自动控制理论问题详解(孙扬声版)

1、标准T2-1判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态。2d2y t1dy t（1）2y t 3t 2 u t ；（3） y t u（t） 2 ；（4）sin ty（t） 3u（t）；dt2dt（7）在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？解：先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变；动态和静态）线性系统（即系统变量间的关系）：多项式形式，各项变量的幕指数为1 ；非线性系统：多项式形式，各项变量的幕指数不全为1 ；定常系统：系统参数与时间无关；时变系统：系统参数与时间有关；静态系统：输入到输出没有过渡过程；动态系统：输入到输出有过渡过程。（笔者认为在判断系统静

2、态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没有积分或微分。若有积分或微分，为动态系统；若积分和微分都没有，为静态系统。）题号分析系统性质（1）a、y（t）的幕指数为2,非线性；2b、变量 山単（把因变量或激励量的各阶导数的一次幕看作dt2一个变量）的系数为 3t，是时间的函数，时变；c、多项式含有微分，动态。非线性，时变，动态（3）1a、激励量u（t）的幂指数为§，不为1，非线性；b、各变量的系数均为常数，与时间无关，定常；c、式中不含微分、积分，静态。非线性，定常，静态（4）a、各变量的幕指数均为 1，线性；线性，时变，动态b、变量竽的系数sin t与时间有关，时变;y(t)u(t)输

3、入电压；y(t)输岀电压;c、式中含有微分，动态。(I) 、u(t) O,i(t) 0时:；dy(t)y(t) u(t);R dtR(7)(II) 、u(t) O,i(t) 0时：y(t) 0.在一个正弦周期，系统非线性、定常、动态。V1、V2 理想二极管非线性、定常、动态T2-2已知动态系统对输入信号u(t)的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：t2(1) y(t) x 0 u( )d ;0t(2) y(t) 3x 0 u( )d ；0t(3) y(t) e tx 0 e t u( )d。0解：先分清x 0和u t这两个量：x 0为状态变量(初始状态或初始条件)；u t为输入变量。零状态线

4、性和零输入线性的判定方法：(I) 当x 00时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输出yt与输入ut的关系是否满足线性，若满足，则为零状态线性；(II) 当u t°0时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出yt与初始状态x 0的关系是否满足线性，若满足，则为零输入线性；(iii)当(I)、(II)都满足时，就既满足零状态线性又满足零输入线性。题号分析系统性质(1)a、当x 00时，为零状态，此时输出y t与输入u t满足线性关系，故满足零状态线性；b、当u t°0时，为零输入，此时输出 y t与初始状态x 0不满足线性关系，故不满足零输入线性；综上a、b知

5、，系统仅满足零状态线性。仅满足零状态线性(2)分析方法同（1）既满足零状态线性又满足零输入线性(3)分析方法同（1）既满足零状态线性又满足零输入线性T2-3有一线性动态系统，分别用 t 0时的输入ui t ,U2 t ,U3 t ,t 0,对其进行试验。它们的初始状态 都相同，且x 00,三种试验中所得输出若为yi t , y2 t , y3 t o试问下列预测是否正确：（1） 若U3（t）山U2（t）,则y3（t）y,t）y2（t）；（2） 若u3（t）Ui（t）/U2（t）,则y3（t）%（t）/y2（t）；（3） 若ui（t）2u2（t）,则yi（t）2y2（t）;（4） 若ui（t）

6、U2（t）,则yi（t）y2（t） o如果x 00,哪些预测是正确的？t解：因为系统为线性动态系统，所以不妨设：y（t） x 0 u（ ）d0x 0所处情况题号分析结果x 00,(1)采用叠加原理，不正确此时：y3(t)x 0tU3( )d0U3(t) Ui(t) U2 (t)tx 0Ui( ) U2( )d0ty(t) x0u( )d02x0t6()0比()dyi(t)y2（t）,（只因为x 0的存在）（2）系统线性系统同时满足可加性和齐次性；商运算不在其中，故不正确。不正确y2(t)x 0tU2( )dtU2(t) 2ui(t)x 02u1( )d（3）0t0不正确2x 02"

