空间曲线及其方程28372PPT课件

1、例1. x2+ y2= 1 2 x + 3 z = 6表示怎样的曲线？第1页/共20页例2. x2+y2+z2=R2 x2+y2=R2zxy0第2页/共20页例例3 3 方程组 表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面,4)2(222ayax 圆柱面,交线如图.第3页/共20页参参数数方程方程二、空间曲线的二、空间曲线的意义：意义： )(txx)(tyy )(tzz 动点动点的轨迹的轨迹第4页/共20页 路边竖着一个圆柱形的大水泥管。有一只苍蝇停在上面。在苍蝇左下方爬着一只壁虎。壁虎一动也不动，两只眼睛盯住上面的苍蝇。为了不让苍蝇逃走，只见壁虎以最短的

2、时间、最快的速度跑了过去，一口就把苍蝇咬住了。 试问壁虎在水泥管面上选择的是一条什么路线呢?圆柱螺线圆柱螺线第5页/共20页圆柱螺线P同时又在平行于同时又在平行于z轴的方向轴的方向等速地上升。等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面圆柱面222ayx yz0 xa x = y =z =acosbM (x,y,z)asin M (x,y,z)N.（移动及转动都（移动及转动都是等速进行，所是等速进行，所以以z与与成正比。成正比。) )点点P在圆柱面上等速地绕在圆柱面上等速地绕z轴旋转；轴旋转；第6页/共20页 0),(0),(zyxGzyxF消去变量z后得：0),( yxH设空

3、间曲线C的一般方程：三、空间曲线在坐标面上的投影 00),(zyxH第7页/共20页 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 1.yxzo第8页/共20页z =0.21yxzo解解122 yxL 所求投影曲线为所求投影曲线为122 yx 01 22zyx.消去消去z后后得：得：. 22222 yxzyxz由由。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 投影柱面第9页/共20页 0),(0),(zyxGzyxF消去变量z后得：0),( yxH曲线C关于 的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线C的一般方程：

4、三、空间曲线在坐标面上的投影 00),(zyxH空间曲线C在 面上的投影曲线投影曲线xoy第10页/共20页z =0.21yxzo解解122 yxL 所求投影曲线为所求投影曲线为122 yx 01 22zyx.消去消去z后后得：得：. 22222 yxzyxz由由。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 投影柱面第11页/共20页类似地：可定义空间曲线C： 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的投影曲线投影曲线,xoz 0),(0),(zyxGzyxF在其他坐标面上的投影: 00),(zyxH空间曲线C在 面上

5、的投影曲线投影曲线xoy第12页/共20页例例1 1 求曲线 在xoy坐标面上的投影. 211222zzyx解解消去变量z后得,4322 yx在 面上的投影为xoy,04322 zyx第13页/共20页补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面关键是确立轮廓线第14页/共20页例2: 设一个立体由上半球面 和锥面224yxz)(322yxz所围成, 求它在xoy面上的投影.解: 半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1yxzOx2 + y2 1于是交线于是交线C 在在xoy

6、面上的投影曲线为面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z = 0这是xoy面上的一个圆.所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1第15页/共20页例2: 设一个立体由上半球面 和锥面224yxz)(322yxz所围成, 求它在xoy面上的投影.解: 半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1yxzOx2 + y2 1于是交线于是交线C 在在xoy面上的投影曲线为面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z = 0这是xoy面上的一个圆.所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1第16页/共20页空间曲线的一般方程、参数方程四、小结空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT第17页/共20页思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.