离散型随机变量及其分布PPT课件

1、1 定义定义 设设X是一个离散型随机变量，它是一个离散型随机变量，它可能取值为可能取值为 并且取各个值并且取各个值的对应概率为的对应概率为 即即 ,21kxxx,21kppp), 2 , 1()(kpxXPkk则称上式为离散型随机变量则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又的概率分布，又称分布律。称分布律。分布律也可以通过列表表示：分布律也可以通过列表表示： 其中第一行表示随机变量所有可能的取其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。值，第二行表示这些取值所对应的概率。 X kxxx21P kppp21第1页/共29页20kp且且11kkp则该数列可以定义为某离散型

2、随机变量的分则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布律。布律。分布律的性质分布律的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp规范性反过来，假如有一列数反过来，假如有一列数 满足满足 kp第2页/共29页3 例例1 1 如右图所示，从中任取如右图所示，从中任取3 3个个球。取到的白球数球。取到的白球数X是一个随机变是一个随机变量。量。X可能取的值是可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为取每个值的概率为106) 1(351223CCCXP101) 0(3533CCXP103)2(352213CCCXP0.1 0.6 0.3210Xkp其分布律为其分布律为第3页/共29页4 例例2 2

3、 某射手连续向一目标射击，直到命中某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是为止，已知他每发命中的概率是p p，求所需射，求所需射击发数击发数X的概率函数分布列的概率函数分布列.解解: : 显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2,1,2, ， 于是于是ppAAPXP)1 ()() 2(21pAPXP)() 1(1设设 = 第第 发命中发命中， ，k, 2 , 1kkAppAAAPXP2321)1 ()() 3(第4页/共29页5, 2 , 1,)1 ()(1kppkXPk类似地，有类似地，有这就是求所需射击发数这就是求所需射击发数X的分布列的分布列. 对于离散型随机变

4、量，如果知道了它的对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数概率函数, ,也就知道了该随机变量取值的概率也就知道了该随机变量取值的概率规律规律. .下一节，我们将介绍连续型随机变量。下一节，我们将介绍连续型随机变量。称称 服从参数为服从参数为 的几何分布。的几何分布。pX第5页/共29页6例例3 3 进行独立重复试验，每次成功的概率为进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令令X表示直到出现第表示直到出现第m次成功为止所进行的试次成功为止所进行的试验次数，求验次数，求X的分布律。的分布律。 解解: :m=1时时, ,.2 , 1,)1 (1kppkXPkm11时时, ,X的全部取值为的全部取值为

5、: :m, ,m+1,+1,m+2,+2,mpmXPP X= =m+1=+1=P 第第m+1+1次试验时成功并次试验时成功并且在前且在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1-1次次 pppCmmm)1 (11,.2, 1,)1 (111mmmkpppCkXPmkmmk第6页/共29页7(1) 0 1 分布分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 11 , 0,)1 ()(1kppkXPkk注 其分布律可写成 常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布 凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.第7

6、页/共29页8(2) 二项分布二项分布n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1 ()()(则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作),(pnBX01 分布是 n = 1 的二项分布第8页/共29页9二项分布的取值情况二项分布的取值情况设), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273由图表可见

7、 , 当 时，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此时的 称为最可能成功次数kxP012345678第9页/共29页1024680.050.10.150.20.25第10页/共29页11设)2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见 , 当 时，4k分布取得最大值22. 0)4(20P0.22 第11页/共29页1251015200.050.10.150.2第12页/共29页13二项分布中最可能

8、出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导可取的一切值若XjjXPkXP),()(则称 为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk, 1 , 0,)1 ()(记1) 1()1 (1knpkpppkk1)() 1)(1 (1knpkpppkkpnkpn) 1(1) 1(第13页/共29页14 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n +

9、 1) p 处的概率取得最大值第14页/共29页15例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001,解 (1) k = ( n + 1)p 49955550005000)999. 0()001. 0()5(CP1756. 0= ( 5000+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率.第15页/共29页16 (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001)(1) 1(1) 1(0)P XP XP X 00500050001(0.001) (0.999)C .9934. 0 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率

10、事件.第16页/共29页17?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查试试验验否否为为一一级级品品看看成成是

11、是一一次次把把检检查查一一只只元元件件看看它它是是例例5第17页/共29页18解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),.,(2020BX则则因此所求概率为因此所求概率为.,).().(201080202020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP第18页/共29页19图示概率分布第19页/共29页20).(,!,PXX.kkekXPk

12、记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取0210210 (3) Poisson 分布分布第20页/共29页21例例6 6 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分布布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e-2-2. .求求任选一对夫妇任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。解解: :由题意由题意, ,23 101),(eXPXPXPpX且21013XP

13、XPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee232eee第21页/共29页22在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数；第22页/共29页23 都可以看作是源源不断出现的随机都可以看作是源源不断出现的随机质点流质点流 , 若它们满足一定的条件若它们满足一定的条件, 则称为则称为 Poisson 流流, 在在 长为长为 t 的时间内出现的质的时间内出现的质点数点数 Xt P ( t ) 可见泊松分布的应用是相当可

14、见泊松分布的应用是相当广泛的，广泛的，而且由下面定理可以看到二项分布与泊松而且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有着密切的联系。分布有着密切的联系。 泊松定理泊松定理 在二项分布在二项分布 中，如果中，如果),(npnB0(limnnp是常数），则成立是常数），则成立)., 1 , 0(!)1 (limkekppCkknnknknn第23页/共29页24 例例7 7 某种药品的过敏反应率为某种药品的过敏反应率为 ，今有今有2000020000人使用此药品，求人使用此药品，求2000020000人中发生过人中发生过敏反应的人数不超过敏反应的人数不超过3 3的概率。的概率。0001. 0 解解

15、以以 表示表示2000020000人中发生过敏反应的人人中发生过敏反应的人数，则数，则 服从二项分布服从二项分布 ，所，所求的概率为：求的概率为：)0001. 0 ,20000(BXX85713. 018064. 027068. 027067. 01352. 0)3 ,0001. 0 ,20000()2 ,0001. 0 ,20000() 1 ,0001. 0 ,20000()0 ,0001. 0 ,20000()3()2() 1()0()3(PPPPXPXPXPXPXP第24页/共29页25如果利用近似公式如果利用近似公式)(!)1(npekppCkknkkn计算，可以得到：计算，可以得到： ，且，且20001. 020000) 3()2() 1()0() 3(XPXPXPXPXP23222120! 32! 22! 12! 02eeee85712. 013534. 03193192e比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。第25页/共29页26例8 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X , 设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的. 已知X P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p. 求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.第26页/共29页27解： 昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知, 2