题得到解决。七、学后反思第五课时 设计轴对称图案一、学习目标 1使学生能利用米字格设计简单的轴对称图案。 2使学生能够欣赏现实生活中的轴对称图形。二、重点难点重点：利用对称轴进行图案设

17、计。难点；寻找对称轴以及如何利用对称轴作轴对称图形三、学前准备（学法指导、预习内容） P9192 四、探究过程（知识链接、典型例题）   1如图(1)，请画出ABC的关于直线l对称的图形。 A B C 图（1） 图（2）2如图(2)，等边ABC是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴?画画试试看。 二、新课 在日常生活中，我们可以看到丰富多彩的装饰图案，仔细观察这些装饰图案，你会发现其中有许多轴对称图形。请同学们欣赏P91四个装饰图案。如图(3)是一个轴对称图形。 问：第一个图形有 条对称轴；第二个图形有 条对称轴；第三个图形有 条对称轴；第四个图形有 条对称轴；2请选一个图

18、形可以利用轴对称性把安画出来。请准备一张正方形纸片，按以下5个步骤一起来画。 (1)在正方形纸片上画出四条对称轴。 (2)在其中一个三角形中，画出图形形状的基本线条。(注意：不同的线条最终会得到不同的图案，你可以自己设计线条，而不必和书上一样。) (3)按照其中一条斜的对称轴画出(2)中图形的对称图形。 (4)按照另一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形。 (5)按照水平(或垂直)对称画出(4)中图形的对称图形，即得到图(3)中的图。 在图案上涂上你喜欢的颜色，擦掉其他的线条，轴对称的图案就完成了。 五、目标检测  利用上图设计一个轴对称图案 六、学后反思第六课时 等腰三角形一、学

19、习目标 什么是等腰三角形？等腰三角形有哪些性质？等腰三角形的“三线合一”指的是什么 ？如何运用这一性质？ 二、重点难点重点：等腰三角形等边对等角性质。难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰“三线合一”。 三、学前准备预习P94P96四、探究过程 1、 条边相等的三角形叫等腰三角形。如图可用数学语言 来表示。2、等腰三角形中， 的两边叫做腰，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 。请在图上注明。 3、预习P95页：可以得出等腰三角形的两个底角 （简写成“ ”）这是因为：等腰三角形是一个 图形，它的两底角在折叠后能够 。4、看上图，用数学语言表示这个性质为： （ ）5、如图等腰

20、三角形ABC 中，AB=CD，现将它沿它的对称轴翻折，可以看出：1）BD ，说明AD是 ； 2）BAD ，说明AD ； 3）ADB ，说明AD 。由此可以知道：等腰三角形的 、 和 互相重合，简称“ ”填空：几何语言表达ABAC，12 ABAC，BDCD ABAC，ADBC 应用举例：例1已知：在ABC中，ABAC,B80°，求C和A的度数。例2填空：（1）已知等腰三角形的一个内角为72°，则它的另外两个角为 （2）等腰三角形三边长分别为4，4，10，现在底边上做一条高，现已知高为3，则分成的两个三角形周长分别是 （3）已知等腰三角形周长为20，则它的腰的范围 ，底的范围

21、例3如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。求和ADC的度数 例3如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DEAB，DFAC,请问DE等于DF吗?并说明理由。五、目标检测    1、在ABC中，ABAC，B50°，则A ，C 。2、等腰三角形的一个角为70°，则底角是 。3、书上P97练习六、拓展提高 如图:ABC中,AB=AC,CDAB于D,求证:BCD= A方法一: A D C E B 方法二:AD C B E 结论: 七、学后反思第七课时等腰三角形一、学习目标 怎样识别是否是等腰三角形？什么样的三角形是等腰直角三

22、角形？二、重点难点1、掌握等腰三角形的识别。2、掌握等腰直角三角形的定义。三、学前准备 学习用具：直尺、圆规、铅笔。预习 ：P97-P99。四、探究过程   1、 是等腰三角形。等腰三角形的性质等腰三角形的 相等。等腰三角形的 、 和 互相重合，简称“ ”看书P98页完成做一做 2、 判断一个三角形是等腰三角形的方法是：用定义判断： 如果一个三角形有 相等，那么这两个角所对的边也 。简写成“ ”。如图，用数学语言表示为： 3、等腰直角三角形：顶角为 的等腰三角形。 例1填空：1、等腰三角形中两边分别为3和6，则这个三角形周长为 2、如图，等腰直角三角形中，A90°

23、，BD是角形分线，DEBC，BC20，则DCE的周长为 例2如图，ABC中，BE是ABC的角平分线，DEBC，试证明DBE为等腰三角形。DEACB分析：要证DBE为等腰三角形，就需证明BD=DE，证明DBE=DEB即可。DACB练习如图，ABC中，A=36°，C=72°，BD是ABC的角平分线，请找出图中所有的等腰三角形。并加以证明。分析：判断等腰三角形往往是通过“等角对等边”。 DACBPQ例3如图，ABC中，AB=AC，过BC边上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于Q，交AC于P，请判断APQ的形状，并说明你的结论。DACBF21练习 如图，ABC中，D为AC上一点，D

