相变传热PPT课件

1、1一、引言 相变过程其实就是传热传质过程； 这类传热现象的基本特征 由边界（固液交界面）移动引起的非线性（nonlinearity）化，使得此类问题变得更复杂，并且每一个问题均有其独特性。 引起数学处理较为困难的其他因素： 在相变前、进行中和后，其物理性质依赖于温度，而温度分布是三维的和瞬时的变化。 有时，溶解和凝结时发生的复杂又令人困惑的现象，使得传统的分析方法无法解决。第1页/共80页2热传导方程静止的均匀物体内含有热源的各向同性物体的热传导方程直角坐标系pT r,tc(k T r,t )q r,tt pTTTTckkkqtxxxyxz第2页/共80页3柱坐标和球坐标2222222cos

2、,sin ,11pxryrzzTTTTTqtrrrrzcZr 222222sincos ,sinsin ,cos111sinsinsinpxryrzrrTTTTqtrrrrcr xzy第3页/共80页4边界条件和初始条件 第一类边界条件：边界上温度给定 第二类边界条件：边界边上温度的法向导数给定 第三类边界条件：边界边上温度和法向导数的线性组合给定iT=fr,tiSi=fr,tiTSniiik+h T=fr,tiiTSn第4页/共80页5解析解分离变量法 平板 22,0,000,00,00,0T x tT x txL ttxTxtxTkhTxLtxTF xtxL ,T x tX xt 2211

3、dtd X xtdtX xdx第5页/共80页6解析解分离变量法 此方程中，左边只是空间变量x的函数，右边只是时间变量t函数,要使等式成立，只有两边都等于同一个常数 22211dtd X xtdtX xdx 第6页/共80页7 时间变量方程 20dttdt 2tte第7页/共80页8 空间变量函数满足微分方程 22200d X xX xxLdx000dXxdxdXkhXxLdx第8页/共80页9 特征方程的根为一对共轭复数根 通解为 2212120,cossinkki kiXxcxcx 第9页/共80页10 温度的完全解可由上述分离方程的基本解按线性迭加原理构成，其形式为 21,mtmmmT

4、x tc Xx e第10页/共80页11 这个解既满足热传导问题的微分方程，又满足边界条件，但是它并不一定满足初始条件。因此，将初始条件应用于上式可得 未知系数可根根据下述特征函数的正交性来确定： 1,0mmmF xc XxxL 00,LmnmmnXx Xx dxNmn第11页/共80页12 我们用算子 对F(x)的两边进行运算，再根据正交性，可得 01,LmmmcXx F x dxN0,LnXx dx2011, mLtmmmmT x teXxXxF xdxN第12页/共80页13相变传热现象物理现象（连续介质）1.有单一相变温度和明确界面。2.相变有一个温度范围，存在两相区。相变传热模型温度

5、法以温度为唯一的因变量，分别在固相和液相区建立能量守恒方程。焓法焓和温度共同作为因变量，无需分区建立控制方程第13页/共80页14温度法控制方程界面耦合条件以下情况不考虑速度场：1. 忽略密度变化的影响，液相内只有导热；2. 密度不同，但液相一直处于相变温度。凝结过程固相VsdV液相VlYXsssssslllllllTc(kT )q(1-a)tTcvT(kT)q(1-b)t smlslsTTh vkk(2)nn第14页/共80页15 焓法对材料的密度和相变特性没作特殊假设。 积分形式的控制方程 把原来在两个活动区域及固液界面成立的方程组转换为在一个固定区域内成立的方程，无需跟踪界面。便于数值计

6、算。VssVdhdVhv dAk T dAqdV(4)dt sssmsllll(hh )/chh(5a)TT0hhh(5b)(hh )/chh(5c)2ssslllhkTrV(6)tkhh=k=khh 第15页/共80页16 界面移动规律 半无限大物体在某个时间t ，固体层厚度为x(t)，暴露的表面保持在温度Ts，Ts比相变温度低。在交界面处释放出来的热量必须由热传导经过固体导出，假定液相中没有温度梯度。 被释放出来的热量经过固体层导出 解出增长层的表达式 sLk(TT )dxQ(7)dtxsL2k(TT )xtt(8)QTs固体QxdxT液体热容可以忽略不计的凝固过程第16页/共80页17二

