静力学2力系简化

1、1力系力系平面平面空间空间汇交力系汇交力系力偶系力偶系平行力系平行力系一般力系一般力系简化简化-用最简单的力系等效替换复杂力系。用最简单的力系等效替换复杂力系。力系的简化力系的简化2汇汇交力系交力系(concurrent force system) ： 所有力的作用线汇交于一点的力系。所有力的作用线汇交于一点的力系。一、汇交力系及其简化一、汇交力系及其简化基本基本力系的简化力系的简化31F2FnFA1F2FnFAF3F2F4F1 若汇交力系中，力的作用线在同一平面内，若汇交力系中，力的作用线在同一平面内，则称为则称为平面汇交力系平面汇交力系(concurrent coplanar force

2、system)。 若汇交力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为若汇交力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空间汇交力系空间汇交力系(concurrent noncoplanar force system) 。41、几何法（矢量法）几何法（矢量法）力力多多边边形形设设 为作用在为作用在A点的力系，求其合力点的力系，求其合力123,FFFR1212FFFR123FFFFA1F2F3FRFR12F1F2F3FRF1F2F3F合力为力多边形的封闭边，合力为力多边形的封闭边，作用于汇交点。作用于汇交点。RR123FFF汇交力系简化汇交力系简化52、 解析法解析法12,nFFF设设 为作用在为作用在A

3、点的汇交力系点的汇交力系R12niFFFFF则该力系的合力为则该力系的合力为R12,nFF FF(A为作用点为作用点)RF建立正交坐标系建立正交坐标系Oxyz，则合力：则合力：iiixyzFFFijkiFRRRxyzFFFijkxyzAF1F2FnRFizziyyixxFFFFFFRRR合力作用线经过汇交点合力作用线经过汇交点其中其中合力投影定理合力投影定理6 1F O 2F 3F P1 P2 P3 x z y RF 例例 汇交力系汇交力系 的作用点在边长为的作用点在边长为 2m 的正六面体相应的正六面体相应求合力。求合力。321FFF的顶点的顶点O上，三力的大小分别为上，三力的大小分别为NF

4、NFNF22,2,3321解：根据合力投影定理解：根据合力投影定理ixxFFRN1045cos02FiyyFFRN3izzFFR45cos45cos23FF1345cosFFN5合力：合力：kjiF53 R汇交力系合力矩定理汇交力系合力矩定理：则有：则有：)()(1iniOFMFMRO若作用在刚体上的汇交力系存在合力若作用在刚体上的汇交力系存在合力,21RnFFFFniiiRR1FrFrxyzo1F2FnFRFRr( )()()cossinAAxAyxyMFMFMFFbFaFbFa 例：求力例：求力F对对A轴的力矩。轴的力矩。812,nRM MMMRixiyizMMMnnni 1i 1i 1M

5、ijk力偶简化后仍为力偶力偶简化后仍为力偶力偶系：作用在刚体上的一群力偶力偶系：作用在刚体上的一群力偶力偶为自由矢量力偶为自由矢量移至同一点移至同一点O222()()()RixiyizMMMMcos(, )ixRRMMiMcos(, )izRRMMkMcos(, )iyRRMMjM二、力偶系的简化二、力偶系的简化9例例：工件如图所示，它工件如图所示，它的四个面上同时钻五个的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削孔，每个孔所受的切削力偶矩均为力偶矩均为80 Nm。求。求工件所受合力偶矩矢量工件所受合力偶矩矢量的大小和方向。的大小和方向。解解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到将作用

6、在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点点。合力偶在坐标轴上的投影分别为合力偶在坐标轴上的投影分别为RxM45cos45cos543MMMmN.1 .193RyM2MmN.80RzM45cos45cos541MMMmN.1 .193合力偶合力偶:kjiM1 .193801 .193R任意任意力系的简化力系的简化空间力系的简化空间力系的简化平面力系的简化平面力系的简化平行力系的简化平行力系的简化重心与形心重心与形心11力的平力的平移定理移定理 , ,ABBFFMFFFFFBABMrF()B MF一、力的平移定理一、力的平移定理BAr12o2F二、空间任意力系向一点简化二、空间任意力系向一点