24、EAB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD=CF，请说明ABC是等腰三角形。DEACB五、目标检测 1、已知ABC中，A=80°，B=50°，则ABC是 三角形。ADECBF2、如图，在ABC中，B=C=40°，D、E是BC上两点，且 ADE=AED=80°，则图中共有 个等腰三角形。3、如图，在ABC中，AB=AC，A=36°，BD、CE分别是ABC与ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形共有（ ）。A6个 B7个 C8个 D9个 DEACBO4、如图，O是ABC的两内角平分线BO、CO的交点，ODAB，OEAC，则ODE

25、的周长与BC有何关系？为什么？六、拓展提高 1、在等边ABC所在平面内取一点P，使得PBC、PAC、PAB都是等腰三角形，则具有这一性质的点有 个.2、如图，MON是一个钢架，MON10°。在其内部添加一些钢管BC，CD，DE，EF，FG添加的钢管长度都与OB相等。（1）当添加到第五根钢管时，求FGM的度数。（2）假设OM，ON足够长，能无限地添加下去？如果能，请说明理由，如果不能，最多能添加几根？七、学后反思 第八课时 等边三角形一、学习目标 什么是等边三角形？它有什么样的性质？怎样去判断一个三角形是否是等边三角形？二、重点难点等边三角形的性质及识别。三、学前准备 学习用具：直尺、

26、圆规、铅笔。预习 ：P97。四、探究过程   1、 是等腰三角形。2、等腰三角形的性质 3、等边三角形的概念： 的三角形叫等边三角形。注意：由定义可知，等边三角形是一种特殊的 三角形，也就是说等腰三角形包括等边三角形。等边三角形有三条对称轴，是 。等边三角形也称为正三角形。等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴。等边三角形的性质及识别：4、等边三角形的性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质，如： 除此之外，等边三角形的三边 ，三个内角 并且每个内角都 。例1如图四边形ABCD是正方形，PAD是等边三角形，求BPC的度数。分析：易得 和 是两个等腰三角形，且其顶角可求，故可算出 、 的

27、度数，从而求出BPC的度数。注意：在已知底角（或顶角）时，可求等腰三角形的内角的度数。寻找所求的角和已知角之间的关系，用于求角的大小。练习:5、等边三角形识别方法：利用定义： 用数学语言表示为： A 三个角都 的三角形 用数学语言表示为： 是等边三角形。 有一个角是 用数学语言表示为： 是等边三角形。 B C注意：识别是通过“等角对等边”来说明它是一个等边三角形，也可以转变为两个角都是60°的三角形是等边三角形；识别和是在三角形的条件下，识别是在等腰三角形的条件下，识别中的60°角可以是顶角也可以是底角；从对称轴的条数考虑：有三条对称轴的三角形是等边三角形。例2等边三角形A

28、BC的边AB、AC上分别截取ADAE，ADE是等边三角形？请说明理由。例3如图AD是ABC的中线且ADC=60°，把ADC沿直线AD折过来，点C落在点C的位置，如果BC=4，求BC的长度。分析：沿中线AD翻折后，可得到ADC= = =60°且BD= = ，所以BDC为一个等边三角形，就可得到B C的长度。注意：求线段的长度时，应将它与已知线段发生联系。当题目中出现等腰、60°角等条件时，应联想等边三角形，利用等边三角形的有关知识解题。五、目标检测 1、一个三角形三边上的中垂线交于一点，则这个三角形是 三角形。2、一个三角形的三条外角平分线与其中一边平行，

29、这个三角形是（ ）。A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形3、如图将一个（30°，60°）的直角三角尺沿60°所对的直角边翻折，新三角形与原三角形构成一个新的三角形，这个三角形是 三角形，其中30°角所对的直角边等于斜边的 。4、如图：ABC是等边三角形，BD、CE、是中线，DACBOE求CBD、BOE、BOC、EOD的度数。六、拓展提高 1、如图，ABC是等边三角形，D、E是边BC、AC上的点，连接BE、AD交于点P，1=2，BQAD于Q，求PBQ的度数。（求PQ与BP的关系）七、学后反思第九课时 等腰三角形的性质及判定练习

30、（一）1、 已知：DA/BC，BCCE，试说明AE。2、 已知：ACAB，AE是ABC的外角平分线，试说明AE/BC。3、 已知如图ABAC，BDCD，AD、BC交于点O，试说明：ADBC，OBOC4、如图等边三角形ABC中，D为AC的中点，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，求证：DB=DE。5、如图等边三角形ABC中，DEBC ，DFAB，EFAC,说明DEF为等边三角形。6、如图，AD为等边三角形ABC底边上的中线，DMAC，垂足为M，延长AC到E，使CE=CD，M是AE的中点吗？试说明理由。 7、已知：在RtABC中，BAC=90°，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于F，交AB于E，试说明AEF是等腰三角形。第十课时 等腰三角形的性质及判定练习（二）1、等边三角形两条角平分线所夹的锐角为多少度？2、如图在ABC中，AB=AC,E在CA