一元二次方程及其解法应用

1、一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法知识点回顾知识点回顾1、整式方程、整式方程 等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程整式方程 2、一元二次方程、一元二次方程 一个整式方程整理后如果只含有一个未知数，且未一个整式方程整理后如果只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方次的方程，叫做一元二次方程程 3、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 方程方程ax2bxc=0(a、b、c为常数，为常数，a0)称为一称为一元二次方程的一般形式，其中元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别叫做

2、分别叫做二次项，一次项和常数项，二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和分别称为二次项系数和一次项系数一次项系数 4、一元二次方程的解、一元二次方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 5、一元二次方程分类、一元二次方程分类一般形式一般形式缺一次项缺一次项缺常数项缺常数项缺一次项及常数项缺一次项及常数项)0(02acbxax) 0, 0, 0( 02cbacax) 0, 0, 0( 02cbabxax)0, 0(02cbaax探究交流探究交流v（1）判断方程x（x10）=x23是否是一元二次方程？v（2）方程3 x22x=1的

3、常数项是1，方程 3 x22x6=0的一次项系数是2，这种说法对吗？答案：（答案：（1）化简后为）化简后为10x3=0,所以它是一元一次方程。所以它是一元一次方程。（2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前面的性质符号。面的性质符号。练习：（1）方程（m2）x|m|3mx1=0是关于x的一元二次方程，求m的值。答案：答案：m=2（2）当m= 时，方程（m21）x2（m1）x1=0是关于x的一元一次方程。答案：答案：m=1（3）已知关于x的一元二次方程（m1） x23x1=0有一个解是0，求m的值。答案：答案：m=1（4）m为何值时，关于x的

4、一元二次方程 mx2m2x1= x2x 没有一次项？答案：答案：m=1 如图，有一块矩形铁皮，长如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去，那么铁皮各角应切去多大的正方形？多大的正方形？(课件：课件：制作盒子制作盒子) 问题问题1例例 已知：关于已知：关于x的方程的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m是一元二次方程是一元二次方

5、程, 求：求：m的取值范围的取值范围.解：解：原方程是一元二次方程，原方程是一元二次方程，2m-10， m .21方程的解的定义v使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：x=3,x=2都是一元二次方程 x25x6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就一元二次方程可以无解，若有解，就一定有两个解。一定有两个解。猜测下列方程的根是什么？猜测下列方程的根是什么？2560 xx 方程的根：使一元二次方程等号两边相等方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）做根）

6、.4.（1）下列哪些数是方程）下列哪些数是方程260 xx的根？从中你能体会根的作用吗？的根？从中你能体会根的作用吗？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4 （2）若）若x2是方程是方程 的一个的一个 2450axx根，你能求出根，你能求出a的值吗？的值吗？根根的作用：的作用：可以使等号成立可以使等号成立.巩固练习巩固练习2360 x 2490 x 1你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1） ； （2） .02cax.2cax.2acx.acx当ac0时 ， 形如形如 （a0，c 0）的的一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：当ac0时 ，此方程无

7、实数解此方程无实数解.-3x2+7=0.解：.321,321,321,37,37,732122xxxxxx2221(1)40(2) 410(3)0 xxx 例、解下列方程：. 5222x.252x,2522x解：解：系数化系数化1，得，得 2102 x开平方开平方，得，得解这两个一元一次方程解这两个一元一次方程，得，得.2102x或或2210,2210 xx2222(1) (1)41(2)(2)303(3) 4(32 )4901(4)(23)1002xyxx解下列方程：小结小结如何解形如如何解形如 的一元二次方程的一元二次方程?khx2)(方程可化为一边是方程可化为一边是 _,另一边是另一边是

8、_,那么就可以用直接开那么就可以用直接开平方法来求解平方法来求解. 1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解来求解?含未知数的完全平方式含未知数的完全平方式一个常数一个常数2、直接开平方法的理论依据是什么、直接开平方法的理论依据是什么?平方根的定义及性质平方根的定义及性质khx2)(222(1)(1)2(2)9(2)2501(3)(23)403yxx例2、解下列方程：拓展与提高：拓展与提高：2222(1) (1)36(12 )0(2) 4(31)9(31)0 xxxx练习22) 1()2(4xx用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步

9、骤: :移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;配方配方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数 一半的平方一半的平方; ;开方开方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;求解求解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;定解定解: :写出原方程的解写出原方程的解. .(1)x28x =(x4)2(2)x23x =(x )2(3)x212x =(x )2配方时配方时, ,若二次项系数为若二次项系数为1 1，则配上的，则配上的常数是一次项系数常数是一次项系数的平方的平方. .164923366请同学解下列方程请同学解下列方程