7、( )d02yi（t）,-（只因为x0的存在）（4）y2(t)x0t氏()d0U2 (t) Ui (t)x 0tUi( )dyi(t)，恒等。0正确x 00,（1）与上一种情况比较正确此时：（2）同上一种情况不正确ty(t) u()d（3）与上一种情况比较正确0（4）恒等式正确T2-8已知线性动态系统的状态方程为I?000x 0i0 x0 U0i2iy ii0 x；x(0)0 i 0试求由单位阶跃U i（t ）输入所引起的响应y(t)。解：依题意，该线性系统的各系数矩阵为10 0 0(si A)adj(sl A)det(sl A)1s 10001s 11 1(sis 100s 100s 10

8、100s 2s 1 2s2 ；A)0s 10 10s 2;det(slA)(s1)(s 2)00T(s 1)(s2)00adj (si A)0(s1)(s2)(s1)0(s 1)( s2)0 ；00(s1)20(s 1)(s 1)2查拉氏（Laplace ）变换表得:状态转移矩阵t e00t L 1 (si A) 10t e0 ；（其中L 1为拉氏反变换的函数符号）02tte e2t ety(t) c(t)x(O) .Mt 灿()dtt e000t e000110 0t e01t1010 0t e00 1( )dt02tte e2t e00J(t ) j ee2(t)e1et 0 et.补充：

9、如何求n阶矩阵的伴随矩阵？第二步：将得到的代数第一步：先找出该n阶矩阵中每一元素在其 行列式中所对应的代数 余子式心;余子式Ajj取代其对应元素所在的位置并写成矩阵的形式并将此矩阵命名为新矩阵;第三步：将新矩阵转置即得所求伴随矩阵。如何计算Aj:A-1ijM（i为该元素所在的行数，j为该元素所在的列数）；其中皿耳为元素的余子式，即在 该n阶矩阵的行列式中，划 去所取的任一元素所在 的行和列之后, 剩下的（n 1）阶行列式的值。以本题为例，同学们检 验一下，看看自己是否 已掌握了伴随矩阵的求 法。T2-11已知线性动态系统中010 0A001 ，B 0，C230302 1试求系统的传递函数 G（

10、s）。解：依题意：s1 0(sI A)0s130 s 2det(sIA) s2s 23；s(s2)33sTs(s 2)(s2)1adj (sl A)(s2)s(s 2)33s(s2)s12ss3s32 s所求传递函数G(s)Cadj(slA)Bdet(slA)s(s 2)(s2) 102303s(s2)s03s3s21S2 s 233s 2s3 2s2 3.T2-13已知系统的传递函数为文案G(S)s as 7s 14s 8求当a等于何值，系统传递函数将是不完全表征的。解：依题意:G(s)网引 A)B det(sl A)s as3 7s2 14s系统特征多项式： s det(sl A) s3

11、7s2 14s 8 (s 1)(s 2)(s 4)； 系统是三阶的：n 3;当a 1or2or4时，传递函数的特征多 项式 s为二阶的：且n 2 n 3 此时系统有零、极点对消，系统传递函数是不完全表征的。T3-1对图T3-1所示系统，按传递函数方框图变换原则求出下列传递函数:G1c图T3-1单输入系统方框图解：解题之前，先总结一些方框图的变换规则:、相加点对方框G：（逆）移支路前（顺）移支路 G、分支点对对方框G：反（逆）移支路前（顺）移支路、方框串联相乘，方 框并联代数相加; 、单环负反馈：Gc 、注意：相加点、分（详细介绍请查阅课本第39页）；1 GH支点之间不能交叉，也不能相互合并（为

12、避免出现不必要的 错误而人为规定的）因为原系统简化方式有很多，所以笔者就不一一列举了，下面是笔者的一种解法，请参考。依题意，将原传递函数方框图简化为下图中的形式：GicYlUY2G1G2G3G4G-|G2G3G4H4G1G2H2G1G4G4H1)GG2G3G41 G3G4H4 G2G3H3 G1G2G3 H 2 G1G2G3G4 h 1G2cT3-3Y-i1G1G2G3U G41 G3G4H 4 G2G3H3 G1G2G3H 2 G1G2G3G4h 1求出图T3-3所示四输入系统方框图的输入量Y的表达式。图T3-3四输入量的系统方框图解：依题意，将原四输入量的系统方框图简化为下图中的形式:G1

