一次二阶矩法

1、ch4一次二阶矩法一次二阶矩法 n引言引言n一次二阶矩法是求解非时变荷载作用下结构可靠度问题的行之有效的近似方法。它既有较高的精度，又有较高的计算效率 。n一次二阶矩法是在基本变量xi(i= 1，2n)，的概率分布尚不清楚中时，采用只有均值均值(又称为一阶原点矩)和标准差标准差(又称为二阶中心矩)的数学模型去求解结构可靠度的方法 。Ch4 一次二阶矩法一次二阶矩法n4.1 一次二阶矩中心点法一次二阶矩中心点法n4.2 一次二阶矩验算点法n4.3 JC法4.1一次二阶矩中心点法一次二阶矩中心点法 n4.1.1.简单问题可靠指标的求法n4.1.2.中心点法基本原理 n4.1.3.中心点法举例 n4

2、.1.4. 对中心点法的评述在介绍中心点法之前，先回顾功能函数为线性函数线性函数，随机变量为正态分布正态分布情况下的可靠指标问题。I I随机变量为正态分布，且功能函数为线性函数随机变量为正态分布，且功能函数为线性函数n假定抗力R和荷载效应S均服从正态分布，对于功能函数Z=R-S，,由于Z是R、S的线性函数，根据正态随机变量的特性，Z也服从正态分布，其平均值及标准差分别为:SRz22SRZ则定义可靠指标：22SRSRZZ为什么可以定义来衡量结构的可靠程度？4.1.1简单问题可靠指标（或失效概率）的求法简单问题可靠指标（或失效概率）的求法正态分布功能函数正态分布功能函数Z，其失效概率与可靠指标之，

3、其失效概率与可靠指标之间的精确关系间的精确关系02)(021)(22dzedzzfPZzzZf)()(212ZZtfdtePZZ这种情况下可靠指标是唯一的，且与失效概率之间有精确的对应关系。tzzztzzz令ZZZZII随机变量为对数正态分布，功能函数为线性函数随机变量为对数正态分布，功能函数为线性函数n对数正态分布的定义:若lnR、lnS 服从正态分布，则称R、S服从对数正态分布。n假定抗力R和荷载效应S均服从对数正态分布，且结构功能函数可表示为Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服从正态分布,Z也服从正态分布，是lnR、lnS的线性函数，根据正态随机变量的特性，其平均值及标准差也可以精

4、确得到：SRzlnln2ln2lnSRZ)1)(1ln()11ln(22222ln2lnlnlnSRRSSRSRSRZZ可靠指标为：)1ln(2lnxxx)1ln(22lnxx根据x的统计参数，求 lnx的统计参数结论：随机变量为正态分布（或对数正态分布），且功能函数为线性函数的条件下，结构的可靠指标或失效概率可根据随机变量的统计参数方便的求出。随机变量为正态分布，由其形成的线性函数线性函数也服从正态分布。4.1.2中心点法引言n假定随机变量x1、x2xn服从任意分布，功能函数 不是线性函数，这时, 精确求解Z的平均值和标准差是非常困难的，即便能够求得，Z也不服从正态分布，也不能用上面方法来计

5、算结构的可靠指标。n 若将非线性功能函数作为泰勒级数展开，并取其一次展开式（前两项）。但一次展开式已不是原来的功能函数，所计算可靠指标与结构失效概率之间不再存在精确的对应关系。n在这种情况下如何选择展开点，展开点，从而使近似计算结果与精确失效概率的误差最小,成为一次二阶矩法要研究的问题。),(2, 1nxxxgZ 4.1.2中心点法 基本原理n设结构的极限状态方程为 n将极限状态函数在中心点M= ( ) 处展开为泰勒级数，并作线性化处理，得n根据概率论中随机变量参数估计 ，Z*的统计参数为: n结构的可靠指标 ),(21nxxxgZ inixixxxxgxgZZin 1*)(),(21),(2

