不定积分例题及答案

1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不 不定设 f(x) , xw I ,若存在函数F (x),使得对任意xw I均有F'(x)= f (x)积分积分或dF(x)= f(x)dx ,则称F(x)为f(x)的一个原函数。的 概f (x)的全部原函数称为f (x)在区间I上的不定积分，记为念注：(1)若f (x)连续，则必可积；(2)若F(x),G(x)均为f (x)的原函数，则F(x) =G(x) +C。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1： dx -f f (x)dx= f (x)或 df f (x)dx= f (x)dx ；性质 2： jF'(x)dx = F(x)+C 或 J

2、dF(x) = F(x)+C ;性质 3: cc f (x) ± Pg(x)dx =cc jf (x)dx± P Jg(x)dx , « , P 为非零常数。计算第一换元积分法设f (u)的原函数为F(u) , u =9(x)可导，则有换元公式：方(凑微分法)法第二类换元积设x=5(t)单调、可导且导数不为零，f 中(t)中'(t)有原函数F(t),分法则f(x)dx = ff(5(t)5'(t)dt = F(t) + C = F(中,(x)+C分部积分法有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。本章

3、在下一章定积分中由微积分基本公式可知一求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分dxx2 x思路：被积函数1x2/x =x5

4、2由积分表中的公式（2）可解。dx5x 2dx(2)(3.X-)dx思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。解：(Vx-2)dx = j(x3 -x 2)dx = jx3dx - x 2dx(3) f(2x +x2)dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：J(2x 十x2)dx = J2xdx 十 Jx2dx =2xln 23x3C (4) 、, x(x3)dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。解：f/x(x -3)dx = x2dx -3 fx2dx2 -2x2 C (5) |3x4 3x2 - 1x2 1dx思路：观

5、察到3x4 3x212=3x后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。3x21x2 1一 2 .dx = 3x dx1 x,32dx = x arctan x C (6) |x(12) 3XeXdx思路：注意到X2_ X21 -1 _1 X2 - 1X2一11 X2,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分解：2dx=fdx_f2dx = x-arctanx+C.1 x1 x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分x 1 34 j( -十T- -T)dx 342

6、x x x思路：分项积分。x1341134解： K+ - -)dx =- fxdx- f-dx +3fx dx 4fx dx2xxx2x2)dx,1-x2思路：分项积分。2)dx =3 ,1-x211 x21dx -2dx = 3arctan x -2arcsin x C.1 -x2 (9) x x xdx思路:=?看到 Jxjx« =x7=x8,直接积分。"78 15解：fyxvxVxdx = fx8dx =x8 +C.15(10)22x (1 x )dx思路：裂项分项积分。行111111斛：2-dx =1(一f -2)dx = I _2dx - J2dx = 一一 -

7、arctan x+ C.x (1 x ) x 1 x x 1 x x2x ( e (ii) x dxex-1/xXX解：(dx = jdx = J(ex+1)dx = ex+x+ C.XXe -1e -1思路：初中数学中有同底数嘉的乘法：指数不变，底数相乘。显然 3xex = (3百xo一(3e)解：13 e dx = f(3Q dx =+C.ln(3e)2 (13) cot xdx22.思路：应用三角怛等式cot x=csc x-1 ”。，一, 22解：fcot xdx = (csc x -1)dx = -cotx x +C(14)2 3x -5 23xx-dx思路：被积函数xx2 3 -5

8、23x=2 -5(-)x,积分没困难。32 3x -5 2x3x(2)x,2、5(Q)一dx = (2 -5(-) x)dx = 2x-5一3+ C.3ln2-ln32 x , (15) cos dx2思路：若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降嘉，再积分。2 x .解：cos d = f21 cosx,11 . 八dx x sinx C.221(16) dx1 cos2x思路：应用弦函数的升降嘉公式，先升寨再积分。一 1.解：fdx =1 cos2xcos2x(17) dxcosx - sinx72cos x,12.1.-dx = sec xdx = - tan x C.222.2思路：不

9、难，关键知道cos2x=cos x -sin x = (cosx+sinx)(cosx - sinx)。cos2x_解：dx = (cosx + sin x)dx = sin x cosx + C.cosx-sinxcos2x ,(18) 22dxcos x sin x22思路：同上题万法，应用cos2x=cos x -sin x ,分项积分。. cos2x解：1 22-cos x sin x2_ 2, cos x -sin x ,dx 二 22-dx 二cos x sin xsin x.1dx - 2xcos x(19)(、+ -1 -x 1 x 1 -x思路：注意到被积函数 f + = +