13、G2H 21 G1G2 (2 H1)G(R1G1G2(G1R1R2 G1H1R3R4 )R3 H 1 )1 G2H 2 G1G2 H 1T3-4(b)已知一个电网络如图 T3-4(b)所示。试指出图中最多可划分为几个无负载效应的环节，求出该图的传递函数:G(s)Uo SUi s并说明负载效应对传递函数的影响。Ri011U1C1隔离放大器R2C2Uo(b)解:先介绍几个概念：负载效应：信号传递过程的分流效应与损耗。无负载效应的环节：环 节的输出变量仅决定于 输入变量及环节自身的 结构与参数, 而与环节外部所接负载无关。隔离放大器的作用：可 消除环节间的负载效应。依题意，图(b)中最多可划分为3个

14、无负载效应的环节:G(s)Uo sUi ssC1sC2T3-5(b)已知一个无源网络如图sC|R2sC2(1 sC1 R )(1 sC2R2)G(s)Uo sUi sT3-5(b)所示，试求传递函数:R Uo丫丄解：依题意，图(b)的传递函数:G(s)Uo sUi sRR sL丄sCsCR1 sCR s2CLT3-1o试根据图T3-1o所示传递函数方框图画出对应的信号流图，并根据信号流图求出下列各个传递函数:Y sGA(s) ； GB(s)Gc(s)图T3-10传递函数方框图解：（a）先明确E s表示的意思。E s表示误差信号，是输入信号与反馈信号的差值。（b）学会画信号流图。（两节点之间掌握

15、信号流图的表示方法：在信号流图中只采用两种图形符号，即节点及节点之间的定向线段的定向线段又叫支路）。其中，节点代表变量；支路表示信号的传递；支路上所标示的文字代表传递函数。n,再加1（考虑根据传递函数方框图画出对应的信号流图的方法：1、先确定节点的个数：数出传递函数方框图（题中给出的图）中相加点数和分支点数的总和信号输入处有一个节点），即信号流图的节点数 N=（ n+1）;此时就可以画出从输入到输出的一条通路。2、根据传递函数方框图上的传递函数以及信号传递方向在该通路的基准上正确表示出来。以本题为例确定节点数：N=3（相加点）+3 （分支点）+仁7（个）画出从输入到输出的一条通路：Rs 一-一

16、.:*:*二一*:Y s将传递函数以及信号传递方向在该通路上表示出来Y s用Mason公式（请参考课本第 5557页）求信号流图中的各传递函数:根据我们所画的信号流图知，从Rs到Y s只有一条通路：P| G1 ；环路共有三个，它们的环路传输分别为:LiL2GHi；Gi；H2.Gb1 (只有L1与L-3不相互接触虬特征式：1.1Y sP 1G1R s1 G1H1G1H2G1H1H2 ；到Es只有条通路：P1 ； 11L3 ；E sP1 11H2R s1 g1h1G1H2g1h1H2;Ga ss三个环路中,系统从R sL3L2L3)L1 L3；GcY sR sesR sGi1 H2T3-11(b)

17、解：依题意，信号流图中从U到Y共有两条通路：P1 G1G2G3 ； P2 G4L1G1G2 H1 ；环路共有三个，它们的环路传输分别为：l2L3G2H1;G2G3 H2.三个环路间彼此相互接触，特征式:P 1P2 2G1G2G3G4(1G1G2H1G2H1 G2G3H2)G s1G1G2H1 G2H1G2G3H2T3-12已知某控制系统从源点到汇点的总传输为Y ah 1 cf dq U 1 be 1 dq cf解：依题意,Y ah 1 cf dq U 1 be 1 dq cf其中a、b、c、d、e、f及q各代表一个支路的传输，试绘制出该系统的信号流图。ah 1 cf dqR 11 dq cf

18、be be dq绘出该系统的信号流图如下:T3-13已知系统方框图如图 T3-13所示。试写出x2、x2为状态变量的状态方程与输出方程，画出该系 统的状态变量模拟图。图T3-13 系统方框图解：依题意，画出该系统的状态变量模拟图如下:sX1（s）X2（s）sX2（s）2X2（s）X3（s）sX3（s）KX1（s）X3（s） KR（s）系统的状态方程:?010X1写成矩阵形式：x021X2K01X3Xi 输出方程：y xi 1 0 0 X2X3T3-15已知控制系统的传递函数G（s）s2 2s 53s3 6s2 9s 15试求该系统的可控标准形实现及可观测标准形实现。解：对传递函数略加变换:12