6、1*nxxxZg 22*),(21inxixxxZxg 2*),(),(2121innxixxxxxxZZZZxgg jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21在中心点处展开为泰勒级数：321,xxx 4.1.3中心点法举例n钢梁承受确定性弯矩 ,截面塑性抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知统计参数为：nW：nf：n试用中心点法计算该钢梁抗弯的可靠指标 36109 .884mW05. 0WMPaf2621 . 0fmkNM.8 .1284.1.3中心点法举例n解法1n取功能函数 n极限状态方程为 22*),(21inxxxxiZgx 128

7、800fWMfWZ0128800 fWZ).(8 .103043128800mNWfZ9 .25920)(22222222WfWffWWfz975. 39 .259208 .103043Zz2222222221221WffwWifxxxxxZWZfZxgxgiii),(21*nxxxZg 4.1.3中心点法举例n解法2n取功能函数 n极限状态方程为 22*),(21inxxxxiZgx WMfZ0WMfZMPaMWfZ45.116MPaMMwWffwWfz19.27)()(2222222283. 419.2745.116Zz),(21*nxxxZg 22222222212)(121WWfWif

8、xxxxxZMWZfZxgxgiii4.1.4对中心点法的评述n与随机变量为正态分布、功能函数为线性函数的情与随机变量为正态分布、功能函数为线性函数的情况下求可靠指标，形式一样况下求可靠指标，形式一样( )，却有本质的区，却有本质的区别：别：n（1）中心点法不论R、S的概率分布如何，直接用其平均值、标准差求可靠指标。事实上，平均值、标准差相同的随机变量有无穷多个，每一种情况的可靠度都是不同的，而这里是同一个结果。n（2）前者的可靠指标是唯一的，并与失效概率有精确的对应关系，而中心点法可靠指标与建立的功能函数表达式的形式有关。Zz4.1.3对中心点法的评述n中心点法的主要弱点中心点法的主要弱点n

9、没有考虑基本变量的概率分布 n均值、方差及可靠指标的计算式是误差传递公式n同一个结构往往可以列出几种等价的极限状态方程，不同的极限状态函数在运用中心点法计算时，其结果可能不一致。n将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于平均值不在极限状态曲面上，展开后的线线性极限状态面性极限状态面可能会较大程度地偏离原来的极限状极限状态曲面态曲面。 n基本变量不服从正态分布和对数正态分布时，计算出的结构可靠指标与结构的实际情况出入较大。中心点法的线性示意图中心点法的线性示意图该法选用的线性化点（即平均值点）不在失效边界上4.2验算点法验算点法(改进的一次二阶矩法）改进的一次二阶矩法）n4.2.1验

10、算点法基本思想n运用泰勒级数进行线性化处理时,略去高阶项的误差随线性化点到失效边界的距离增加而增大（中心点法运用泰勒级数在中心点处展开进行线性化处理）。n选择在失效边界Z0的某点处将极限状态函数展开为泰勒级数，以避免这种形式的误差。验算点法验算点法 jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21inixixxxxgxgZZin 1*)(),(214.2.1验算点法基本思想n关于设计验算点关于设计验算点n设点P(x1，x2，xn)为极限状态方程Z=0所对应的曲面上的点，d(P，M)为点P到中心点M( ) 的距离，则能使mind(P，M)的点P*称为

11、设计验算点，简称为验算点。n记为P*(x*1，x*2，x*n)，显然验算点的坐标满足 nxxx 21,0*)*,*,(21 nxxxgZ验算点法示意M验算点法4.2.2设计验算点法求可靠指标n理论推导理论推导确定验算点位置确定验算点位置进而求可靠指标求可靠指标n当线性化点选在设计验算点当线性化点选在设计验算点xi*(i=1,2,n)上时上时 nZ的均值为（求的均值为（求Z的数学期望得）的数学期望得）n由于设计验算点在失效边界上，故有由于设计验算点在失效边界上，故有 n则有则有)5()(),(*1*2*1xiniiinxgxxxxxgZ )6()(),(*1*2*1xiniixnZxgxxxxg

