ch8-1简谐振动振动合成

1、惠更斯：惠更斯： (ChristianHaygen(ChristianHaygen，162916291695)1695)荷兰物理学家、数学家、天文学家。他建立了光的波动学说，提出了惠荷兰物理学家、数学家、天文学家。他建立了光的波动学说，提出了惠更斯原理。主要著作有更斯原理。主要著作有16901690年出版的年出版的论光论光，共有，共有2222卷。卷。一、简谐振动的振动方程一、简谐振动的振动方程 弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统 （看视频）（看视频） 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧轻弹簧质量忽略不计质量忽略不计物体物体可看作质点可看作质

2、点 kxOmkxF 22dtxdmkx mk2简谐振动简谐振动微分方程微分方程2220d xxdt8.1简谐振动简谐振动单摆单摆 222d0dt结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sinsinmggmfC22d ()sindlmmgt 切线（运动）方向的合力切线（运动）方向的合力l/g 2 OT其通解为：其通解为：简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)cos(tAx0dd222xtx简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程或叫振动方程或叫振动方程)2sin()cos(ttdsin()dxvAtt )cos(dddd

3、222tAtxtav速度方程速度方程加速度方程加速度方程简谐振动的特征量简谐振动的特征量振幅振幅 A: 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移）的绝对值。频率频率 ：21T角频率角频率 :22T周期周期T T ：)(cos)cos(TtAtA2T物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。对弹簧振子对弹簧振子kmT 2 mk 21 mk 单摆单摆glT 2 lg 21 lg 固有角频率固有角频率 固有周期固有周期 固有频率固有频率 是是t t =0=0时刻的相位时刻的相位初相位

4、初相位相位相位)cos(tAx相位相位 决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态t 同相和反相同相和反相( (同频率振动同频率振动) )当当 = 2k 两振动步调相同两振动步调相同, ,称同相。称同相。当当 = (2k+1) 两振动步调相反两振动步调相反 , , 称反相。称反相。xto同相同相Tx1A1x2A2xto反相反相Tx1A1x2 A2以弹簧振子为例以弹簧振子为例某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)sin(tAv)cos(tAx221vmEk)(sin2122tkA221kxEp )(cos2122tkA二、简谐振动的能量二、简谐振动的能量机械能机械

5、能221kAEEEpk（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）kEkEA022 由起始能量求振幅由起始能量求振幅221kAE EpkpEE toETxotEk221kA三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法：位移、相位旋转矢量表示法：位移、相位 t = 0Ax t+ t = tA)cos(tAxox用旋转矢量表示相位关系（看视频）用旋转矢量表示相位关系（看视频）x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相四、简谐振动的合成四、简谐振动的合成同方向同频率同方向同频率简谐振动的合成简谐振动的合成分振动分振动 : 合振动合振动 :1122cos()cos()AtAttAAtA

6、A sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx22121 2212cos()AAAAA 22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx结论：结论：同方向同频率同方向同频率简谐振动的简谐振动的合振动仍是简谐振动合振动仍是简谐振动111222cos cossin sin cos cossin sin AttAtt22222222R e : c o ssin(c o ssin)(c o s c o s sin sin),c a ll ababa ba

7、ba ba b 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 随随t t 缓变缓变随随t t 快变快变同方向不同频率同方向不同频率简谐振动的合成简谐振动的合成例：同振幅分振动例：同振幅分振动11cosxAt22cosxAt合振动合振动21212cos() cos()22xAtt21xxx当当 2 1时时, ,ttAxcos)(1212 12coscosAtAtsin ,sin 20 .xtxt函 数 图 像合振动可看作：低频对高频的合振动可看作：低频对高频的调制调制sin ,sin t sin 20 .xtxt函 数 图 像sinsin

8、 tsin20 xtxt称为是的包络.两式相减再取余弦消去参数两式相减再取余弦消去参数t得合振动的轨迹方程（练习！）得合振动的轨迹方程（练习！）22221212212122cos()sin ()xyxyAAA A分振动分振动1111cos()arccos,xxAttA2222cos()arccos,yyAttA互相垂直的简谐振动的合成互相垂直的简谐振动的合成同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成0120)(221AyAxxAAy12 讨论讨论yx2A1A当当21212212 AyAx)cos(11tAx质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。)2cos(12tAyx2A1A当当当当2,2312质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。yx2A1A12xAAy12当当yx = 0 =