19、5G（s）s2 2s 5 3s 3s2 3s3（）3s3 6s2 9s 15 1 2_5123s s s绘制图形:U13Y s%(1) 、可控标准实现：x AcX bey CcX0100式中：Ac001； bc5210 ； Cc3335321?(2)、可观测标准实现：XA0Xb°uyC0X0 0式中：Ao 100 155 33 ; b02 3 ; C000121. 3T4-2已知二阶系统的传递函数为随着参数的不同，其一对极点在s平面上有如图T4-2所示的6种分布。若系统输入单位阶跃信号，试列出与这 6对极点相对应的暂态响应曲线的形状特征。解：首先明确阻尼比在不同取值围下，暂态响应曲线

20、的是怎样变化的:阻尼比取值围1过阻尼1临界阻尼0 1欠阻尼0无阻尼1 01暂态响应曲线变化情况单调衰减单调衰减振荡衰减等幅振荡振荡发散单调发散位于不含虚位于不含虚位于左半实位于虚轴位于左半轴的左半s轴的右半s位于右半轴线上的2上的2个闭环极点位置实轴线上平面上的2平面上的2实轴线上个不相等的共轭纯虚的重极点个共轭复数个共轭复数的重极点实极点数极点极点极点极点分布图中所对应的暂态响应曲线的形状分别如下图所示:P2 Pi1Lij0RP过阻尼时的极点分布和响应临界阻尼的极点分布应欠阻尼时的极点分布响应无阻尼时的极点分布和响应io时的极点分布和响应RiR2-1时的极点分布和响应T4-5设有一典型二阶系

21、统丫(S) u(s)nS22 nS和自然振荡频率为了使系统阶跃输入的响应有 5%的过调量和2s的调整时间(允许误差为5%)，求阻尼比解题之前先熟悉几个公式:2、过调量：M p e 1 为阻尼比、5%误差区的调整时间：ts 5%33 为衰减时间常数,n、2%误差区的调整时间：ts 2%44nn为自然振荡频率；解:过调量：Mp eJ 25%依题意，由5%误差区的调整时间：ts5%In2 0.052 In2 0.050.692s2.17rad / sGo(s)与输入信号r(t)为T4-10 一闭环系统的结构如图10(1)G°(s)； r(t)s(4 s)(2)G°(s)10r(t

22、)s(4 s)'(3)G°(s)10r(t)s(4 s)'试求以上三种情况的稳态误差T4-10所示，若开环传递函数10t ；4 6t 3t2 ；234 6t3t 1.8t。e 。R（s）亠Go s -Y(s)图T4-10 单位反馈系统方框图解：求解之前，有必要记一下以下这表（对于本题这种题型，这应该是最快最准的解题方法了）各种类型输入作用下的稳态误差e系统的型N单位阶跃输入R s 1 s积分因子数n=1积分因子：1.s单位斜坡输入R s丄 s积分因子数n=2单位抛物线输入Rs 4 s积分因子数n=301 11 K K（K为比例因子）注意观祭:N 0 n 1注意观祭:N

23、 01 n 1注意观察:N 0 2 n 110注意观祭:N 10 n 11K注意观祭:N 1 n 1注意观祭:N 12 n 120注意观察:N 20 n 10注意观祭:N 21 n 11K注意观祭:N 2 n 130注意观察:N 30 n 10注意观祭:N 31 n 10注意观察:N 3 2 n 1N>30注意观祭:N n 10注意观祭:N n 10注意观祭:N n 1此表表明：系统的型N （其中N为开环传递函数Go s的积分因子数）越高，稳态误差越小。记忆此表的方法（请参考）：对于输入函数满足rt ”拉氏变换Rs +时,令k 1 n,由表易知：e1K（Nn -1)（Nn -1)0（Nn