12、i )7(0),(*2*1 nxxxg)8()(*1*xiniixZxgxi jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21n假设各随机变量独立，则可求解假设各随机变量独立，则可求解Z的方差：的方差： n引入分离函数式，将上面的根式线性化，得引入分离函数式，将上面的根式线性化，得n 表示第个随机变量对整个标准差的相对影表示第个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数。响，因此称为灵敏系数。 4.2.2设计验算点法求可靠指标)9()(12*2nixixZxginixixiZxgi1*)10(i)11()(12*nixixxixixgxgii

13、nixixZxgi12)(*)5()(),(*1*2*1xiniiinxgxxxxxgZ 4.2.2设计验算点法求可靠指标n根据可靠指标的定义，有根据可靠指标的定义，有n由于由于 ， 必有必有 n（对于所有i） )12()(1*1*nixixinixixiZZxgxxgii0)(1*nixiixxiiixxg0*xixg0*iixiixx将将 乘到分母上乘到分母上整理后得整理后得)8()(*1*xiniixZxgxinixixiZxgi1*)10()14(0),(*2*1 nxxxg)13(*iixixix或表达为：4.2.2设计验算点法求可靠指标设计验算点法求可靠指标n式（13）代表n个方程

14、，再加上（14）共有n+1个方程，未知数有 和 ，也是n+1个。可联立求解。n解出设计验算点P*（ ， ， ）及相应的n常用迭代法求解*1x*2x*nx*ix0*iixiixx)13(*iixixix或表达为：)14(0),(*2*1 nxxxg4.2.2设计验算点法求可靠指标n计算步骤n（1）选取设计验算点坐标的初值，一般取 n（2）由式（11） 计算 的值，其中包括 n（3）由式（13）得到 和 的关系 n（4）由式（14）解出 值 n（5）将该值代入式（13），求出 新值 n以该 新重复进行（2）-（5）计算，直到 值与上次相等或误差不超过允许值，此时 即为所求的可靠指标， 即为所确定的

15、设计验算点坐标。*ixixi*xixg*ix*ix*ix*ix)(fP0*iixiixx4.2.3验算点法举例n设极限状态功能函数为313221321),(xxxxxxxxxgZ1x2x3x均为随机变量，并具有如下统计信息：1,1011xx1, 522xx5 . 0, 233xx试用验算点法计算结构的可靠指标1.取均值作为验算点初值2, 5,10321*3*2*1xxxxxx*3*2321xxxxxg*3*1312xxxxxgi2.计算*1*2123xxxxxg2*1*22*3*12*3*2*3*21)()()()(3211xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*3*12)()

16、()()(3212xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*1*23)()()()(3213xxxxxxxxxxxx)11()(12*nixixxixixgxgii0.26390.7037-0.6597313221321),(xxxxxxxxxgZ2639. 010111*1xxx)13(*iixixix*ix3. 与 的关系7037. 05222*2xxx3298. 02333*3xxx)14(0),(*2*1 nxxxg313221321),(xxxxxxxxxgZ0*3*1*3*2*2*1xxxxxx0)32987. 02)(2639. 010()32987. 02)(70

17、37. 05()7037. 05)(2639. 010(9236. 1从而有新的*ix4924. 9*1x6464. 3*2x6344. 2*3x4.由（14）求 及新的*ix4.2.3验算点法举例n5.以新 进行第二次迭代，重复4直到 值与上次相等或误差不超过允许值，此时即为所求的可靠指标 ， 即为所确定的设计验算点坐标*ix*ix本例第三次迭代求得8975. 18105. 9*1x6244. 3*2x6466. 2*3x8975. 18120. 9*1x6226. 3*2x6458. 2*3x第四次迭代求得即为最终结果设计验算点法求可靠指标评述n验算点法对极限状态方程中服从正态分布的随机变

