2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)(含答案解析)

1、2020 年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（理科）6 月份）第 15 页，共 17 页、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）1.2.3.4.复数A.B.C.A.B.C.已知全集 ，集合 ，则A.B.C.D.设 是等差数列 的前 n 项和，且 ， ，则A. 4B. 3C. 2 D. 5保护生态环境是每个公民应尽的职责 某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试， 测试结果发现这 100 名同学的得分都在内，按得分分成 5组：， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图， 则估计这 100 名同学的得分的众数为D.5.A. 70 B. 执行如图所示的程序框图， 若输入 k，n 的

2、值均是 0，则输出 T 的值 为A. 9B. 16C. 25D. 366. 用数字 1，2，3 组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为A. B. C. D.7. 在矩形 ABCD 中， ， ，平面上一点 P 满足 ， ，则A.B. 3C. 0D. 18. 已知函数 在 上有极值，则实数 a 的取值范围为A.B.C.D.9. 在三棱锥 中，平面 ABC， ， ， ，则三棱锥的外接球的半径A.B.C.D.10. 设A，B为双曲线 ： 的左，右顶点， F为双曲线 右焦点，以原点 O为圆心， 为半径的圆与双曲线 的一条渐近线的一个交点为 M，连接 AM， BM，则A. 4B.C. 2

3、D.11. 已知数列 满足 ，又 的前项和为 ，若 ，则A. 13B. 15C. 17D. 3112. 已知抛物线 ： 和圆 ： ，过圆 上一点 P 作圆的切线 MN 交抛物线 于M ，N两点，若点 P为 MN的中点，则切线 MN的斜率 时的直线方程为 A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0分）13. 函数在点处的切线方程为 ，则 的最大值为 15. 一条河的两岸平行，河的宽度 ，一艘船从岸边 A 处出发到河的正对岸，已知船的速度 ，水流速度 ，那么行驶航程最短时，所用时间是 附：，精确到 16. 已知函数 ，满足不等式 在 R 上恒成立，在上恰好只有一个极值点，则实数

4、三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0分）17. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a 、b、c，若， ， 求 sinB ；求 的面积18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ABCD ，在四边形 ABCD 中， ， ， ， ， ， 证明：平面 PAD ；求二面角 的余弦值19. 已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，椭圆的左， 右顶点分别为 A， B，已知椭圆 上一异于 A，B 的点 P， PA， PB的斜率分别为 ， ，满足求椭圆 的标准方程；若过椭圆 左顶点 A作两条互相垂直的直线 AM和 AN，分别交椭圆 于 M， N两点，问 x 轴上是否存在一定点 Q，使得成立，若存在，则求出该定

5、点Q，否则说明理由20. 由甲乙两位同学组成一个小组参加年级组织的篮球投篮比赛，共进行两轮投篮，每轮甲乙各自 独立投篮一次，并且相互不受影响，每次投中得 2 分，没投中得 0 分已知甲同学每次投中的 概率为 ，乙同学每次投中的概率为 求第一轮投篮时，甲乙两位同学中至少有一人投中的概率； 甲乙两位同学在两轮投篮中，记总得分为随机变量 ，求 的分布列和期望21. 已知实数 ，若关于 x的不等式 在 上恒成立，求实数 a 的取值范围；若 ，求证：22. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是曲线 C ：为参数 上的动点，以坐标原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为

6、： 求曲线 ， 的直角坐标下普通方程；已知点 Q 在曲线 上，求 的最小值以及取得最小值时 P点坐标23. 已知 ， 若关于 x 的不等式 的解集为 ，求实数 a 的值；若 时，不等式 恒成立求实数 a 的取值范围答案与解析1. 答案： B解析： 解：因为复数故选： B直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力2. 答案： C解析： 解：因为全集 ，集合 ， 故选： C先求出 M，再利用补集的定义求出结论本题考查集合的基本运算，是对基本知识的考查3. 答案： B解析： 解：设等差数列 的公差为 d，由 ， ，得 ，即 故选： B设等差数列 的公差为 d