24、 -1)以本题为例开环传递函数Go（s）机1041s(1 -S)4，系统为N 1型，比例因子K 1042.5比例因子K怎么求：先把分子和分 母中含有形如（ms k）的式子都化为（ms 1）的形式,k拉氏变换10(1)、r t10tR s2 ,s1010eet4；K2.52拉氏变换466、r t46t3tR s23 ,sss6ee1etett0K(3)、r t46t3t21.8t3拉氏变换Rs462ss6ee1etettQtt0最后化得的开环传递函 数G0 s中的系数即为K.6s10.84sT4-12某具有扰动输入的反馈控制系统如图T4-12所示，如果其参考输入量和扰动量都是单位阶跃信号,r(t

25、)d(t) 1(t)R(s)图T4-12具有扰动的单位反馈系统试求其频域响应 Y s、频域误差E s以及时域的稳态误差 e解：利用Mason公式知:K11s 1 s 3 R ss 3D sK1K11 -1s 1 s 3s 1 s3d (t) 1(t),R s D s 2sK s 1s(s1)(s 3)KsY sr(t)1K s 1E s R s Y ss s(s 1)(s 3) Kslim sE ss 0题后小记s 1 s31 K -1Rs为便于理解：Y sK 1s 1 s 3 Y s Yr s特此作出以下推导: 其中：Yd1 D s 1上丄 s 1 s 3s ；.(叠加原理)Yr sYd s

26、K1s 1 s 3 1上丄s 1 s 31尸D s ；(Yd s表示的是D s单独作用下，输出对输 入的响应)1上 Ls 1 s 3s ;.(Yr s表示的是Rs单独作用下，输出对输 入的响应)T4-13某具有扰动输入的反馈系统如图T4-13所示，设R(s) D(s)1 / s。系统中各环节传递函数为G（s）K0.05s 1要求：(1)求出系统的稳态误差及调差率;(2)在扰动点左侧的前馈通路中串入积分因子(3)在扰动点右侧的前馈通路中串入积分因子G2（s）G3（s）2.51/s后，求系统的稳态误差及调差率;1/s后，求系统的稳态误差及调差率;(4)在上列(2)的情况下，拟对扰动加装比例型补偿环

27、节，以使调差率0.04，试画出补偿方框图。解：依题意，Y sYr sYd sG1 s G2sR sG2 s-D s1G1s G2 sG3 s1G1 s G2 s G3 s由图知：E sRsG3 sY s1RsG2 s G3 sD s1G1s G2 s G3s1G1 s G2 s G3s2.511s 5112.5Ks 12.5Ks(0.05s 1)(s5)(0.05s 1)(s5)(0.05s 1)(s 2.5)s(0.05s 1)(s 5)2.5Ks(1)、elim sE ss 02.55 2.5KsYrsYD sG2 slim Dlim 空一s 0 sYR s s 0 Gi s G2 sli

28、ms 01Gi slims 0(0.05s 1)图T4-13具有扰动的反馈系统(2) 、由图 T4 13(2)知:2s (0.05s1)(s 5)2.5Kslim sE s0；s 0Yd,sYd slimG2 slimy rs 0 sYr ss 01G1 s G2 ssE ses(0.05s 1 )(s 2.5)slimG1 slims 010.s (0.05s 1)s图T4-13(3)、由图 T4 13(3)知:2(0.05s 1)( s 5s 2.5)s2( 0.05s 1)( s 5) 2.5Kselim sE ss 01 .KsyDsYd s lim DyRs 0 sYr sE s-G

29、2 s lim ss 0-G- sG2 ss11limlim s 0 G1 s s 0 K(0.05s 1)图 T4-13 (3)(4)、由图 T4 13(4 )知:yDsyRlim sYd s s 0 sYr sK0.04.limss 0G1 s G2 s s1K G1 s G2 s G2 sslim-G1 s-G1 s s图 T4-13 (4)T5-1已知系统的闭环传递函数为G(s)1011 sK 0.04；当下列正弦信号作用于系统时，求系统的稳态响应:(1) r(t) sin(t 30 );(2)r(t)2cos(2t 45(3)r(t)sin(t 30 )；2cos(2t45 )。解：

