高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修44050318

1、1四四 渐开线与摆线渐开线与摆线一、基础达标1.已知圆的渐开线的参数方程是xcossin，ysincos(为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是()a.b.2c.3d.4解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为 1，所以基圆的周长为 2，故选 b.答案b2.已知一个圆的参数方程为x3cos，y3sin(为参数)， 那么圆的摆线方程中与参数2对应的点a与点b32，2之间的距离为()a.21b. 2c. 10d.321解 析根 据 圆 的 参 数 方 程 可 知 ， 圆 的 半 径 为 3 ， 那 么 它 的 摆 线 的 参 数 方 程 为x3（sin） ，y3（1c

2、os）(为参数)，把2代入参数方程中可得x321，y3，即a323，3，|ab|323322（32）2 10.答案c3.摆线x2（tsint） ，y2（1cost）(t为参数，0t2)与直线y2 的交点的直角坐标是()a.(2，2)，(32，2)b.(3，2)，(33，2)c.(，2)，(，2)d.(22，2)，(22，2)解析由 22(1cost)得 cost0.t0，2)，t12，t232.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2，2)，(32，2).答案a4.已知圆的渐开线的参数方程是xcossin，ysincos(为参数)，则此渐开线对应的基2圆的直径是_，当参数4时对应的曲线上的点的坐

3、标为_.解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为 1，故直径为 2.把4代入曲线的参数方程，得x2228，y2228，由此可得对应的坐标为2228，2228.答案22228，22285.已知圆的方程为x2y24，点p为其渐开线上一点，对应的参数2，则点p的坐标为_.解析由题意，圆的半径r2，其渐开线的参数方程为x2（cossin）y2（sincos）(为参数).当2时，x，y2，故点p的坐标为p(，2).答案(，2)6.给出直径为 6 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系.又圆的直径为

4、6，所以半径为 3，所以圆的渐开线的参数方程是x3cos3sin，y3sin3cos(为参数).以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为x33sin，y33cos(为参数).7.已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点a、b对应的参数分别是3和2，求a、b两点的距离.解根据条件可知圆的半径是 1， 所以对应的渐开线参数方程是xcossin，ysincos(为参数)，分别把3和2代入，可得a、b两点的坐标分别为a3 36，3 36，b2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得a、b两点的距离为3|ab|3 36223 361216（136 3

5、）2636 372.即a、b两点之间的距离为16（136 3）2636 372.二、能力提升8.如图，abcd是边长为 1 的正方形， 曲线aefgh叫做“正方形的渐开线”，其中ae、ef、fg、gh的圆心依次按b、c、d、a循环，它们依次相连接，则曲线aefgh的长是()a.3b.4c.5d.6解析根据渐开线的定义可知，ae是半径为 1 的14圆周长，长度为2，继续旋转可得ef是半径为 2 的14圆周长，长度为；fg是半径为 3 的14圆周长，长度为32；gh是半径为 4 的14圆周长，长度为 2.所以曲线aefgh的长是 5.答案c9.已知一个圆的平摆线方程是x22sin，y22cos(为

6、参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.解由平摆线方程知，圆的半径为 2，则圆的周长为 4.当时，y有最大值 4，平摆线具有周期性，周期为 2.平摆线上最高点的坐标为(2k，4)(kz z).10.渐开线方程为x6（cossin） ，y6（sincos）(为参数)的基圆的圆心在原点， 把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍得到曲线c，求曲线c的方程，及焦点坐标.解由渐开线方程可知基圆的半径为 6，则圆的方程为x2y236.把横坐标伸长到原来的 2 倍，得到椭圆方程x24y236，即x2114y2361，对应的焦点坐标为(6 3，0)和(6 3，0).411.如图， 若点q在半径ap上(或

7、在半径ap的延长线上)， 当车轮滚动时，点q的轨迹称为变幅平摆线，取|aq|r2或|aq|3r2，请推出q的轨迹的参数方程.解设q(x，y)、p(x0，y0)，若a(r，r)，则x0r（sin） ，y0r（1cos）.当|aq|r2时，有x02xr，y02yr，代入x0r（sin） ，y0r（1cos）.点q的轨迹的参数方程为xr12sin，yr112cos(为参数).当aq3r2时，有x0r2x3，y0r2y3，代入x0r（sin） ，y0r（1cos）.点q的轨迹方程为xr32sin，yr132cos(为参数).三、探究与创新12.已知一个参数方程是x2tcos，y2tsin，如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把当成参数(t0)，它表示半径为t的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程.解(1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y2tan(x