浙江专用高中数学第三章直线与方程3.23.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程

1、 1 3.2.23.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程 目标定位 1.掌握直线方程的两点式的形式， 了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.能正确理解直线方程一般式的含义，会进行直线方程不同形式的转化. 自 主 预 习 1.两点确定一条直线.经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)且x1x2，y1y2的直线方程yy1y2y1xx1x2x1，叫做直线的两点式方程. 2.直线l与x轴交点a(a，0)；与y轴交点b(0，b)，其中a0，b0，则得直线方程xayb1，叫做直线的截距式方程. 3.若点p1，p2的坐标分别为(x1，y1

2、)， (x2，y2)且线段p1p2的中点m的坐标为(x，y)， 则xx1x22yy1y22. 4.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程axbyc0(其中a、b不同时为 0)叫做直线方程的一般式. 5.对于直线axbyc0，当b0 时，其斜率为ab，在y轴上的截距为cb；当b0 时，在x轴上的截距为ca；当ab0 时，在两轴上的截距分别为ca，cb. 即 时 自 测 1.判断题 (1)经过任意两点的直线都可以用(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)来表示.() (2)不经过原点的直线都可以用方

3、程xayb1 表示.() (3)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式或点斜式.() (4)若方程axbyc0 表示直线，则ab0.() 提示 (2)若直线垂直于坐标轴，此时a或b不存在，不能用xayb1 表示. (4)方程axbyc0 表示直线的条件是a，b不同时为 0，若a0，b0，或a0，b0时，方程也表示直线. 2.过两点(2，1)和(1，4)的直线方程为( ) a.yx3 b.yx1 2 c.yx2 d.yx2 解析 代入两点式得直线方程y141x212，整理得yx3. 答案 a 3.若方程axbyc0 表示直线，则a、b应满足的条件为( ) a.a0 b.b

4、0 c.ab0 d.a2b20 解析 方程axbyc0 表示直线的条件为a、b不能同时为 0，即a2b20. 答案 d 4.直线 3x2y4 的截距式方程是_. 解析 将 3x2y4 两边同除以 4 得，3x4y21，化成截距式方程为x43y21. 答案 x43y21 类型一 直线的两点式方程 【例 1】 已知a(3，2)，b(5，4)，c(0，2)，在abc中， (1)求bc边的方程； (2)求bc边上的中线所在直线的方程. 解 (1)bc边过两点b(5，4)，c(0，2)， 由两点式得y（4）（2）（4）x505， 即 2x5y100. 故bc边的方程为 2x5y100(0 x5). (2

5、)设bc的中点为m(x0，y0)， 则x050252，y0（4）（2）23.m52，3 ， 又bc边上的中线经过点a(3，2). 由两点式得y232x（3）52（3），即 10 x11y80. 故bc边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80. 规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则 3 表示的是直线. 【训练 1】 已知abc三个顶点坐标a(2，1)，b(2，2)，c(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程. 解 a(2，1)，b(2，2)，a、b两点横坐标相

6、同， 直线ab与x轴垂直，故其方程为x2. a(2，1)，c(4，1)，由直线方程的两点式可得直线ac的方程为y111x424， 即xy30. 同理可由直线方程的两点式得直线bc的方程为y212x242，即x2y60. 类型二 直线的截距式方程 【例 2】 求过点(4，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程. 解 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b. 当a0，b0 时，设l的方程为xayb1. 点(4，3)在直线上，4a3b1， 若ab，则ab1，直线的方程为xy10. 若ab，则a7，b7，直线的方程为xy70. 当ab0 时，直线过原点，且过点(4，3)， 直线的方程为 3x

7、4y0. 综上知，所求直线l的方程为xy10 或xy70 或 3x4y0. 规律方法 (1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解. (2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点. 【训练 2】 求过定点p(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 解 设直线的两截距都是a，则有 当a0 时，直线为ykx，将p(2，3)代入得k32， l3x2y0； 当a0 时，直线设为xaya1，即xya，把p(2，3)代入得a5，l：xy5.直线l的方程为 3x2y0 或xy50. 类型三 直线的一般式与其他形式的转化(互动探究) 【例 3】 已知直线l经过点

8、a(5，6)和点b(4，8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形. 4 思路探究 探究点一 两点式方程的适用条件是什么？两点的坐标满足什么条件？ 提示 两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，两点的坐标应满足x1x2且y1y2. 探究点二 直线axbyc0 能化为截距式的条件是什么？ 提示 当a，b，c0 时，直线axbyc0 能化为截距式. 解 因为直线l经过点a(5，6)，b(4，8)，所以由两点式，得y686x545， 整理得 2xy160，化为截距式得x8y161， 所以直线l的一般式方程为 2xy160，截距式方程为x8y161. 图形如图所示： 规律方法 (1)一

9、般式化为斜截式的步骤： 移项得byaxc； 当b0 时，得斜截式：yabxcb. (2)一般式化为截距式的步骤： 方法一： 把常数项移到方程右边，得axbyc； 当c0 时，方程两边同除以c，得axcbyc1； 化为截距式：xcaycb1. 方法二： 令x0 求直线在y轴上的截距b； 令y0 求直线在x轴上的截距a； 代入截距式方程xayb1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的， 而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式. 【训练 3】 (1)下列直线中，斜率为43，且不经过第一象限的是( ) 5 a.3x4y70 b.4x3y70 c.4x3y420 d.3x4

