第1章函数与极限PPT课件

1、第一章 函数与极限第二章 导数与微分第三章 不定积分第四章 定积分及其应用*第五章 无穷级数第六章 空间解析几何第七章 多元函数及其微分法第八章 多元函数积分法第九章 常微分方程及其应用*第十章 数学计算软件的介绍第1页/共44页第一节 函数第二节 初等函数第三节 极限第四节 极限的运算第五节 函数的连续性第一章函数与极限第2页/共44页一、函数定义1、定义：设x和y是两个变量。是一个给定的数集，如果对于每个，按f法则变量y总有唯一的数值和它对应，则称f为D上的一个函数。记作其中x为自变量，y为因变量，xD( )yf x函数三要素:函数关系、定义域、值域。2、函数的表示法：解析法、列表法、图示

2、法3、函数举例第3页/共44页1,0( )sgn0,01,0 xf xxxx符号函数在定义域的不同部分，采用不同表达式的函数，称为分段函数。sgnxxx绝对值函数第4页/共44页取整函数,即结果为不超过x的最大整数。 yx第5页/共44页、函数的有界性设y=f(x)在(a,b)内有定义。若存在0,使得对所有，有，则称函数在(a,b)内有界。如果不存在这样的，则称函数在(a,b)内无界。( )f xM二、函数的性质,xa b2、单调性3、奇偶性4、周期性第6页/共44页三、复合函数反函数1、复合函数定义设y=f(u)是数集E上的函数，是从数集D到数集E的函数，对，经过中间变量u，都有唯一的y与之

3、对应，则产生新函数称为数集D上的复合函数。记作 uxxD yfx注意：并不是任意的函数都可以复合例：和能否复合？和呢？arcsinyu22uxarcsinyu22ux第7页/共44页设有函数y=f(x)，若对于，在数集D上有唯一的x与之对应，则得到，称为y=f(x)的反函数。yW xg y记作 1xfy定理若函数y=f(x)是定义在数集D上的单调函数，则它的反函数必存在且也在对应的区间上单调。2、反函数定义例在整个定义域上不存在反函数。但适当限制定义域后，就存在反函数。2yx第8页/共44页()yx是常数(,0,1)xyaaaa是常数log(,0,1)ayx aaa是常数sin ,cos ,t

4、an ,cotyx yx yx yxarcsin ,arccosyx yxarctan ,cotyx yarcx常量幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数二、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所构成，可用一个解析式表示的函数。一、基本初等函数yC(C是常数)第9页/共44页一、数列的极限1、数列定义：若函数f(n)的定义域是，当n从小到大取值，对应函数值的排列称为数列。记为，其中称为通项。 1 ,2 ,.fff n naN naf n1 2 3,2 3 41nn引例请问以下数列是否存在极限，若存在，极限是多少？1，-1，1，-1，1，.第10页/共44页对（无论多么小），总正

5、整数，当n时，有成立，则称A是的极限或称收敛于A。记为或.0 若的极限不存在，则称发散。naA na nalimnnaA()naA n na na说明： （1）其中可以任意给定，它描述了与A的无限接近程度；（2）N随着的选定而选定且不唯一。na2、数列极限定义3、几何意义第11页/共44页的极限是1。1lim02nn 21lim01nnn2121nn用数列定义证明(1)(2)(3)第12页/共44页定理1收敛数列必有界。推论无界数列必发散。定理2单调有界数列一定收敛。4、数列极限的有关结论有界数列定义若，使一切都满足，则称有界。若不存在，则数列无界。na0MnaM na na例问，,是否有界。

6、1nnxn2nnx 4!nn第13页/共44页二、函数的极限（一）时函数的极限x 1、定义对于（无论多么小），如果总，使得当时，有，则A叫做当时的极限，记作或0 0XxX( )f xA( )f xx lim( )xf xA( )()f xAx当2、几何意义第14页/共44页例证明1lim0 xx（二）时函数的极限0 xx1、邻域定义称为的邻域，记作0 x0,N x000,xxx xx把中心去掉，称为的去心邻域即，记作0 x0 x00 xxx0,oN x结论:若，则直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线。 limxf xA第15页/共44页2、极限定义若对，总，当时，有，则叫做函数当时的极限。

7、记作或0 000 xx( )f xA0 xx0lim( )xxf xA0( )()f xAxx当3、几何意义例证明1lim(21)1xx2143lim21xxxx 第16页/共44页4、左极限与右极限左极限：或右极限：或00lim( )xxf xA0(0)f xA00lim( )xxf xA0(0)f xA结论:极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等例2问1,0( )0,01,0 xxf xxxx当当当0 x ( )f x的极限是否存在。当时例1讨论函数当时的极限 xf xx0 x 第17页/共44页（三）无穷小量与无穷大量说明：（1）无穷小是一个以0为极限的函数（2）无穷小不是负无穷,也不

8、是很小的数（除了常数0）（3）无穷小必须相对于某一个变化过程而言1、无穷小定义1若当（或）时，函数f(x)的极限为0,则f(x)叫做（或）时的无穷小。x 0 xxx 0 xx无穷小定义2对,若总(或X0),当(或)时,有,则f(x)叫做无穷小.0 0(, )xN xxX f x第18页/共44页讨论:数列1,0,2,0,.n,0,是无穷大量吗？2、无穷大定义1在x的某个变化过程中，如果无限增大，则称函数f(x)是在这个变化过程中的无穷大。 f x若函数f(x)对（无论多么大），总（或X0)，当（或）时，有则称（或）时，f(x)为无穷大。0M000 xxxX( )f xM0 xxx lim (