10、1 x . 1 - x1 , x22 一 r ,应用公式(5)即可。1 -x2, 1 - x2解：k1 x、,c 11-x)dx=21 - x1 xdx = 2arcsinx C.1 -x21 cos x (20)dx1 cos2x2 _1 cos x 思路：注意到被积函数 1 - cos2x21 cos x2cos2 x12=- sec x21- -+ -,则积分易得。22.1 cos x ,解：dx =1 cos2x12,1,一 sec xdx - dx =22tan x xC.2、设 Jxf(x)dx =arccosx+C，求 f(x)。知识点：考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。d

11、 .思路分析：直接利用不定积分的性质1 ：f f(x)dx = f (x)即可 dx解：等式两边对x求导数得：3、设f (x)的导函数为sinx ,求f (x)的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，f (x) = Jsin xdx =-cosx+C1所以 f(x)的原函数全体为：J(cosx+C1)dx =sinx+C1x + C2。x1 2 x xxe4、证明函数 一e ,e shx和e chx者B是的原函数2chx-shx知识点：考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。力 I* e2x 工

12、 d 1 2x . d x . d x . 2x解：.=e ,而(-e )=e shx=echx=echx -shxdx 2 dxdx25、一曲线通过点(e ,3),且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。i、d1解：设曲线方程为y = f (x),由题意可知： f (x)= ，,f (x) = ln | x | +C ； dx x又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有 3 = ln(e2)

13、+C,，C =1 ,所以曲线的方程为f (x) =ln |x|6、一物体由静止开始运动，经 t秒后的速度是3t2(m/s),问：(D在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2)物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：y = f (t), d则由速度和位移的关系可得：f(t)=3t2= f(t)=t3+C,dt又因为物体是由静止开始运动的，:f(0) =0,二C = 0;. f(t)=t3。 一 3 一(1) 3秒后物体离开出发

14、点的距离为：f(3)=3 =27米;令 t3 =360= t =3/360 秒 习题4-21、填空是下列等式成立.知识点：练习简单的凑微分 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可 。110.1.解：(1)dx = d(7x 3);(2) xdx = d(1 x2);(3) x3dx = d(3x4 2);72122、求下列不定积分。知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体 变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也 非常有效，这在课

15、外例题中专门介绍！(i)Je3tdt思路：凑微分。11解：je dt=-Je d(3t)=-e +C333(2) (3 -5x) dx思路：凑微分31314解：K35x) dx = - f(3-5x) d(3 -5x) =-(3-5x)4 +Cc 1.(3) dx3 -2x思路：凑微分。-1.解：dx =3 -2xd(3 - 2x)1八=ln |3-2x| C.2思路：凑微分1111-112 一解：f . dx = f .d(5 -3x) = 1(53x) 3d(5 -3x) =(5-3x)3 +C.35 -3x 3 3 5 -3x32x(5) (sin ax -eb)dx思路：凑微分xx1r

16、x(sin ax-eb)dx = sinaxd(ax)-b ebd (-) ab1, h一- cosax - beb C a (6)思路：如果你能看到d (JT)=产dt,凑出d (JF)易解。解：2、t=2 cos、td ( t) = 2sin t C(7) tan10 xsec xdx思路：凑微分一 102101 一 11解：(tan xsecxdx= tan xd(tanx) = 彳tan x+C.dx(8) xln xln In x解：f dxxln xln ln xIn xln In x思路：连续三次应用公式（3）凑微分即可。d(ln |ln x|)ln |ln ln x| C In

17、 In x(9) tan . 1 x2xdx,1 x2是什么，是什么呢？就是 d .1 x2 !这有一定难度!xdx思路：本题关键是能够看到 一j,1 x2解：tan Ji +x2 xx- = ttan，1 - x2d Ji +x2 = -ln | cos，1 十 x2 | +C ,1 x2dx(10)sinxcosx思路：凑微分。方法一： 倍角公式sin 2x =2sin xcosx。方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。方法三：三角公式sin2 x + cos,x = 1 ,然后凑微分。(11) edx e"思路：凑微分:dxexdx-x e2x edex1 e2