30、依题意，频率特性:1011 j(1)、G j10111 j11- j12.20.9055.2将输入信号r t用正弦相量形式表示:(t 3090 )则系统稳态响应：y j用正弦函数形式表示：y0.905 (t 24.890 )t0.905si n(t24.8 )./ 、1011-j2(2) 、G j 2 0.89410.311 j2 12.5 将输入信号r t用正弦相量形式表示：R j 2 2 (2t 45 )则系统稳态响应： y j 2 G j 2 R j 21.788 (2t 55.3 )用正弦函数形式表示：y t 1.788 cos(2t 55.3 ).(3) 、利用叠加原理以及(1)、(

31、2)知：y t0.905sin(t 24.8 ) 1.788cos(2t 55.3 ).T5-4(3)画出下列传递函数的频率特性Nyquist图:3)G(s)遵兀解：依题意：积分因子数N=2，极点数(n)零点数(m)=4 1=3G°(j )250(1 j )(j )2(j 5)(j 15)分母有理化250 (75 19 2)2222(252)(2252)250 ( 2 55)(252 )(2252)三点成形:(1)、当0时，G0j0 K250J0N 75 J02、当时,G0b。 j-125003 .n m.3;令a。JJ0,即 2 550,27.4rad /s(3、与头轴父点:lmG

32、° J,55考虑正频率(0)特性：ReG0 J7.4250.2(75 192、7.4 ) 20.23.7.4(25 7.4 )(225 7.4 )知识点补充：(1) 、当0时，Go jO(2) 、当 时，Go j绘出该传递函数的正频率特性K(N 0)N $ (N 0)，其中K为比例因子;boao(n m)，其中b0、a0分别为j m、j n的系数.(n m)T5-7某系统的开环幅频渐近特性如图T5-7所示，已知开环传递函数中的零点、极点均位于左半复平面上,试写出其开环传传递函数。解：依题意，由图知：G0 s5谷易看出：10.5,10从点1?40到点5,0，纵轴的分贝幅值正好 降低40

33、dB,横轴刚好增加10倍频程1点1,40的幅值由比例因子K和积分因子丄二者共同作用,s即:40 20lgK-20lg 1,解得：K 100 150；占八、2,-12的幅值由比例因子K、积分因子1和一阶滞后因子s-三者共同作用,s即：1220lg K - 20lg 2-20lg，解得：2 9.981综上知：一50Go s1 1 s 1s 1s0.59.98(1)、(3、LmG、LmG题后小结:比例因子K 1的对数幅频特性：LmK 20lgK积分因子1的对数幅频特性：LmsLmdB ;20lg dB ；一阶滞后因子20lg二阶滞后因子40lgT5-8某系统的开环幅频渐近特性如图的开环2传传递函数。

34、冷的对数幅频渐近持性:1T1T12T2 j 21T 丄TdB ；厂的对数幅频渐近特性:dB.T5-8所示，已知开环零点、极点均位于左半复平面上，试确定系统图T5-8幅频渐近特性G解：依题意，由图知:Go ss 10.0016点0.0016,52的幅值由比例因子K和积分因子即：52G020lg K -20lg 0.0016,解得：K 102'610.64 1s0.021-1-1s 1s 1 s 1 s0.0016 0.2 0.881K 1s0.021 1 1 s 1 s 1 s0.2 0.881二者共同作用，s0.0016 0.64；0.641 50ss 1 625s 1 5s 1 1.

35、14sT6-1试判断图T6-1(a)、(b)所示两个系统的 BIBO稳定性。(a)U(s)(b)图T6-1反馈系统方框图解:(a)、u1s2 s 2T6-9令s2(b)、Y s0得系统传递函数 丄旦的特征根:U sRe 1,20,系统BIBO稳定；1s s 1s s 11s2 s 31,2-1 j.72令s2 -s0得系统传递函数丫色的特征根:U sRe 1,20,系统BIBO不稳定.1,2应用Routh判据确定下列特征方程的根中带正实部的根数、带零实部的根数及带负实部的根数:(1)4 s5s32s100 ；(3)2s54 s6s33s2s10 ；(5)5 s4 s2s32s28s80。解：（

