最新剪力弯矩计算

1、剪力弯矩计算杆件的内力及其求法 梁的内力图及其绘制 弯矩、剪力、荷载集度 间的关系 叠加法作剪力图和弯矩图 其它杆件的内力计算方法 小结剪力弯矩计算第一节 杆件的内力及其求法 一、杆件的外力与变形特点 平面弯曲荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁轴线也在该平面内弯成一条曲线。 1.弯曲梁（横向力作用）受力特点：垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶；变形特点：杆轴由直变弯。 单跨静定梁的基本形式：剪力弯矩计算2、轴向拉伸与压缩 杆（纵向力作用）受力特点：外力与杆轴线方向重合；变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短。3、扭转轴（外力偶作用）受力特点：外力偶作用在垂直杆轴平面内；变形特点：

2、截面绕杆轴相对旋转。4、组合变形两种或两种以上基本变形的组合。剪力弯矩计算二、梁的内力及其求法 1、剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平衡状态。 求距支座a为x的横截面m-m.上的内力。用截面法求内力。 步骤：1)截开 2)代替 内力外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。 杆件横截面上的内力有：轴力，剪力，弯矩，扭矩等。剪力q限制梁段上下移动的内力;弯矩m限制梁段转动的内力偶。 单位：剪力q kn, n；弯矩m kn.m ， n.m 3)平衡 0y0qraarq 0om0 xrmaoxrmao若取右半段梁为研究对象,可得：qq oomm 剪力弯矩计算 1）

3、剪力q：截面上的剪力q使所取脱离体产生顺时针转动趋势时（或者左上右下）为正，反之为负。 2）弯矩m：截面上的弯矩m使所取脱离体产生下边凸出的变形时（或者左顺右逆）为正，反之为负。 为避免符号出错,要求： 未知内力均按符号规定的正向假设。 2、剪力和弯矩的符号规定剪力弯矩计算例例3-1：悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和弯矩。解：解：1）求1-1截面上的内力 0yqlpq21100m218121qlplm0211qqlp04)21(21mlqllp 求得的 q1 、m1 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 o 是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的内力0yqlpq

4、200m2221qlplm02qqlp02)(2mlqllp 求得的 q2 、m2 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 o1是2-2截面的形心。剪力弯矩计算 例3-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。解：1、求支座反力：由整体平衡0638, 021abyppmknya140632, 021bayppmknyb9校核： 反力无误。020391421ppyyyba 2、求1-1截面上的内力：取左半段研究0, 011qpyyaknpyqa1131411013, 011mypmao矩心o1-1截面形心 3、求2-2截面上的内力：取右半段研究0, 02byqyknyqb92

5、05 . 1, 02mymbomknpyma53111mknymb5 .135 .12若取左半段梁研究，则0, 0221qppyyaknppyqa92031421205 . 15 . 65 . 4, 0221mppymaomknppyma5 .135 . 15 . 65 . 4212矩心o2-2截面形心剪力弯矩计算3、直接法求梁的内力：（由外力直接求梁横截面上的内力） （1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和；iqpq 符号规定：外力使截面产生顺时针转动趋势时（或左上右下）该截面剪力为正，否则为负； （2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截

6、面一侧（左侧或右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和；)(iqopmm 符号规定：外力使梁段产生上凹下凸变形时（或左顺右逆）该截面弯矩为正，否则为负； 计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧有几个力，二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。剪力弯矩计算例例3-3：简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和弯矩。 解解：1）求支座反力 0am0322lvlpplb0mb 06p7p6pvpvyba 61pvqa)(6032pvlvlpplaa2）计算截面内力 1-1截面：)(67pvb反力无误。校核1831pllvma2-2截面：62pvqa942363

7、2plpllpmlvma3-3截面：63pvqa1872326)33(3plpllpmllvma4-4截面:674pvqb18736734pllplvmb剪力弯矩计算 第二节 梁的内力图及其绘制 梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式 qx=q(x), mx=m(x) 称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力。qxpxq)(221)(qxpxxm 反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的曲线，称作剪力（弯矩）图。二、剪力图和弯矩图的作法： 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；可先列内力方程再作其函数曲线图。)0(lx )0(lx 如悬臂梁：