7、、诺曼（Neumann）解:半无限大物体相变问题斯蒂芬（Stefan）问题1.考虑一个分布在正x区域处于均匀温度Ti的液体， Ti高于其固态的熔解温度Tf。2.在t=0时，处于x=0的液态表面突然降到Tw（sldsv1(20)dt22222(24)expexp()1(25)( )sssllssllstSteerferfc 第24页/共80页252.定热流边界相变0( , )2ierfcierfc22erfc2ssmwssswsmsxswtsxT xTtTqktstqdskqsxdtht第25页/共80页263.接触相变界面温度恒定，溶解过程中溶解物被完全排除0000000000012( , )

8、1( )12( , )1( )2( , )()iimsiimslslllimissllxerftT x tTTTerfxerftT x tTTTerfxerfctT x tTTTerfc2222002expexp()11( )sssllssllstSteerferfc 00000()sslsslimmiswimkkkkTTTTc TTSteh 第26页/共80页27第27页/共80页284.存在相变区假定两相区固相成分与距离成线性关系相变热处理成内热源121(1)( )( )( )ssusvmffxs ts ts tdfqhdt22122( )( )slslmsslTThdfs txs ttx

9、cdt第28页/共80页29120( )( )22()2()()21 (1)()sswsiwssslwsslscsliwslssslwsiwlsxerftTTxs tTTerfxxerferfcttTTxTTterferfcxerfctTTTTerfc 12( )2( )2sss tts tt 第29页/共80页3022122(1)exp(/)exp()1( )2()()()exp(/)exp(/)2()11()()()sulscsslslsssslslclscsslssllsllsslslslsfSteerferferferferferfc 1()()mlwmswmsulsciwiwsliw

10、slslslslcsllssslsllliwmTTTTh fTTTTcTTkkkkkkc TTSteh 第30页/共80页315.多相变问题半无限大液体初始温度为T，t=0后表面瞬间冷却并保持较低温度Tw，此时液体发生凝固。假设介质有两个相变温度Tm1，Tm2，且TiTm1Tm2Tw，相变热分别为hm1，hm2。固液密度相同构造温度函数带入边界温度条件11223i3xT (x,t)Aerf4txT (x,t)BCerf4txT (x,t)TDerfc4t11wm1w1222m21/21/2m2m1211213i1/21/2m2i223xerf4tT (x,t)TTTerf()xerferf()

11、4tT (x,t)TTTerf()erf(/)xerfc4tT (x,t)TTTerfc(/) 第31页/共80页32 相界面的位置 利用相界面的能量守恒条件111222s (t)2ts (t)2t2211112111211222223222222112223Steexp()exp(/)1erf( )erf()erf(/)exp(/)Steexp()1erf()erf(/)erf(/) m1wm2m112mlm23211121222m2m1im212m1wm2m1T -TT -TSte,Stehhkk,kkT -TT-T,T -TT -T 第32页/共80页33三、分析方法移动热源法 （Mov

12、ing heat source method） 凝固（或熔解）过程中热量的释放（或吸收）可视为在固液交界面处有一移动的平面热源（或汇）。从这一认识出发，可以把瞬态的相变问题在形式上考虑为具有移动平面热源的瞬态热传导问题。 用这一方法求解瞬态相变问题最早的是Lightfoot。 N.M.H.Lightfoot, The Effect of Latent Heat on the Solidification of Steel Ingots（工业纯铁）, 3rd. Report of C.H.S.I., J. Iron and Steel Institute, vol.1, 364,1929.第33