9、)f x 记作无穷大定义2第19页/共44页例证明11lim1xx 11xy1结论：如果 ,则直线x=x0是函数y=f(x)的图形的垂直渐近线.0lim ( )x xf x第20页/共44页3、无穷大与无穷小的关系( )f x1( )f x( )f x1( )f x 0f x 在自变量的同一变化过程中为无穷大为无穷小为无穷小为无穷大第21页/共44页定理1有限个无穷小的和也是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。例求01limsinxxx一、无穷小量的运算第22页/共44页lim( )( )lim( )lim ( )f

10、 xg xf xg xlim( )( )lim( ) lim ( )f xg xf xg xlim ( )lim( )nnf xf xlim( )lim( )cf xcf x( )lim( )lim( )lim ( )f xf xg xg x加、减法乘法除法lim ( )0g x 二、极限的四则运算第23页/共44页233lim9xxx1、例求极限：2、3、2123lim54xxxx3221lim53xxxx4、311lim1xxx第24页/共44页3232342lim753xxxxx32225lim321xxxxx232321lim25xxxxx110110.lim0.mnmmmmnnxnn

11、anmba xaxanmb xbxbnm5、6、7、sinlimxxx8、9、01 1limxxx 第25页/共44页三、极限存在准则与两个重要极限那么limf(x)=A若当（或）时，恒有0(, )xN xxX( )( )( )g xf xh xlim ( )lim ( )g xh xA且0sinlim1xxx重要极限1Cx（一）夹挤定理0lim1sinxxx第26页/共44页0tanlimxxx201 coslimxxx例题0sin2limxxx2、1、3、4、我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积割圆术，得到圆面积A是它的内接正n（)边形的面积当时的极限。怎么得到的呢？nSn 6

12、n 第27页/共44页22sin2nnrSn22limsin2nnrAn222sinlim2nnrrn第28页/共44页（二）单调有界收敛准则单调有界数列必有极限。重要极限21lim 1xxex10lim(1)xxxe例1求下列极限：（1）1lim(1)xxx（2）0ln 1limxxx（3）（4）2sin0lim 1xxx1lim1xxxx第29页/共44页例2设某顾客向银行存入本金p元，年利率为r,n年后他在银行的存款总额是本金与利息之和。如果银行规定年复利率为r,试根据下述不同的结算方式计算顾客t年后的最终存款额。(1)每年结算一次;(2)每月结算一次,每月的复利率为r/12;(3)若结

13、算周期变为无穷小,这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方法称为连续复利.试计算连续复利情况下顾客的最终存款额.第30页/共44页例3在化学反应中，物质的瞬时反应速率与物质当时的量成正比。设比例系数为k，开始时参加反应物质的量为。经过t小时后，未起反应的物质的量为多少？0Qt小时tn分析：将t小时n等分，n很大。在每一时间段中，反应速率近似看成不变。起反应的量为0tkQn第31页/共44页如果，则称是比高阶的无穷小，记作；如果，则称与是同阶无穷小；当C=1时，称与是等价无穷小，记作lim0( )olim0c四、无穷小量的阶1、定义如果，则称是的k阶无穷小。lim0kC第32页/共44页2

14、、等价无穷小的重要性质, limlim0tan2limsin5xxx30sinlim3xxxx例求例求若且存在，则lim当时，有0 x sin tan arcsin arctan ln(1)1xxxxxxxe第33页/共44页一、连续函数的概念定义1设增量如果当时，有，则称函数在点连续.000,()()xxxyf xxf x 0 x 0y ( )f x0 x1、连续性定义第34页/共44页定义2若，则称f(x)在点处连续。00lim( )()xxf xf x0 x例用连续的定义证明函数在R上连续。2yx一切初等函数在其定义域上是连续的。、左连续和右连续000lim( )()xxf xf x00

15、0lim( )()xxf xf x左连续：右连续：结论：y=f(x)在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续0 x0 x3、在区间（a,b)、a,b上连续的函数。第35页/共44页二、函数的间断点、定义：如果f(x)有下列情形之一(1)在点无定义(2)不存在(3)在点有定义，也存在，但0lim( )xxf x0 x0lim( )xxf x00lim( )()xxf xf x0 x0 x则称点为函数y=f(x)的间断点或不连续点。第36页/共44页例1考察函数在点x=1处的连续性。 121xxf xx例2考察在x=1处的连续性。21( )1xf xxxyO例3讨论函数在x=0处的连续性。 22

16、201020 xxf xxxx第37页/共44页例4求y=tanx的间断点。2232例5讨论函数在x=0处的连续性。1sinyx第38页/共44页、间断点的分类：第一类间断点和第二类间断点(.)(.)左.右极限都存在)跳跃间断点 左右极限不相等第一类间断点可去间断点 左右极限相等不是第一类间断点的，称为第二类间断点，其中使得函数极限为的称为无穷间断点；使得函数处于振荡状态的点称为振荡间断点。第39页/共44页三、闭区间上连续函数的性质定理1（最大值与最小值定理）若y=f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上必有最大值与最小值。推论（有界性定理）若y=f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上必有界。第40页/共4