8、当x=o, q(x)=-p, m(x)=0; x=l, q(x)=-p-ql, m(x)=-pl-ql2/2.其剪力图和弯矩图如图示。221qlpl 一、剪力图和弯矩图的概念剪力弯矩计算 例3-4 作图示悬臂梁的内力图。 解：1.列内力方程：（先确定x坐标，再由直接法求x截面的内力。）)0( ,)(lxpxq)0( ,)(lxpxxm 2.作内力图：（先取坐标系确定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）q(x)等于常数，为水平线图形；由;)(,)0(, 0plqlxpqx作剪力图 m(x)等于x的一次函数，为斜直线图形；由;)(,; 0)0(, 0pllmlxmx作弯矩图 结论：当梁段上没有荷载q

9、作用时，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。剪力弯矩计算 例3-5 作图示简支梁的内力图。解：1.列内力方程：先求支座反力)0( ,21)(lxqxqlqxvxqa)0(),(2121)(22lxxlxqqxxvxma利用对称性：)(21qlvvba 2.作内力图： q(x)为x的一次函数，q图为斜直线；;21)(,;21)0(, 0qllqlxqlqx作 m(x)为x的二次函数，m图为抛物线；;81)2(,2; 0)(,; 0)0(, 02qllmlxlmlxmx 结论：当梁段上有均布荷载q作用时，q图为斜直线，m图为二次抛物线。作剪力弯矩计算 例3-6 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方

10、程： 求支座反力：由整体平衡),(lpbva);(lpavb校核无误。 因p作用，内力方程应分ac和cb两段建立。ac段：)0( ;)(,)(axxlpbxvxmlpbvxqaacb段：);()()(,)(1111xllpaxlvxmlpavxqbb)(1lxa2.作内力图：)0( ;)(,)(2222bxxlpaxmlpaxq; 0)0(,)0(, 0mlpaqx; 0)(,)(,amlpbaqax;)(,)(),( ,21lpabamlpbaqbxax. 0)(,)(),0( ,21lmlpalqxlxac段：cb段：剪力弯矩计算 结论：在集中力p作用截面，q图发生突变，突变值等于该集中力

11、p的大小；m图有尖角，尖角的指向与集中力p相同。 内力函数的不连续是由于将集中力的作用范围简化为一个点的结果。若考虑集中力为微梁段上的均布荷载，则c截面的 q图和m图应为斜直线和抛物线。 因此，当谈到集中力作用出的剪力时，必须指明是集中力的左侧截面（c左）还是集中力的右侧截面（c右）。剪力弯矩计算 例3-7 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程：求支座反力)(lmvvba校核无误。ac段：)0( ;)(,)(axxlmxmlmxqcb段：)();()(,)(1111lxaxllmxmlmxq)0( ;)(,)(2222bxxlmxmlmxq 2. 作内力图：; 0)0(,)0(:0mlm

12、qx;)(,)(:lmaamlmaqax;)(,)(:1lmbamlmaqax. 0)(,)(:1lmlmlqlxac段：cb段： 结论：在集中力偶作用截面，q图不受影响；m图有突变，突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时，必须指明集中力偶作用截面的左侧或者右侧。）剪力弯矩计算第三节 弯矩、剪力、荷载集度间的关系 一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系 由梁微段的平衡条件：0)()()()(, 0dxxqxdqxqxqy).()(axqdxxdq; 02)()()()()(, 0dxdxxqdxxqxmxdmxmmo(mo矩心o取在右侧截面的形心。).()(bxqdxxdm将(b)代入(a)，).

13、()(22cxqdxxmd(a)、(b)、(c)三式即q、m、q间的关系。力学意义：微分形式的平衡方程；几何意义：反映内力图的凹凸性；（一阶导数反映切线斜率； 二阶导数反映曲线凹凸性。）剪力弯矩计算 二、m、q、q三者间关系在内力图绘制中的应用（内力图特征） q=0梁段 q=c梁段 p作用截面 m 作用梁段 梁上外力剪力图弯矩图 剪力弯矩计算例例3-8：用简捷法绘出图示简支梁的内力图。解解：1）计算支座反力 )(kn6va )(18knvb0461864qvvybaknqvqknqabc184664,6knvqqaca6, 0am0)(qxvxqbmqvxb3618mknqvmb2723330