13、页/共80页34移动热源法求解相变问题的基本步骤1.用一个等价的在固-液界面上具有移动平面热源（或汇）的瞬态热传导问题来代替相变问题，由此得到的热传导问题在形式上讲是对温度求解的。2.这样在算到固-液界面时，应要求界面的温度为熔解温度Tm。3.从这一要求出发，就会得到固-液界面位置的积分方程。通过求解该积分方程，即可求得固-液界面的位置。4.这个方法在如何把对相变问题的分析转化为对固-液界面位置积分方程求解方面是很简捷的。5.由此得到的积分方程也许不能用分析方法求解，但可以用近似的或数值的方法求解。第34页/共80页35例 半空间内的凝固问题（双区域问题） 一种占据x0半空间的液体具有均匀的温

14、度Ti,此值高于材料相变的熔解温度Tm。当时间t0时，边界面维持在低于Tm的温度T0（ T0 =0）。凝固从x=0的面开始，固相前锋沿x正方向移动。这一问题从根本上讲与诺曼问题是一样的。在以下分析中，为便于把相变问题转化为具有移动热源的瞬态热传导问题，我们假定液相和固相的热物性（密度）是相同的。第35页/共80页36解 本问题的数学描述对固相为 22010,026,00,026sssTTxs ttaxtTx tTxtb对液相为 221,027,027,0,027llliliTTs txtaxtT x tTxtbT x tTxtc ,028,028slmslTx tTx tTxs ttads t

15、TTLxs ttbxxkdt对固-液界面为第36页/共80页37上述相变问题等价于求解在x0区域内，x=s ( t )处具有移动平面热源的瞬态热传导问题： 22,110,029-aT x tds tT x tLxs txkdttxt tsx 0,00,029,029,0,029,29siimTx tTxtbT x tTxtcT x tTxtdT x tTxs te 并有附加条件式中 为狄拉克函数第37页/共80页38两个问题等价性的证明 显然，由于热源形式为狄拉克函数，在xs (t)处，热传导微分方程（29-a）简化为（27-a）。 22,110,029-aT x tds tT x tLxs

16、txkdttxt 222210,0261,027ssllTTxs ttaxtTTs txtaxt 第38页/共80页39两个问题等价性的证明 边界条件与初始条件（29-b）、（29-c）和（29-d）分别与相变问题中式（26-b）、（27-b）和（27-c）所示的条件相同。00,00,029,029,0,029,00,026,027,0,027siisliliTx tTxtbT x tTxtcT x tTxtdTx tTxtbT x tTxtbT x tTxtc 第39页/共80页40两个问题等价性的证明 式（29-e）所示的这一条件等价于界面条件（28-a）。 最终应证明由（29-a）可导得

17、界面阶跃条件（28-b）. ,29,028mslmT x tTxs teTx tT x tTxs tta 22,110,029a,028slT x tds tT x tLxs txkdttxtds tTTLxs ttbxxkdt 第40页/共80页41两个问题等价性的证明 为证明这一点，对方程（29-a）由 至对界面进行积分，并令 。 由于 在交界面上是连续函数，式（29-a）的右边可以消去。由此可得 此式与界面方程（28-b）是完全一样的。因此，求解式（29）所描述的瞬态热传导问题等价于求解上述相变问题。 tsx0tT tsx 22,110,029-a103030lsslT x tds tT

18、 x tLxs txtxkdttds tTTLxs taxxkdtds tTTLxs tbxxkdt 第41页/共80页42方程（29a-d）所描述的热传导问题的求解 将该问题分解成两个较为简单的问题，如 式中， 是如下问题的解：12,31T x tT x tTx ttxT,1211211,10,032,00,032,0,032iTx tTx txtaxtTx txtbTx tTtxc 第42页/共80页43 是如下问题的解： txT,2 222222,1t0,033,00,033,0,033iTx tds tTx tLxs txkdtxtaTx txtbTx tTtxc 第43页/共80页4

19、4 解 可表示为 用格林函数表示的解 为 式中 对 进行积分后， 为txT,11,erf342ixTx tTttxT,2200,35txTx tdG x t xg xdxak 22,351,expexp35442ds tg x tLxs tbdtxxxxG x t xctttxtxT,2 2221 21 201,expexp36442tpds txsxsLTx tdtttCt第44页/共80页45 将解式（34）与（36）代入式（31），且利用条件（29-e），可得 此式即为关于固-液界面位置 的积分方程。求解该积分方程，就可求得 。 ts ts 1212,31,29,37mmT x tT x

