复合函数求导

1、第四节第四节 复合函数求导复合函数求导 法则及其应用法则及其应用一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则二、初等函数的求导问题二、初等函数的求导问题三、一阶微分的形式不变性三、一阶微分的形式不变性四、隐函数的导数四、隐函数的导数五、对数求导法五、对数求导法六、参数形式的函数的求导公式六、参数形式的函数的求导公式一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则而函数而函数 在在 处可导，则复合函数处可导，则复合函数 )(ufy )(00 xgu 定理定理4.4.1 (复合函数求导法则复合函数求导法则 ) 设函数设函数 在在 可导，可导，)(xgu 0 x)()()()()(00000 xgxgfxguf

2、xgfxx 0 x)(xgfy 在在可导，且有可导，且有:即即 证明：由证明：由 在在 可导也即可微可导也即可微)(00 xgu )(ufy )()( 0uouufy xuoxuufxxgfxxgf )()()()(000 )(xgu 0 x)(lim00 xgxux 又由又由 在在 可导，因此可导，因此 而而 0)(lim)(lim00 xuuuoxuoxx 于是于是xxgfxxgfxgfxxx )()(lim)(0000 )()(00 xgxxgu )(00 xxguu 令令 则则)()( )()(000uouufufuuf ).()(00 xguf dxxgufxgfd)()()( dx

3、dududydxdy 复合函数的求导法则可以写成复合函数的求导法则可以写成:即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为复合函数的微分公式为: dxdvdvdududydxdy 解解:.sin,lnxuuy 例例4.4.1.sinln的导数的导数求函数求函数xy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot :)(的导数为的导数为xfy 推广推广则则复复合合函函数数),(),(),(xvvuufy 设设.1sin的

4、导数的导数求函数求函数xey 解解:)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex例例4.4.2.1cos11sin2xexx 例例4.4.3.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解:),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx二、初等函数的求导问题二、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln

5、1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设u u(x),v=v(x)可导，则可导，则2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxarcxx ,)()1(vuvu ) ,()2(是常数是常数cuccu ,)()3(vuvuuv .)()4(2vvuvuvu 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则的的则复合函数则复合函数而而设设)()(),(xfyxuufy 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意注意: :初等函数

6、的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例4.4.44.4.4解解:)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy ).()()(xufxydxdududydxdy 或或导数为导数为).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 设函数设函数 有导数有导数)(xfy )(xf （1）若）若x 是自变量时，是自变量时，dxxfdy)( 三、一阶微分的形式不变性三、一阶微分的形式不变性（2）若）若x是中间变量时，即是另一变量是中间变量时，即

7、是另一变量 t 的可微函数的可微函数)(tx 则则 .dttxfdy)()( dxdtt )( dxxfdy)( 结论：不论结论：不论 x 是自变量还是中间变量，函数是自变量还是中间变量，函数)(xfy 的微分形式总是的微分形式总是 .dxxfdy)( 例例4.4.5设设 ,求求 .)12sin( xydy解解:uysin 12 xu)12()12cos(cos xdxududydxxdxx)12cos(22)12cos( 例例4.4.6bxeyaxsin dy设设 ，求，求 .)(sin)(cosaxdebxbxdbxedyaxax dxaebxdxbbxeaxax )(sincosdxbx

8、eabxbeax)sincos( 四、隐函数的导数四、隐函数的导数解解:定义定义4.4.1 由方程由方程 所确定的函数所确定的函数0),( yxF)(xyy 称为隐函数。称为隐函数。.)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 隐函数的显化隐函数的显化)(0),(xfyyxF 问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用或利用一阶微分的形式不变性对方程两边求微分一阶微分的形式不变性对方程两边求微分.例例4.4.7的导数的导数.解解: 法一、方程两边对

9、法一、方程两边对 x 求导求导 (注注: y 看成看成 x 的函数的函数)求由方程求由方程 确定的隐函数确定的隐函数 012 yxexy)(xyy 0)()(2 yxxyexy02)(2 yxxyyxyexyxxeyxeyxyxy)()2( 0)()(2 yxdedxy0)()(22 dyxxydxydexy0)(2)(2 dyxxxdyydxxdyexy法二、方程两边同时求微分法二、方程两边同时求微分0)2()( ydxxexdyxexyxyxxeyxedxdyxyxy)()2( 例例4.4.8设曲线设曲线 C 的方程为的方程为 ，xyyx333 求过求过 C 上点上点 的切线方程，并证明曲

10、线的切线方程，并证明曲线 C 在该点在该点)23,23(显然通过原点显然通过原点.解解:,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322. 1)23,23(22)23,23( xyxyy所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即的法线通过原点的法线通过原点.五、对数求导法五、对数求导法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu例例4.4.94.4.9.),0

11、(sinyxxyx 求求设设解解:等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 例例4.4.104.4.10解解:等式两边取对数得等式两边取对数得.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设求导得求导得上式两边对上式两边对 xxxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln142)1(3111 xxxyy六、参数形式的函数的求导公式六、参数形式的函数的求导公式 142)1(3111)4(1)1(23xxxexxxyx定义定义4.4.2若参

12、数方程若参数方程 确定确定 x 与与 y 间的函数关系，间的函数关系， )()(tytx 称此为称此为参数形式的函数参数形式的函数.例如例如消去参数消去参数 22tytx2xt 4)2(222xxty 2xy t问题问题: 消参困难或无法消参的如何求导？消参困难或无法消参的如何求导？ )()(tytx t在方程在方程 中，中，),( )(t )(t 设设 和和 在在 )(1)(ttdxdtdtdydxdy dtdxdtdydxdy 即即 )(t ),( 0)( t 在在 上严格单调且上严格单调且 ，上可导上可导,上存在反函数上存在反函数 ),( 由反函数求导法则，由反函数求导法则， 在在 )(tx 由复合函数求导法则由复合函数求导法则: ，)(1xt ).(1xy 从而从而且成立且成立 ，)(1)(1tx dttdy)( dttdx)( 也可以直接求微分也可以直接求微分)( )( ttdxdy 两边相除，得两边相除，得 例例4.4.11 )cos1()sin(tayttax2 t求摆线求摆线 在在 处的切线方程处的切线方程.解解:dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin . 12cos12sin2 tdxdy.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( a