14、mknvmac122在q=0处，弯矩有极值,数值为：由bc 段：ab 段：bc 段：ab 段：3）画内力图：（先求控制截面内力值，再按内力图特征画图。） 剪力图 校核无误。2) 梁分段：为ac,cb两段。弯矩图4）确定内力最大值：,18|maxknq在b支座处。,.27|maxmknm在距b支座3m处。0bmm,24kn122avcm剪力弯矩计算 三、简捷法绘梁内力图的步骤： 1. 求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。） 2. 将梁分段；（以梁上荷载变化处为界，包括：p、m作用点，q的起止点，梁的支座和端点等。） 3. 绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按 绘图，最后用内力图特征检验。控制

15、截面即梁分界截面。注意p、m作用处应取两侧截面。） 4. 确定内力最大值及其位置。(从图上直接找 。)maxmax| ,|mq 简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用直接法）；熟记内力图的特征。 确定控制截面内力值的方法有三种： 1）截面法；（三个步骤，两套符号规定。） 2）直接法；（由外力定内力符号看梁的变形。） 3）积分法。（微分关系逆运算的应用。）剪力弯矩计算 3）积分法求指定截面的内力： 假定梁段上从左向右依次有a、b两个点，a点的qa、ma已知，可由此计算b点的qb、mb.。 a b 由),()(xqdxxdq;)()(dxxqxdq,)()(babadxxqxdq

16、;)(baabdxxqqq同理，由),()(xqdxxdm;)(baabdxxqmm 如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按内力图的特征逐段绘图。 这样需知梁端点上的内力值：梁端点荷载剪力值弯矩值铰支座无集中荷载支反力值 零固定端无集中荷载支反力值支反力偶矩 自 由 端无集中荷载 零 零 集中力p p力值 零集中力偶m 零 m力偶矩剪力弯矩计算 例3-9 试用简捷法绘制图示外伸梁的内力图。 解：1、求支座反力：)(7)32108288(121knya)(5)152104248(121knyb02281bayyy校核无误； 2、梁分段：为ac,cd,db,be四段； 3、绘

17、图：从左向右逐段作q图和m图； 检验q最后与右端p2值相等,结果无误； m极值点的确定:（由三角形的相似比）;434),134(xxx;3)3143(mxmknmf.5 .20112120mknmmknmrdld.61016.1633215 .204、确定内力最大值：|q|max=7kn 在a端； |m|max=20.5kn.m 在距a端5m处（在f端）。剪力弯矩计算第四节 叠加法作剪力图和弯矩图 一、叠加原理： 分析图示悬臂梁。 ,qlrprqlprbqbpb;2,222qlmplmqlplmbqbpb;)(;)(,)(qxxqpxqqlpxqqp;2)(,)(,2)(22qxxmpxxmq

18、xpxxmqp;bqbpbrrr;bpbpbmmm);()()(xqxqxqqp).()()(xmxmxmqp剪力弯矩计算 叠加原理： 由几个荷载所引起的反力，内力或其它参数（应力、位移）等于各个荷载单独引起的该参数值相叠加。 二、 叠加法作剪力图和弯矩图 步骤： 1）先把作用在梁上的复杂荷载分解为几组简单荷载单独作用情况； 2）分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。（各图已知或容易画出，可查表51） 3）叠加各内力图上对应的纵坐标代数值，得原梁的内力图。 叠加原理适用条件：参数与荷载成线性关系。即各种荷载对结构产生的效应（即各参数）彼此独立。 对静定结构，小变形假设可保证这一点。

19、注意：叠加不是图形的拼合，而是将同一截面上的内力值代数相加；是各简单荷载下的内力图在对应点的纵坐标相加。剪力弯矩计算例310 用叠加法作图所示外伸梁的 m 图。解解：1）先分解荷载为p1、p2单独作用情况； 2）分别作出各荷载单独作用下梁的弯矩图； 如图 a 3）叠加各控制截面各弯矩图上的纵坐标得梁的弯矩图。如图d剪力弯矩计算 三、区段叠加法作梁弯矩图(适用于复杂荷载作用下结构的弯矩图。) 梁中取出的任意梁段都可看作是简支梁，用叠加法作简支梁的弯矩图即梁段的弯矩图。 梁段中的极值的求法： 1.列剪力方程； 2.令剪力方程为零，确定x坐标； 3.将x截面各m图的纵坐标叠加。 ;2bdcdbcbc