20、 tTx tT x tTxs teTTs ttTs tt第45页/共80页46 莱特富特在求解该积分方程时，假设 可表示为如下形式： 其中 仍是待定的。有了 值后，积分方程（37）可由误差函数来表示。在对变量进行某些变换之后，积分方程（37）简化成如下求 的超越方程： 此式重新整理后，可得 我们注意到，式（39-b）是诺曼问题中的一种特殊情形。所以，用移动热源法所获得的解为本问题的精确解。 ts 238s tt ts 2erferferfc39mipLTTeaC2239erferfcmimpmTTeeLbTC T第46页/共80页47 格林函数 格林函数表示在r处有一强度为一个单位的脉冲点热源

21、于时间时自行释放热量后区域R内温度的分布 狄拉克（Dirac） 函数(xb)0 xb(41 a)(x)dx1(41 b)F(x) (x-b)dxF(b)(41 c)f(x) (xb)f(b) (xb)(41 d)G(r,t r, )0(40a)G(r,t r, )G()(40b)影响脉冲第47页/共80页48移动热源法的应用1.K.A.Rathjen and L.M.Jiji, Heat conduction with melting or freezing in a corner, Trans. ASME, J. Heat Transfer, vol.16, pp101-109,1973.将

22、方法二维瞬态熔解或凝固的相变问题应用于表面具有均匀温度的直角。该解得到的移动界面类似于双曲线（ superhyperbola ）。2.H.Budhia and F.Kreith, Heat transfer with melting or freezing in a wedge, Int. J. Heat Mass Transfer, vol.16,pp.1950211,1973.在楔型容器中的相变，冷冻液相或熔解固相具有均匀温度，楔型表面温度保持一致， H.Budhia 和 F.Kreith得到固液界面的形状和固液相中的温度分布第48页/共80页493.Y.K.Chuang and J.Sz

23、ekely. On the use of Green Function for solving melting or solidification problems, Int. J. Heat Mass Transfer, vol.14, pp.1285-1294, 1971.4.Y.K.Chuang and J.Szekely. The use of Green Function for solving melting or solidification problems in the cylindrical coordinate system, Int. J. Heat Mass Tran

24、sfer, vol.15, pp.1171-1174, 1972.在圆柱坐标和直角坐标体系内，该方法应用在二元混合液中由于对流加热和分散熔解而造成的熔化烧蚀（ melting ablation ）。第49页/共80页505.A.M.Hassanein and G.L.Kulcinski, Simulation of rapid heating in fusion reactor first walls using the Greens Function approach, Trans. ASME, J. Heat Transfer, vol.106, pp.486-490, 1984.分析了一

25、种包括辐射影响的具有复杂边界条件的瞬态相变。值得注意的是虽然该方法简单而直接但他把相变问题的分析转换为固液界面位置的积分方程的求解。通常，积分方程只能近似或数值求解，除非问题类似于Lightfoot考虑的。第50页/共80页51四、Paterson法（圆柱坐标） 一条强度为Q的线热汇置于均匀温度的液体中，位置为r=0，温度Ti高于物质的熔解温度。从时间T=0开始，热汇不断吸收热量，凝固过程以r=0为原点开始，且固液界面向r正方向移动。 Paterson认为如果热传导方程解的形式取指数积分函数，则上述问题具有精确解。 指数积分函数uxtx1uxxeeEi( x)Ei(x)dudtx0(42a)u

26、uddeeEi( x)du(42b)dxdxux 第51页/共80页52 固相（圆柱坐标） 液相 固液界面sss(r, )(r, )11r0rS(t),t0(43)r rrTtTtt llllili(r, )(r, )11rS(t)r,t0(44-a)r rrT(r,t)Tr,t0(44-b)T(r,t)Tr0,t0(44-c)TtTtt slmslsl(r, )(r, )TrS(t),t0(45a)TTdS(t)kkLrS(t),t0(45b)rrdtTtTt第52页/共80页53 解的形式 对r求导 解满足微分方程和边界条件及初始条件。2sis2liilrT (r,t)ABE ()0rS(