10、（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式， 那么可得p 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 x=p（p0） 或mx+n= 用用解下列方程解下列方程:(1)x26x=1(2)x2=65x(3) x24x3=01.在用配方法解在用配方法解 时时,方程的两边应方程的两边应同时加上同时加上( )1212xx1 . a41.b161.c641.d2.解方程解方程:c0342xx3、说明多项式、说明多项式 的值恒大于的值恒大于012222mmxx4、先用配方法说明：不论先用配方法说明：不论x取何值，

11、代数式取何值，代数式 值总大于值总大于0，再求出当，再求出当x取何值时，代数式取何值时，代数式 的值的值最小？最小值是多少？最小？最小值是多少？752 xx752 xx122mmx你能行吗w 解下列方程.w 1.x2 2 = 0;w 2.x2 -3x- =0 ; w w 3.x24x2；w 4.x26x10 ； 随堂练习w 5.3x2 +8x 3=0 ; 41这个方程与前4个方程不一样的是二次项系数不是1,而是3.基本思想是:如果能转化为前4个方程的形式,则问题即可解决.你想到了什么办法?配方法w 例2 解方程 3x2+8x-3=0. w1.化1:把二次项系数化为1;. 0383:2 xx解.

12、3534x,311x. 32x. 01382xx.3413438222xx.353422x.3534xw3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w2.移项:把常数项移到方程的右边;. 1382xx 师生合作成功者是你吗w 用配方法解下列方程.w 6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ; w 7. 3x2 + 2x 3 = 0 ;w 8. 2x2 + x 6 = 0 ;w 9.4x2+4x+10 =1-8x .w 10. 3x2 - 9x

13、+2 = 0 ; w 11. 2x2 +6=7x ;w 12. x2 _x +56 = 0 ;w 13. -3x2+22x-24=0.心动 不如行动回味无穷n本节课复习了哪些旧知识呢？本节课复习了哪些旧知识呢？n继续请两个继续请两个“老朋友老朋友”助阵和加深对助阵和加深对“配方法配方法”的理解运用的理解运用: :w 平方根的意义平方根的意义:w 完全平方式完全平方式:式子式子a22ab+b2叫完全平方式叫完全平方式,且且a22ab+b2 =(ab)2.n本节课你又学会了哪些新知识呢？本节课你又学会了哪些新知识呢？n用配方法解二次项系数不是用配方法解二次项系数不是1 1的一元二次方程的步骤的一元

14、二次方程的步骤: :w 1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1(1(方程两边都除以二次项系数方程两边都除以二次项系数););w 2.2.移移项项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;w 3.3.配方配方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数绝对值绝对值一半的平方一半的平方; ;w 4.4.变变形形: :方程左分解因式方程左分解因式, ,右边合并同类右边合并同类; ;w 5.5.开开方方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;w 6.6.求求解解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;w 7.7.定定解解: :写

15、出原方程的解写出原方程的解. .n用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题( (即列一元二即列一元二次方程解应用题次方程解应用题).).小结 拓展 如果x2=a,那么x=.a设设a0a0，a,b,c a,b,c 都是已知数，并且都是已知数，并且 b b2 2-4ac0-4ac0，试用配方法解方程：，试用配方法解方程： axax2 2 +bx+c = 0.+bx+c = 0.cbxax2acxabx222222abacabxabx222442aacbabxaacbabx2422aacbbx242b2-4ac0因为因为解解一元二次方程一元

16、二次方程ax2+bx+c=0( a0)的的求根公式求根公式x= （b2-4ac0）aacbb242例：例： 解方程步骤解方程步骤 ( 1 ) 3y2-2y=1 一般步骤：一般步骤：（1）先把方程化为一般形式先把方程化为一般形式（2）确定确定a,b,c （3）判定判定=b2-4ac的值的值（4）代入求根公式代入求根公式 030 x2x22（2）利用公式法解下列方程，从中你能发现么？利用公式法解下列方程，从中你能发现么？ 222(1)320;(2)2 22;(3)4320.xxxxxx 解解2, 3, 1cba012143422 acb2131213x. 1, 221xx 用公式法解下列方程，根据