20、llplmm 因为m极值未必是最大值，且一般极值与跨中截面的弯矩值较接近，故结构内力计算时多求梁段中 点弯矩，而不求极值，以简化计算。剪力弯矩计算第五节 其它杆件的内力分析 一、拉压杆(沿轴线纵向力作用） 内力：轴力n， 轴力的符号规定：拉为正，压为负。;inpn 二、扭转圆轴（横截面内力偶作用） 1、扭矩 ： 用截面法求内力。 轴力图的规定：正值的轴力图画在轴上侧，负值在轴下侧。 1）截开；2）代替；3）平衡。扭矩限制轴段转动的内力偶。扭矩单位：;,mknmn., 0, 0knknxmmmmm扭矩的符号规定：按右手螺旋法则， 顺时针为正，逆时针为负。剪力弯矩计算 二、功率、转速与扭矩之间的关

21、系作用在传动轮上的外力偶矩通常需由轴的功率和转速换算。 设皮带轮处的力偶矩为mk (单位：nm) 轴转动一分钟时力偶矩mk所作的功为：则皮带轮每分钟所作的功为： 机器的功率为t(单位：千瓦；1kw 当于每秒钟作1000nm的功）；或功率为n(单位：马力；1ps=735.5 nm/s); 轴每分钟转速为n(单位：r/min)；)(min)/()(9550.260000mnrnkwtntmk)(60000mntwkmnw.2或：)(min)/()(70207024mnrnpsnnnmk, ww 剪力弯矩计算 例3-11、试作图示机器传动轴的扭矩图。已知轴的转速 ，主 动轮1 的功率 ，三个从动轮2

22、、3、4的功率 分别为 。, wwpsn5001;1502psn psnpsn200;15043求外力偶矩：（2）计算扭矩：根据平衡条件：与轴转向一致mknm.70.1130050002. 71mknmm.51. 330015002. 732mknm.406830020002. 74021mmnmknmmn.51. 321 0 xmmknmmmn.02. 7322043mmnmknmmn.68. 443mknmn.02.7max （3）确定最大值： 在31轴段。0322mmmn剪力弯矩计算3、 组合变形杆件的内力：（将外力向沿杆轴和垂直杆轴的对称轴方向分解，再由平衡条件确定内力。） （1）斜弯

23、曲 （双向平面弯曲）： 两分力py,pz分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。略去剪力作用，则x截面的弯矩方程为：.sinsin)(mxpxpxmzy;coscos)(mxpxpxmyz 例3-12 作图示悬臂梁的弯矩图。.2,/5knpmknq;1025212122maxmknqlmz.422maxmknplmy剪力弯矩计算 （2）拉伸（压缩）与弯曲的组合：两分力px、py产生沿轴线方向的拉伸（压缩）和铅垂面内的平面弯曲变形。x截面的内力方程为：;sin)(ppxnx.cos)(xpxpxmyz 例3-13 简易吊车如图，作横梁内力图。 解：1）作横梁内力图，求拉杆作用力： 2）求内力：;8

24、.1285 . 25 . 15 . 2knyb;408 .128 . 05 . 2knxb;12knxnbx.125 . 15 . 25 . 15 . 28 .12mknmb3）作内力图：剪力弯矩计算（3）偏心压缩（拉伸）： 偏心力p平移后所得力p和附加力偶m使杆件产生轴向压缩（拉伸）和纯弯曲的组合变形。;yzpempn.zypem例3-14 厂房牛腿柱如图，已知横梁传来轴向力p1=100kn,吊车梁传来偏心力p2=30kn,偏心距e=0.2m。求作其内力图。 解：;130)30100()(21knppn.62 . 0302mknepm剪力弯矩计算4）弯曲与扭转的组合：皮带轮紧边受力t大于松边t，向轴线平移所得p和附加力偶mk使轴产生铅垂面弯曲和扭转的组合变形。;)()(xttpxxm;2)(dttmk例3-15 卷扬机工作时受摇把上推力p和吊装勿重量q共同作用。设横轴匀速转动，不考虑轴承摩擦，试作其内力图。 解：铅垂面内重力q使轴产生弯曲变形，跨中截面最大弯矩为ql/4; 力p,q均未通过轴