18、xdex1 (ex)2exdx2xe 1dex 2 - arctanex C 1 (ex)2(12)xcos(x2)dx思路：凑微分。212 . 2解：Jxcos(x )dx =3 Jcosx dxsinx2 C 2(13). 2xdx-3x2、 xdx思路：由1dx22、1 d(2-3x )凑微分易解。2、2 -3x26 2-3x2xdx解：f 2-31 d(2 -3x2) _6,2 13一2-(2-3x2)%d(2-3x2)=-61 * 2-3x2 C32 ,(14) cos ( t)sin( t)dt思路：凑微分。21212 ,解：cos (切t)singt)dt = Jcos (ot)

19、sin(ot)dot = 一一 fcos (切t)dcosgt)(15)X思路：凑微分。解：sin xx=434 1 - x4dx|1 - x4 | C.(16)3cos xdx思路：凑微分。sin x3cos xdx1 cosx =-22 cos xC.(17) r220 一xdx思路：经过两步凑微分即可。解：亍,220-xdx =10、220-x10dx1010 x10C1 -=一 arcsin、2 10(18)-91 -xdx 2 -4x思路：分项后分别凑微分即可。解：f L,91 -x- 4x2dx =.91 dx - 4x2(19)dx2x2 -1dx、9 - 4x2思路：裂项分项后

20、分别凑微分即可丘力dx解：22x2 -1dx_= ( (.2x 1)( ,2x -1) 2,2x -1.2x 1)dx，, 、 xdx (20) 2(4 -5x)2思路：分项后分别凑微分即可。. xdx 1 / 4 -5x -4、 ，1/1,1解：2=-(葭)dx = (-42) d(4 -5x)(4 -5x)25 (4 -5x)225 4 -5x(4 -5x)2、x2dx (21)(x-1)100思路：分项后分别凑微分即可。2 . x dx解：J7J00(x -1)2(x -1 1) dx100(x -1)-(x-1)2一 (/ dJ00(x-1)一 (x -1)1,27J00 . 7700

21、 )dx(x-1) (x -1)(22)等8x -1思路：裂项分项后分别凑微分即可。加 xdx解：f-8x -1xdx44(x -1)(x1)11112 )xdx = - ()dxx 14 x -1 x 1(23) cos3 xdx思路：凑微分。cosxdx = d sin x。解：cos3xdx = fcos2x cosxdx = Jcos2 xdsinx= f(1-sin2x)dsinx(24) co/(t )dt思路：降嘉后分项凑微分。解：Jcos2(0t + 中)dt = J1 cos2( t )11dt dt cos2( t )d2( t )24 (25)sin2xcos3xdx思路

22、：积化和差后分项凑微分。.C C. 1,L11.,解： 牌n2xcos3xdx = (sin5x-sinx)dx = isin5xd5x - fsinxdx 2102 (26)sin5 xsin 7xdx1cos12xd(12x)思路：积化和差后分项凑微分。一 . L . r ,11解：,sin5xsin7xdx= - (cos2x -cos12x)dx =- jcos2xd2x .3, (27)tan xsecxdx思路：凑微分 tan x secxdx = d secx。3222解：tan xsecxdx = tan x tanxsecxdx = tan xdsecx = (sec x -

23、 1)d secxarccosx (28)dxiTx2-1,、思路：凑微分 dx = d( - arccos x)。.1 -x2arccosxarccosx解:110 dx = -H0arccosxd arccosx = -+ C.,1-x2ln10(29)dx(arcsinx)2 .1 - x2-1思路：凑微分 ,d dx =d(arcsin x)。d -x2.dxd arcsinx 1-解：f,= = 22 =+C(arcsinx)2、1 - x2(arcsin x) arcsin x0C、arctan Jx , (30) dx.x(1 x)思路：凑微分arctan x.x(1 x)dx

24、= 2arctang d & 2 2arctanVxd (arctanVx)。1 (x)2解arctan" dx = j2arctany d & = 2arctan x/xd (arctanVx)-x(1 x) 1 ( x) (31) lntanx dxcosxsin x2思路：被积函数中间变量为tanx ，故须在微分中凑出tanx ，即被积函数中凑出sec x ,玲 ln tanx , 解：dx = fcosxsin xln tanx一/,cos xtanx, lntanx .dx = d tanx = ln tanxd(ln tanx)tanx11nx (32)d

25、x(x In x)思路：d (x ln x) = (1 In x)dx11 In x ,解：f2-dx =(xln x)一(xln x)d(xln x)二x In x(33)解：方法思路：将被积函数的分子分母同时除以ex,则凑微分易得。方法二: 思路：分项后凑微分思路：将被积函数的分子分母同时乘以xe ,裂项后凑微分。dx (34) 6x(x 4)解：方法 思路：分项后凑积分。方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。人 11令 x = -，则 dx = 一二 dttt2dx (35) 2x (1 - x )解：方法 思路：分项后凑积分。方法二：思路：利用第二类换元法的倒代换。人 1.1 .令