10、y420 (2)直线3x5y90 在x轴上的截距等于( ) a.3 b.5 c.95 d.33 解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为43的有：b、c 两项.又y43x14 过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有 b 项正确. (2)令y0 则x33. 答案 (1)b (2)d 课堂小结 1.求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程. (2)由于减法的顺序性， 一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意

11、坐标的对应关系. 2.截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 3.一般式方程axbyc0(其中a，b不同时为 0)的特殊情况 特殊直线 系数满足的条件 垂直x轴 b0 垂直y轴 a0 与x，y轴都相交 ab0 过原点 c0 1.经过p(4，0)，q(0，3)两点的直线方程是( ) a.x4y31 b.x3y41 c.x4y31 d.x3y41 解析 因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为 4，3，所以直

12、线方程为 6 x4y31. 答案 c 2.已知ab0，bc0，则直线axbyc通过( ) a.第一、二、三象限 b.第一、二、四象限 c.第一、三、四象限 d.第二、三、四象限 解析 由axbyc，得yabxcb，ab0，直线的斜率kab0， bc0，直线在y轴上的截距cb0. 由此可知直线通过第一、三、四象限. 答案 c 3.直线mx3y50 经过连接点a(1，2)，b(3，4)的线段的中点，则m_. 解析 线段ab的中点坐标是(1，1)，代入直线方程得m350，所以m2. 答案 2 4.求过点m(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 解 若直线过原点，则k43， y43x，即

13、4x3y0. 若直线不过原点，设xaya1，即xya. a3(4)1，xy10. 故直线方程为 4x3y0 或xy10. 7 基 础 过 关 1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) a.可以写成两点式或截距式 b.可以写成两点式或斜截式或点斜式 c.可以写成点斜式或截距式 d.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为 0，所以直线不一定能写成截距式.故选 b. 答案 b 2.直线xayb1 过第一、二、三象限，则(

14、) a.a0，b0 b.a0，b0 c.a0，b0 d.a0，b0 解析 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a0，b0. 答案 c 3.在直角坐标系中，直线x3y30 的倾斜角是( ) a.30 b.60 c.150 d.120 解析 直线斜率k33，所以倾斜角为 150，故选 c. 答案 c 4.已知a(3，0)，b(0，4)，动点p(x0，y0)在线段ab上移动，则 4x03y0的值等于_. 解析 ab所在直线方程为x3y41，则x03y041，即 4x03y012. 答案 12 5.已知直线(a2)x(a22a3)y2a0 在x轴上的截距为 3，

15、则该直线在y轴上的截距为_. 解析 把(3，0)代入已知方程得：(a2)32a0，a6. 直线方程为4x45y120，令x0，得y415. 答案 415 8 6.求过点p(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线的条数. 解 设过点p(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线的斜率为k，则有直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，它与坐标轴的交点分别为m(0，2k3)、n23k，0 . 再由 1212|om|on|12|2k3|23k，可得4k9k12 24，即 4k9k1224，或 4k9k1224.解得k32或k9622或k9622，故满足条件的直线有 3 条

16、. 7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为3，且经过点a(5，3)； (2)过点b(3，0)，且垂直于x轴； (3)斜率为 4，在y轴上的截距为2； (4)在y轴上的截距为 3，且平行于x轴； (5)经过c(1，5)，d(2，1)两点； (6)在x轴，y轴上截距分别是3，1. 解 (1)由点斜式方程得y33(x5)， 即3xy3530. (2)x3，即x30. (3)y4x2，即 4xy20. (4)y3，即y30. (5)由两点式方程得y515x（1）2（1）， 即 2xy30. (6)由截距式方程得x3y11，即x3y30. 能 力 提 升 8.已知abc三顶

17、点坐标a(1，2)，b(3，6)，c(5，2)，m为ab中点，n为ac中点，则中位线mn所在直线方程为( ) a.2xy80 b.2xy80 c.2xy120 d.2xy120 解析 由中点坐标公式可得m(2，4)，n(3，2)，再由两点式可得直线mn的方程为y424x232，即 2xy80. 答案 a 9 9.直线l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是( ) 解析 将l1与l2的方程化为斜截式得： yaxb，ybxa， 根据斜率和截距的符号可得选 c. 答案 c 10.已知两条直线a1xb1y40 和a2xb2y40 都过点a(2， 3)， 则过两点

18、p1(a1，b1)，p2(a2，b2)的直线方程为_. 解析 由条件知2a13b140，2a23b240，易知两点p1(a1，b1)，p2(a2，b2)都在直线 2x3y40 上，即 2x3y40 为所求. 答案 2x3y40 11.设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别求m的值. (1)在x轴上的截距为 1； (2)斜率为 1； (3)经过定点p(1，1). 解 (1)直线过点p(1，0)， m22m32m6.解得m3 或m1. 当m3 时不合题意，故m1. (2)由斜率为 1，得m22m32m2m11，2m2m10，解得m43. (3)直线过定点p(1，1)， 则(m22m3)(2m2m1)2m6， 解得m53或m2. 探 究 创 新 12.已知直线l：y12x1，试求： (1)点p(2，1)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l1：yx2