27、t)(46a)4trT(r,t)TCE ()S(t)r(46b)4t 2s2lr4tsr4tlT (r,t)2Be(47a)rrT(r,t)2Ce(47b)rr 第53页/共80页54 求解系数A,B,C 线汇能量平衡 得到 解带入界面条件ssr0Tlim 2 rkQ(48)rsQB(49)4 k 22siiimslsQA+E ()TCE ()T(50-a)4 kS(t)(50b)2t 2misim2silQA=TE ()(51 a)4 kTTC(51 b)E () 2s2dS(t)(52)dtS 第54页/共80页55 解 超越方程22smiiss2imlii2slilQrT (r,t)=T

28、E ()E ()0rs(t)(53a)4 k4tT-TrT(r,t)=TE ()s(t)r(53b)4tE () 2s2llim2s2silkT-TQee=L(54)4E () 第55页/共80页56五、近似方法 热平衡积分法（Heat-balance integral method ） 积分法的基本概念 求解相变问题的积分法第56页/共80页57积分法的基本概念1.各种分析求解方法只能对几何形状简单的热传导问题进行求解。2.在这些问题中，微分方程与边界条件都是线性的。3.对于非线性的问题，只有极少数的特殊情况下才能精确求解。另外，分析解也不适用于几何形状复杂的情形。4.所以，当遇到分析求解太

29、难或无法求解，而数值求解又不合适的情况时，就可用近似分析解法。5.而且，与单纯数值解相比，分析解所提供的结果有利于更好地理解影响该问题各种参数的物理意义。6.正是由于这样的缘故，在求解热传导问题中，各种近似的分析方法得到了发展。如积分法，热传导问题的变分表达式及由此导得的瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法、伽略金法以及偏积分法。7.近似解准确与否是通过将其结果与精确解的结果作比较来评定的。 第57页/共80页58积分法在求解偏微分方程中的应用可追溯到冯卡门（Von Karman）与波尓豪森(Pohlhausen)，他们用近似分析方法求解了流体力学中的动量边界层方程与能量边界层方程。兰代

30、尔（Landahl）把它用于生物物理领域求解分离浓缩物的扩散方程。默克（Merk）用这种方法求解了二维稳定的熔化问题。古德曼（Goodman）用它求解一维瞬态的熔化问题。从此以后，这种方法就应用于求解各类一维瞬态热传导问题、熔化与凝固问题以及诸如海水中的冰在熔化过程中与聚合物在熔化及热压过程中的热量传输和动量传输问题。 第58页/共80页59对于一定边界条件下的一维瞬态热传导边值问题，无论是线性的或是非线性的，使用积分法都是很简捷的，而且十分方便。尽管用积分法所得的结果是近似的，但当把由此得到的很多近似结果与精确解的结果作比较时，即可发现，就工程应用观点来看其准确程度一般已达到令人满意的程度。

31、第59页/共80页60精确求解在特定边界条件及初始条件下某一区域中的热传导微分方程，由此得到的解对该区域内每一个点都应满足，而用积分的方法得到的解对该区域只是平均的得到满足。下面，我们应用积分法求解具有特定边界条件、均匀初始条件和无热源的半无限大物体中一维的瞬态热传导问题，概括的叙述一下用积分法分析问题的基本步骤。 第60页/共80页61用积分法分析问题的基本步骤1. 将热传导微分方程对称为热层的一表观厚度 进行积分，可把微分方程中有关空间变量的导数去掉。对热层厚度作如下定义：若从实际应用角度来看，超过某一厚度就不再存在热流，则将此厚度定义为热层。因此，超过 ，初始的温度分布就不再受影响。由此