17、方程根的用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？情况你有什么结论？ 22(1)2530;(2)8 (25)25;(3)10.xxyyxx 结论结论1 240bac20(0)axbxca2142bbacxa 2242bbacxa （1）当）当 时，一元二次方程时，一元二次方程有实数根有实数根结论结论2 240bac20(0)axbxca （2）当）当 时，一元二次方程时，一元二次方程有实数根有实数根122bxxa 结论结论3 240bac20(0)axbxca （3）当）当 时，一元二次方程时，一元二次方程无实数根无实数根.自学检测题自学检测题1 1、 什么样的一元二次方程可以什么样的

18、一元二次方程可以用因式分解法来解？用因式分解法来解？2 2、用因式分解法解一元二次方、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？程，其关键是什么？3 3、用因式分解法解一元二次方、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么程的理论依据是什么? ?4 4、用因式分解法解一元二方程，、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？必须要先化成一般形式吗？用因式分解法解一元二次方程的步骤用因式分解法解一元二次方程的步骤1o方程右边化为方程右边化为 。2o将方程左边分解成两个将方程左边分解成两个 的的乘积。乘积。3o至少至少 因式为零，得到两个因式为零，得到两个一元一次方程。一元一次方程。4o两个

19、两个 就是原方就是原方程的解。程的解。 零一次因式有一个一元一次方程的解例：解方程：例：解方程：x2=3x 解：移项，得解：移项，得x2-3x=0将方程左边分解因式，得将方程左边分解因式，得x(x-3)=0 x=0 或或x-3=0 原方程的解为：原方程的解为：x1=0 x2=-3这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。 特点：在一元二次方程的一边是特点：在一元二次方程的一边是0， 而另一而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式式 分解法来解。分解法来解。例例1 1、解下列方程、解下列方程1 1、x x2 23 3x

20、 x10=0 210=0 2、( (x x+3)(+3)(x x-1)=5-1)=5解：原方程可变形为解：原方程可变形为 解：原方程可变形为解：原方程可变形为 ( (x x5 5)( )(x x+2+2)=0)=0 x x2 2+2+2x x8 8=0=0 ( (x x2 2)( )(x x+4+4)=0)=0 x x5 5=0=0或或x x+2+2=0 =0 x x2 2=0=0或或x x+4+4=0=0 x x1 1= =5 5 , ,x x2 2= =-2-2 x x1 1= =2 2 , ,x x2 2= =-4-4快速回答：下列各方程的根分快速回答：下列各方程的根分别是多少？别是多少

21、？0)2() 1 (xx0) 3)(2)(2(yy2, 021xx3, 221yy0) 12)(23)(3(xx21,3221xxxx 2)4(1, 021xx例例2 解下列方程解下列方程： （1） x2-3x-10=0 （2） （x+3）（x-1）=5(3)3 (2)5(2)x xx2(4)(31)50 x 填空题练习：填空题练习：（1）方程）方程x（x+1）=0的根是的根是_.（2）已知）已知x=0是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一个根，的一个根， 则则m=_.（3）若方程）若方程ax2+bx+c=0的各项系数的各项系数之和之和 满足满

22、足a-b+c=0，则此方程必有，则此方程必有一根是一根是_.选择题训练选择题训练1.对于方程对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是下列结论正确的是( )（a） x-a=0 （b）x-a=0或或x-b=0（c） x-b=0 （d）x-a=0且且x-b=02、方程、方程x(x-2)=2(2-x)的根为的根为( )（a）-2 （b）2 （c） 2 （d）2、23、方程、方程(x-1)=(1-x)的根是的根是( )（a）0 （b）1 （c）-1和和0 （d）1和和0bcd1.用因式分解法解下列方程：2y2=3y(2a3)2=(a2)(3a4)x2+7x+12=0(x5)(x+2)=183)

23、 13(2)23(33)8(2xxxxxt(t+3)=2806)23()7(2xx(4x3)2=(x+3)2 我最棒 ,用分解因式法解下列方程w 参考答案：参考答案： . 9, 3.921xx .43;41.1021xx . 2; 5.121xx . 3; 5.221xx . 2; 3.321xx .74;21.421xx .35; 2.521xx .34; 2.621xx . 6, 3.721xx . 1; 0.821xx);2(5)2(3 . 5xxx; 05) 13.(62x025)25(2xx1. ;2. ；015)53(2xx; 018)23(. 32xx4. ;) 12() 24(