18、量计算结果尚可，而非正态分布误差较大。JC法求可靠指标n问题的提出：验算点法对极限状态方程中服从正态分布的随机变量计算结果尚可，而非正态分布误差较大。n在工程结构可靠度分析中，永久荷载一般服从正态分布，风压、雪压、楼面活载服从其它类型（如极值型等），截面抗力R服从对数正态分布。因此在极限状态方程中，常包含非正态变量分布的基本变量，对于这种极限状态方程的可靠度分析，一般要把非正态变量进行当量正态化。nJC法的基本概念就是在应用前面所述方法(验算点法)时，将非正态的随机变量先行“当量正态化”。nJC法是由Rackwitz-Fiessler、Hasofer-Lind等人先后提出来的，因为国际安全度联

19、合委员会(JCSS)推荐采用这个方法而得名。 JC法求可靠指标计算计算步骤步骤n设结构的极限状态方程为Z=g(x1，x2，xn)=0，基本变量xi的统计参数均值为 标准差为 ，(i=1，n)，则JC法的具体实施步骤加下： n（l）假定基本随机变量的设计验算点P*的坐标值 （一般取为 ） n（2）对基本变量xi进行当量正态化处理，计算其当量正态分布yi的统计参数 ， ,并用来代替 和 并记为n ， ( 1，n)；n(3）计算 的值，其中包括 *ixixiyiyixixiiyxiiyxiixixi*xixgnixixxixixgxgii12*)(JC法求可靠指标计算计算步骤步骤n（4） 确定 和

20、的关系 n（5）求n（6）求出 新值 n（7）以该新 重复进行（2）（5）计算 ，直到 值与上次相等或误差不超过允许值，此时 即为所求的可靠指标， 即为所确定的设计验算点坐标。 *ix*ix*ixiixixix*0),(*2*1 nxxxgiixixix*ixJC法计算实例n某轴心受压短柱，承受永久荷载产生的压力SG，汽车、人群可变荷载产生的压力SQ，截面抗力为R。各变量的统计信息如下表，试用JC法求可靠指标及对应的失效概率。变量SGSQR分布类型正态极值I型对数正态平均值63（kN）84（kN）365.8kN）标准差5.8（kN）25.2kN）54.9（kN）JC法计算实例n1.建立极限状态

21、方程 Z=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0n2.假定初始的设计验算点,由已知条件得： x1*=R*=365.8；x2*=SG*=63；x3*=SQ*=84.0n3.将非正态变量SQ和R在均值处进行当量正态化处理n抗力R对数正态分布，则 6 .54)8 .3659 .54(1ln8 .3651ln(*22lnRRRVRR73.361)8 .3659 .54(18 .365ln8 .365ln1 8 .365)1lnln1 (22*/RRRVRRJC法计算实例n可变荷载SQ极值I型分布，则05089. 02 .252825. 12825. 16QiSx658.7205089. 05

22、7722. 00 .8457722. 0ixu84*QSQS5704. 0)658.720 .84(05089. 0expexp)(*QSF01630. 0)658.720 .84(05089. 0exp)658.720 .84(05089. 0exp05089. 0)(*QSf096.2401630. 03927. 001630. 0177. 0 01630. 05704. 0 ()(1*1/QQSSfSFQ)5704. 0(096.240 .84)(1*1*/QSQSSFSQQ735.79177. 024096. 00 .84JC法计算实例n4计算inixixxixixgxgii12*)(1*xRg1*xGSg1*xQSgZ=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0212*2*2*12*)()()()(xQSxGSxRnixixSgSgRgxgQGi962.5996.248 . 56 .54)()()(2122221222QGSSR9106. 0962.591RR0967. 0962.59) 1(GGSS4019. 0962.59) 1(QQSSJC法计算实例n