7、，由已知列式求得 d，再由通项公式求本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，是基础的计算题4. 答案： D解析： 解：由频率分布直方图可知，这 5 组中组的频率最大，所以众数为这一组的区间中点值，即众数是 75，故选： D利用众数的估计值为频率最大区间的区间中点值即可算出结果 本题主要考查了众数的估计值，是基础题5. 答案： B解析： 解：模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，此时，不满足条件 ，退出循环，输出 T 的值为 16 故选： B由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序

8、的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基 础题6. 答案： D解析： 解：用数字 1，2，3 组成无重复数字的三位数，基本事件总数 ， 其中奇数的个数 ，所有的三位数中是奇数的概率为可知 的坐标满足当 时，故选： D基本事件总数 ，其中奇数的个数 ，由此能求出所有的三位数中是奇数的 概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7. 答案： A解析： 解：画出图形，并距离平面直角坐标系如图： 由题意可知 ， ， ， ， 平面上一点 P 满足 ， ， ，当，此时

9、，故选： A 画出图形，建立直角坐标系，设出坐标，然后利用向量的数量积求解即可 本题考查平面向量的数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是基础题，8. 答案： B解析：解：函数 在区间 上有极值，在 上有变号零点，由 可得 ，即 ，得到 ，故选： B求导可得，依题意，上有变号零点，令 ，则 ，由此即可求得 a 的取值范 围本题考查根据函数的极值求参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题9. 答案： D解析： 解： ， ， ，由余弦定理可得 ，外接圆的半径设球心到平面 ABC 的距离为 d，则由勾股定理可得故选： D由已知利用余弦定理求出 BC，可得外接圆的半径，再由勾股定理可

10、求该三棱锥的外接球的半径本题考查多面体外接球半径的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题10.答案： A解析： 解：由题意可知双曲线的图形如图：设A，B 为双曲线： 的左，右顶点， F 为双曲线 右焦点，以原点 O 为圆心， 为半径的圆与双曲线 的一条渐近线的一个 交点为 M，连接 AM， BM， ， ，所以 ， ， ，所以在直角三角形 ABM 中， 故选： A画出图形，利用双曲线的性质，求出 M 坐标，然后转化求解即可本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题11.答案： A解析： 解： ，故选： A首先根据题意，将 转化为 的关系式，然后求出 即可

11、 本题考查了数列的递推公式，数列的求和问题，属基础题 12.答案： D解析： 解：设 ， ， ，可得 ， ，两式相减可得 ，可得，可得，若点 P 为 MN 的中点，可得 ，即有 ，又，由 消去 ， ，可得由选项可得，当 时， ， ， 代入 ，不成立；当 时， ， ，代入 ，成立此时直线 MN 的方程为 ，即为 故选： D设 ， ， ，代入抛物线的方程，由作差法可得直线 MN的斜率，结合中点 坐标公式和 P 的坐标满足圆的方程，以及两直线垂直的条件：斜率之积为 ，消去 ， ，可得 k 的方程，结合选项的直线的斜率，代入求得 P 的坐标，检验是否满足圆的方程，即可得到所求直 线的方程本题考查抛物线

12、和圆的方程的运用，考查直线和圆的位置关系、直线和抛物线的位置关系，主要考 查方程思想和运算能力，属于中档题13.答案：解析： 解：由 ，得 ，则函数在点处的切线方程为 ，即 故答案为： 解析： 解：由实数 x、y 满足约束条件，作求出原函数的导函数，得到函数在 处的导数，再由直线方程的点斜式得答案 本题考查利用导数研究故曲线上某点处的切线方程，关键是熟记导数的运算法则，是基础题 14.答案： 6出可行域：联立 ，解得 ，化 为 ，由图可知，当直线 过A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为： 6 故答案为： 6由约束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 数 形结合得到最