24、2xxx;3)3(2 . 72xxx; 0213) 1.(82xx; 02712. 92xx.9)3(2 .1022xx2.解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法：直接开平方法直接开平方法 配方法配方法 公式法公式法 因式分解法因式分解法小小 结结：1o方程右边化为方程右边化为 。2o将方程左边分解成两个将方程左边分解成两个 的乘的乘积。积。3o至少至少 因式为零，得到两个一元因式为零，得到两个一元一次方程。一次方程。4o两个两个 就是原方程的解就是原方程的解 零零一次因式一次因式有一个有一个一元一次方程的解一元一次方程的解1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：用因式分解法解一元二次方程的步

25、骤：右化零左分解右化零左分解两因式各求解两因式各求解简记歌诀简记歌诀：列一元二次方程解应用题的一般步骤n1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. n2.解决应用题的一般步骤：n审(审题目，分清_、_、等量关系等)；n设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；n列(根据题目中的等量关系，列出方程)；n解(解方程，注意分式方程需_，将所求量表示清晰)；n验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).一元二次方程应用题的主要类型n1.数字问题 如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：_.几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：

26、三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为_，_. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为_，_.2.平均变化率问题n(1)增长率问题：平均增长率公式为_ (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，nb为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为_ (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，nb为降低后的量.)3.利息问题n(1)概念：n本金：顾客存入银行的钱叫本金.n利息：银行付给顾客的酬金叫利息.n本息和：本金和利息的和叫本息和.n期数：存入银行的时间叫期数.n利率：每个期数内的利息与本金的比叫

27、利率.n(2)公式:n利息=_n利息税=利息税率n本金(1+利率期数)=本息和n本金1+利率期数(1-税率)=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题n利润(销售)问题中常用的等量关系：n利润=_-_ (成本)n总利润=每件的利润总件数数字问题n例1已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少n【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.例例2.某钢铁厂去年某钢铁厂去年1月某种钢的产量为月某种钢的产量为5000吨，吨，3月上升到月上升到7200吨吨,这两个月平均每个月增长这两个月平均每个月增长的百分率是多少的百分率是多少?分析分析:2月份比一月份增

28、产月份比一月份增产 吨吨. 2月份的产量是月份的产量是 吨吨 3月份比月份比2月份增产月份增产 吨吨 3月份的产量是月份的产量是 吨吨5000(1+x)5000 x5000(1+x)x5000(1+x)2解解:平均每个月增长的百分率为平均每个月增长的百分率为x 列方程列方程 5000(1+x)2 =7200 化简化简 (1+ x)2 =1.44 x1=0.2 x2=-2.2 检验检验: x2= -2.2(不合题意不合题意), x1=0.2 =20% 答答:平均每个月增长的百分率是平均每个月增长的百分率是20%.例例2:某月饼原来每盒售价某月饼原来每盒售价96元元,由于卖不出去，由于卖不出去，结

29、果两次降价结果两次降价,现在每盒售价现在每盒售价54元元,平均每次降平均每次降价百分之几价百分之几?总结总结:1.两次增长后的量两次增长后的量=原来的量原来的量(1+增长率增长率)2若原来量为若原来量为a,平均增长率是平均增长率是x,增长后的量为增长后的量为a 则则 第第1次增长后的量是次增长后的量是a=a(1+x) 第第2次增长后的量是次增长后的量是a=a(1+x)2 第第n次增长后的量是次增长后的量是a=a(1+x)n 这就是重要的这就是重要的增长率公式增长率公式.2.两次降价后价格两次降价后价格=原价格原价格(1-降价率降价率)2公式表示：公式表示：a=a(1-x)2n例3某商店从厂家以

30、每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?n【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.例4 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪abcd，求该矩形草坪bc边的长一一.复习填空复习填空:1、某工厂一月份生产零件、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产个，二月份生产零件零件1200个，那么二月份比

31、一月份增产个，那么二月份比一月份增产 个？个？增长率是多少增长率是多少 。2、银行的某种储蓄的年利率为、银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存，小民存 1000元，存满一年，利息元，存满一年，利息= 。存满一年存满一年连本带利连本带利的钱数是的钱数是 。20020%1060元元利息利息= 本金本金利率利率 增长量增长量=原产量原产量 增长率增长率60元元4.康佳生产一种新彩霸康佳生产一种新彩霸,第一个月生产了第一个月生产了5000台台,第二个月增产第二个月增产了了50%,则则:第二个月比第一个月第二个月比第一个月增加了增加了 _ 台台,第二个月生产了第二个月生产了 _ 台台;500050%5000(1+50%)3.某产品，原来每件的成本价是某产品，原来每件的成本价是500元，若元，若每件售价每件售价625元，则每件利润是元，则每件利润是 .每件利润率是每件利润率是 .利润利润=成本价成本价利润率利润率