36、1） s4 5s3 2s 100列出Routh阵列表如下：123414 s1010023 s520032 s-0.4100041 s12700050 s10000第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为 0个；带负实部的根数为2个。（注意：s的最高次方为总根数，再根据Routh阵列，看第一列有几次变号，即含几个带正实部的根，阵列表里面的数是怎么来的，请参考课本第135136页，要求熟练掌握。）5432（3）2s5s46s33s2s 10列出Routh阵列表如下：彳,、列12341 s526102 s413103 s30-1003 s30且0-1004 s23 1

37、1005 s12 310003 16 s01000第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为 0个；带负实部的根数为3个。(5)s5 s4 2s3 2s2 8s 8 0列出Routh阵列表如下：第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为 0个；带负实部的根数为3个。T6-12有一系统的特征方程为s3 (1)s2 (1)s (1) 0试讨论使系统稳定时，的取值围。解：列出 Routh阵列表如下：1 0即1 0且0,解得： 0,1.11 0T6-13给定下列闭环系统的开环传递函数，试应用Nyquist判据判断这些闭环系统的稳定性:(1)G

38、o(s)2s 12(s 1)(2) Go(s)(1s)(12s)(1 3s)2s 1解：(1)、 Go(s)， Go(s)在不含虚轴的右半s平面上不含极点，即F02(s 1)G0( j ) 上1丄二亠,积分因子数为0,极点数 零点数 1 1 0.2( j 1)2121当0时，G°(j0)；当 时，G°(j ) 1.2画出G0(j )的Nyquist图，如图(a)所示：0.25Im1-10 0.51Z1Re由图a知，Go j0,N Po的Nyquist曲线不包围点-1, j0，即N 0.闭环系统是稳定的。、Go(s)10(1 s)(1 2s)(1 3s)，Go(s)在不含虚轴

39、的右半s平面上不含极点'即1010 1 11 2 j 6 3 6(1 j )(1 2j )(1 3j )12 1 4 2 1 9 2积分因子数为0,极点数零点数 3 0 3.Go(j )3当 0时，Go(jo) 10;当 时，Go(j ) 02 .)0得1rad/s,考虑正频率特性，此时:ReGo(j1)1；1)0得rad/s 0.3rad/s,考虑正频率特性，此时:ImG0(j0.3)v'11)的Nyquist图，如图(b)所示：令Im Go( j令 ReGo(j画出Go (jGo j的Nyquist曲线通过点-1, j o ,6.1.由图b知，闭环系统临界稳定，即不稳定。T

40、6-14已知系统的开环 Nyquist图如图T6-14所示。图中P右代表系统开环传递函数在右半s平面上的极点数，试判断它们的稳定性。Im、0,1JmRe |I Re 0vJc P右0d P右 0题号P右NNP右系统稳定性(a)2-20稳定(b)022不稳定(c)000稳定（d）022不稳定（e）022不稳定（f）112不稳定题后小结：1、在Nyquist曲线中，正频率曲线与负频率曲线关于实轴对称；2、 当0时的曲线与坐标轴交于 无穷远处时，应从Nyquist曲线的0处沿顺时针环绕n到 0处，其中n为开环传递函数的积分因子数，在坐标图上怎么看出n的值：应从正实轴开始，顺时针走过 角到 0处，n式

41、中的“”负号是因为规定沿顺 时针走过的角度为负；23、 Nyquist曲线包围点 1, j0的次数N怎么算？笔者提供两种方法 在Nyquist曲线画正确的前提下，请参考：法一：注意顺时针包围 为N正，逆时针包围N为负；我们从处开始，沿行进方向，从上一次穿过实轴到下一次穿过实轴计数一次（此时Nyquist曲线只走过了 180，所以每次只能计1圈，其正负根据顺时针包围 还是逆时针包围去判断）； 走完一个周期0就停止；法二：如果不喜欢数圈，那就“穿越”吧，这样快。我们定义Nyquist曲线在点1，j0以左穿过负实轴时，称为“穿越”，穿越又有正穿越和负穿 越之分（二者的区别请 见图A-B）。 其中：N 负穿越次数 正穿越次数同学们可以用穿越的方 法去计算一下本题中图a 图b的N.图A B请同学们把第七章的例题7-2、7-3、7-4看懂。例7-2.解：依题意，原系统的开环传递函数:G°(s)20(15s)(10.5s)(10.