7、简化1F1M2MnFnM,21nFFF, , , 21nFFF,21nMMM,RFOM主矢主矢n1iin1iiFFFR主矩主矩n1iiin1iiFrMMOF1F2FnA1A2AnoO O为简化点为简化点FR 一个作用在一个作用在O点上的力点上的力MO 一个作用在刚体上的力偶一个作用在刚体上的力偶（与简化点无关）（与简化点无关）（与简化点有关）（与简化点有关）oRFOM13,21nFFF,RFOMF1F2FnA1A2AnoO O为简化点为简化点oRFOM 主矢主矢的大小、方向均与简化中心的大小、方向均与简化中心O无关，无关， 称为称为力系的第一不变量力系的第一不变量。而主矩与简化中心有关。而主矩

8、与简化中心有关。主矢与主矩的点积主矢与主矩的点积与简化中心无关，称为与简化中心无关，称为力系的第二不变量力系的第二不变量。Or证明：证明： O为另外简化中心，简化结果为为另外简化中心，简化结果为,ORMFRORFrMF,则取不同简化中心时主矩的关系：则取不同简化中心时主矩的关系：ROOFrMM则：则：()RORORRFMFMFrF0ORORMFMF14三、空间任意力系简化结果分析三、空间任意力系简化结果分析0, 0ORMF0, 0ORMF0,0ORMF0,0ORMF15OORMFMFR,0,00ROFMRFOMRFRFRFRFRFMOdOMF ROMF RnOOOMFFMRRRMFd2RRFO

9、MF 16OORMFMFR,0,0OMRFRF2OM1OMRF1OMRF1OMwrenchRF1OMdRFRF2)(RFRROFFM )(RFROFM RFRFO1M0ROFM17OMRFRF2OM1OMRF1OMRF1OM2)(RFRROO1FFMMRF1OMdRFRFdR2FMOsinRROOMFMF2OM2RRFOMFd18力螺旋也是一种力螺旋也是一种最简单的力系最简单的力系。如果如果 与与 同向，称为同向，称为右螺旋右螺旋；如果如果 与与 反向，称为反向，称为左螺旋左螺旋。力力 的作用线称为力螺旋的的作用线称为力螺旋的中心轴中心轴。 力螺旋力螺旋力螺旋：力螺旋：力与某力偶矩矢构成的力系

10、，力与某力偶矩矢构成的力系， 若两者平行，则称为力螺旋。若两者平行，则称为力螺旋。RFOMRFOMRFRF1OM19200, 0ORMF0, 0ORMF0,0ORMF0,0ORMF,21ORMFFFFn21解：以解：以O O为简化中心为简化中心kFijFkiFjF300,100100100100,1004321kFFFFF2004321R)2(200)(41kiFrFMMiiiOiO主矩主矩:则力系主矢则力系主矢: :kF200RkM200OOM 向向O O点简化：点简化：例例 图示力系中图示力系中F1100N，F2F3100 N，F4300N,a2m，试求此力系最终简化结果。，试求此力系最终

11、简化结果。2krkjrjiiraaaaara4321,2201044ROMFkFMFMkFF200)(2002RRRRR FOO所以力系简化为作用在所以力系简化为作用在O的左力螺旋，的左力螺旋，kM200OkF200ROM O2m主矢、主矩不垂直，成钝角主矢、主矩不垂直，成钝角jMF22RRFOOO23平衡平衡niiOOnii11R)(FMMFFO1F2FnF=ORFoM主主 矢矢主主 矩矩最简形式最简形式合力合力合力偶合力偶0RF0OM且且0RF0OM且且0RF0OM且且0RF0OM且且RFRFORFMdORRFF d24确定图示力系的简化结果确定图示力系的简化结果1F3F2F平面椭圆平面椭