32、得到的方程称为能量积分方程（也称热平衡积分）。( ) t( ) t第61页/共80页62用积分法分析问题的基本步骤2. 选某一合适的剖面作为热层内的温度分布。通常选某一多项式为剖面。经验已经表明：所选的多项式高于四次后，解的精度不再有明显的改进。多项式中的系数可根据实际的边界条件予以确定，并用热层厚度 来表示。( ) t第62页/共80页63用积分法分析问题的基本步骤3. 把所得到的温度剖面代入能量积分方程，在进行简要的运算之后，即可得到关于热层厚度 以时间为自变量的常微分方程。这个微分方程的解满足特定的初始条件即，此时， ,并给出 ，它是时间的函数。4. 从第3步得知 后，即可知道温度分 ，

33、它是时间与物体内位置的函数。 ( ) t( ) t0, ( )0tt( ) t( , )T x t第63页/共80页64 例例一半无限大 物体的瞬态热传导问题 初始时该半无限大物体有均匀温度 ，在时间 时，边界面维持为恒温 。该问题的数字描述为 (0)x iT0t oT220( , )1( , )0,055( , )0,055( , )0,055iT x tT x txtxtT x tTxtbT x tTtxcaOT0界面S(t)TmTl(x,t)Ts=Tm第64页/共80页65按前面介绍的基本步骤用积分法求解该问题 1.将方程 对空间变量从 到 进行积分得对上式右边进行积分时，运用积分号下的

34、微分规则，可得。0 x ( )xt( )( )00156txtxxTTTdxaxxt001()56xxxxTTddTdxTbxxdtdt22( , )1( , )T x tT x txt第65页/共80页66根据热层的定义，得为便于以下分析，定义 将两方程代入得 式（58）称为本问题的能量积分方程057xxiTTTax( )0( , )57txT x t dxb0()58xiTdTtdt001()56xxxxTTddTdxTbxxdtdt第66页/共80页67 2.选用下列形式的三次多项式来表示 ：式（59）中的系数一般为时间的函数。为了用 来表示这四个系数，需要四个条件，其中三个条件可从x=

35、0的边界条件与热层 边缘处 的边界条件来得到，为第四个边界条件可根据对微分方程（55a）在x=0处的计算以及利用x=0 处T=T0=常数，这一事实推导得到，即x=0处温度对时间的导数为零。由此可得将（60）的四个条件用于式（59），可得到如下形式的温度剖面： ( , )T x t23( , )0( )59T x tabxcxdxxt( ) t( )xt0000 xxixTTTTTx6 -a20206 0 xTbx30( , )311()6122iiT x tTxxTT 第67页/共80页68 3.将温度剖面代入能量积分方程，在完成简要运算之后，可得到有关 的常微分方程： 具有初始条件 方程（6

36、2）的解为 30( , )311( )6122iiT x tTxxTT ( ) t4062dtadt0062tb863t0()58xiTdTtdt第68页/共80页69 4.知道 后，确定温度分布 ，可得 式中 ( ) t( , )T x t30( , )311()6422iiT x tTxxaTT 864tb第69页/共80页70求解相变问题的积分法 积分法是求解一维瞬态相变问题的一种较为简单而直接的方法，已有很多研究者用这个方法进行求解。 在用积分法求解相变问题时，分析过程的基本步骤与解一般热传导问题大体上是一样的，只是在构成温度剖面需要作某些修正。 第70页/共80页71 例题 半空间内

37、的熔解过程（单区域问题）。为了对用积分法求解一维非稳态相变问题的准确性有一定的认识，这里讨论的问题为x0的半空间固体的熔解过程。开始时，该固体处于熔解温度Tm。当时间t0时，x=0的边界面维持在恒定的温度T0，T0高于固体的熔解温度Tm。熔解过程从x=0的表面开始，固-液界面向x的正方向移动。试通过本例分析求得固-液界面的位置随时间的变化规律。液体OT0S(t)TmTl(x,t)Ts=Tm固体界面第71页/共80页72解本问题的数学描述液相内的方程为界面的方程为 220( , )10( ),065( , )0,065lllTT x txs t taxtT x tTxtb( , )( ),065c( )( ),065dlmllT x tTxs t tTds tkLxs t txdt第72页/共80页73 用积分法进行求解时，第一步是定义热层厚度。超过这个厚度，温度梯度实际