13、优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15.答案：解析： 解：如图：行驶航程最短时，就是船垂直到达对岸， 和速度为： 行驶航程最短时，所用时间是： 故答案为： 利用河的宽度为 4km，结合船的静水速度船的速度，水流速度 ，利用数列的减法运算求出和速度，即可求解行驶航程最短时所用时间本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，是基本知识的考查16.答案：解析： 解： 不等式 在 R 上恒成立，即 ，函数 在 上恰好只有一个极值点，即 ，结合 可得，当 ， 时， 故答案为： 因为不等式在 R 上恒成立，所以，又函数 在 上恰好只有一个极值

14、点， 所以 ，解得 ，结合 可得，当 ， 时， 本题考查正弦函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题17. 答案： 解： 在 中，由 ，知： 所以由正弦定理可知：；，即由 ，及，因此 ，可知 所以 的面积为 解析： 由已知结合同角平方关系及和差角公式即可求解； 由已知结合正弦定理可求 b，进而可求 a，然后结合三角形的面积公式即可求解本题主要考查了同角平方关系及和差角公式，正弦定理的应用，属于中档试题18. 答案： 解： 在平面 ABCD 中， ， ，即 ，又 平面 ABCD ，则，又，平面 分在平面 ABCD 中，过 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线 于 M ，

15、 ， ，又 ，则 ，由 可知：即 ，则 ， 在 中， B 点到直线 PC 的距离 设二面角 的平面角为 ，则 所以 解析： 依题意，可得 ，由线面垂直的性质可得 ，进而得证； 利用等体积法求出 B 点到直线 PC 的距离，进而求得二面角 的余弦值 本题考查线面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题19. 答案： 解： 设 ，则 ，则，椭圆 的标准方程为 由 知 ，且直线 AM 和 AN 的斜率存在，设直线 AM 和 AN 的方程分别为和 ，设 ， ，联立 ，直线 AM 和椭圆 交于 A，M 两点，同理设 x 轴上存在一定点，使得 成立， ，则，可得 ，因此 x

16、轴上存在一定点，使得 成立解析： 设 ，利用直线的斜率关系，结合 ，求解 a， b，然后求解椭圆方程设直线 AM 和 AN 的方程分别为 和 ，设 ， ，联立直线方程与椭圆方程， 求出 M、N的坐标，设 x轴上存在一定点，使得 成立， ，转化求解即可本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题20. 答案： 解： 第一轮投篮时，甲乙两位同学中都没有投中的概率为甲乙两位同学中至少有一人投中的概率为对甲： ， ，对乙： ， ，记 ：则有 ， ，所以， 解析： 利用相互独立数据的概率的乘法，求解概率，结合对立事件的概率求解即可 求出 ，然后求解期望即可本题考查

17、离散型随机变量的的概率的求法，期望的求法，考查分析问题解决问题的能力21.答案： 证明：设，则若关于 x 的不等式 在 上恒成立，可以转化为 ，在 上恒成立，对 求函数导数得：，在 时，有 ，则在 为增函数，而，因此在为增函数，有从而 所以 符合要求在 时，由 可知： ，令 ， ，因此 在 为减函数，则 ， 单调递减， 于是有 在 恒成立，从而矛盾，因此 不符合综合讨论可知： 设，对 求函数导数得：上恒成立，由 可知当 时， 即 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，可知： ，在 上为增函数，则解析： 设 ，问题可以转化为 ，在 上恒成立，先求 ，再 求 ，分两种情况： 在 时

18、， 在 时， 分析 的正负， 的增减，得 的增减， 进而得 的函数值取值范围 是否符合题意， 进而得出结论设 ，对 求函数导数得： ，由 可知当 时，在 上恒成立， 得 在 上恒成立， ， 在 上为增函数，则 ，进而得出结论本题考查导数的综合应用，三角函数化简，属于中档题22.答案： 解： 由 ： 消去参数 t 得到，所以曲线 的直角坐标方程为 由曲线 ：根据，整理得直角坐标方程为：设，则 P 到直线 ：的距离为当 时， ，当 时， ，所以当 ，且 时，整理得 ，此时 解析： 直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应 用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换