12、圆A25,n为力方向的单位向量。为力方向的单位向量。平行力系的最终简化结果：平行力系的最终简化结果：平衡、合力偶和合力情形平衡、合力偶和合力情形niiOO1)(FMM平行力系向一点简化时其平行力系向一点简化时其主矢和主矩总是互相垂直主矢和主矩总是互相垂直分布荷载：平行力系分布荷载：平行力系nii1RFFniii1FrnFiiFn)(1niiFnrniiiF1)(向向O点简化：点简化：主矢：主矢：主矩：主矩：每个力可表示为：每个力可表示为：五、五、 平行力系简化平行力系简化 重心重心 图中图中AB线段上作用垂直分布载荷线段上作用垂直分布载荷其合力大小其合力大小 BABAixxqFFd)(dR即等

13、于即等于ABba载荷图形的面积载荷图形的面积。即即ABba载荷图形载荷图形形心的形心的x坐标坐标。 设合力作用点设合力作用点x坐标为坐标为xC：结论：结论：沿直线垂直于该直线的同向线荷载，沿直线垂直于该直线的同向线荷载， 其其合力的大小合力的大小等于等于荷载图的面积荷载图的面积， 合力方向与原荷载相同，合力方向与原荷载相同，合力作用线合力作用线通过通过荷载图的形心荷载图的形心。求求合力大小合力大小及及作用线位置作用线位置。 BABACxxqxxxqxd)(d)(1、平面平行分布力的等效、平面平行分布力的等效27A例例 图示水埧取图示水埧取1m长，已知：砼埧重长，已知：砼埧重P1=594kN，土

14、埧重，土埧重P2=297kN，水，水深深h=8m，求：荷载向，求：荷载向A点简化时主矢、主矩值；在埧底主矩等于零为点简化时主矢、主矩值；在埧底主矩等于零为何处。何处。主矩：主矩：M0= Q2.67 P11.5 P24= 2917.38kNmq= yM01mP2P13m解：解：水比重水比重 ： =9.8kN/m3水合力水合力:hy/Qyy h02C32d 314kN21 hqdyQ2h0水作用点水作用点:ycyQQFRxFRx= Fix =314kN,2.67m31Q hyFRy= Fiy=P1 P2= 891kN,主矩等于零处主矩等于零处: xR=M0/ FRy=3.28mdyyyx0FRy2

15、82、空间平行分布力空间平行分布力若力系最终简化为作用在若力系最终简化为作用在C点的合力，点的合力，合力大小：合力大小：RiFF空间平行力系：空间平行力系：12,nF FF建立如图坐标系，对建立如图坐标系，对x和和y轴的矩：轴的矩：xCRiiMy Fy F yCRiiMx Fx FiiCRx FxFiiCRy FyF将力旋转将力旋转90o，对，对x轴的矩：轴的矩：求合力作用点求合力作用点xCRiiMz Fz F iiCRz FzF平行力系平行力系中心坐标中心坐标29重心：重心：物体重力形成的空间平行物体重力形成的空间平行 力系的中心。力系的中心。PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,

16、,重心坐标公式VvzzVvyyVvxxVCVCVCddd对连续、均匀物体重心的概念重心的概念30 均质等厚薄板或薄壳的重心公式均质等厚薄板或薄壳的重心公式 dACx AxAdACy AyAdACz AzA 均质等截面细杆（线）的重心公式均质等截面细杆（线）的重心公式 dlCx lxldlCy lyldlCz lzl31什么叫形心？什么叫形心？重心与形心重心与形心 重心与形心是两个不同的概念，重心与重力场有关，重心与形心是两个不同的概念，重心与重力场有关，而形心与重力场无关。对而形心与重力场无关。对均质物体均质物体而言，重心与形心而言，重心与形心重合。重合。 32常用的求物体重心的方法：常用的求物体重心的方法：积分法积分法查表法查表法对称法：对称法：4. 组合法组合法335. 悬挂法悬挂法（实验方法）（实验方法）两直线相交于点两直线相交于点C是重心是重心 34v组合形体的重心：分割法组合形体的重心：分割法 将复杂形状物体分割成几个将复杂形状物体分割成几个形状简单的物体形状简单的物体 ，用有限，用有限形式的重心坐标公式：形式的重心坐标公式： iiinnnCiiinnnCAyAAAAyAyAyAyAxAAAAxAxAxAx2122112