26、x =-，则 dx = 一下dttt2-(t6t4t21)dt -()dt = - (t6 t4 t2 1)dt - (- - )dt3、求下列不定I Ct2 -12 t -1 t 11 5131t-1111111111 -x t t -4一 一 ln| C 二一 7 5 - - - - ln |532t 17x5 x3 x3x 21 x积分 知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习 思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限

27、制在锐角范围内，得出新 变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。(1)dx1,-1 - x2思路：令x = sint, t <,先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降嘉公式 2打解：令 x = sint, t（一，则 dx = costdt。2t=t - tan C = arcsin x 2x1；1 - x21 - 1 x -、+C.(或=arcsin x -+C )t sint 1 -cost2(万能公式 tan=，又 sint = x时，cost=J1 -x)2 1 cost sint,x2 -9(2) dxxji思路:令 x = 3sect,t w (0,),三角换元ji解：令

28、 x =3sect,t 亡（0,万）,dx =3secttantdt3 . x2 -9 xx2-9、(x=3secx时，cosx=-,sinx=,tanx=)xx3dx(3) (x2 1)3EM ., LI n一思路：令x = tant, t < a，三角换兀。31，一，一 ,2，解：令 x = tant, t m3，贝ij dx = sec tdt(4)dx.(x2 a2)3一， 一 . . n 思路：令x = atant, t| < ,三角换兀解：令 x =atant, t2< ,贝I dx = asec tdt2 (5)dx2思路：先令u = x ,进行第一次换兀；然后

29、令u 二 tant, t31< 一,进行第二次换元22,2,x 1.1 x 1.2 A-=dxdx ,令 ux.x12 x2 x4 12 _=x得：x +1 -1 u +1. n、一(dx = 一 du，令 u = tant, t < 则 du = sec tdt ,x , x4 12 u v u2 12(与课本后答案不同)(6)5 - 4x -x2dx思路：三角换元，关键配方要正确。解：；5 4x x2 =9 (x +2)2,令 x +2 = 3sin t, t<,则 dx = 3costdt o14、求一个函数 f(x),满足 f (x) = .且 f (0) =1 ,1

30、 x1, 一八一，思路：求出. 的不定积分、由条件 f (0) =1确定出常数C的值即可1 x11解：.J :dx=f 1 d(x 十1) =2 J1、x+C.1 x 1 x令 f(x) = 2j1+x +C ,又 f (0) =1,可知 C = 1,11 一 '.一55、设 1n = tan xdx,求证：In =tan x In-2，并求 Jtan xdx。n T思路：由目标式子可以看出应将被积函数tann x分开成tann“ xtan2 x，进而写成：n 22n 22n 2tan x(sec x-1) = tan xsec x - tan x,分项积分即可。证明：In = Jta

31、nnxdx= 1(tannq xsed x-tann"x)dx = Jtannq xsec2 xdx- Jtannxdx习题4-31、求下列不定积分知识点：基本的分部积分法的练习思路分析：严格按照“反、对、嘉、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 (1) farcsinxdx思路：被积函数的形式看作 x0 arcsin x,按照“反、对、嘉、三、指”顺序，募函数x0优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx解：arcsin xdx = x arcsin xxf,1 -x2 . 一 (2) Jln(1 +x )dx思路：同上题 farctanxdx思路

32、：同上题。,.112、dx = x arcsin x -d(1-x)解：Jln(1 +x2)dx =xln(1+x2)=x ln(1x2) -dx,dx解： arctan xdx = xarctan x - x21 x22: xarctanx-1 胃(4) e2xsin-dx 2思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。右* *2x xx 1 2 x、1 -2x x 1J2x 1 x .解：*e sin-dx =sin -d(-e )= e sin十一1e - cos- dx22 22 2 2222(5) x arctanxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。32

33、x解：fx arctan xdx = (arctan xd ()= 3与arctanx-4二2dx一 x . (6) xcos dx 2解：fxcosxdx =2 fxdsinx =2xsin安-2 fsin-dx = 2xsin- -4 sin-d - 222222 2思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可2.(7) xtan xdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：fxtan2xdx= fx(sec2 x _ 1)dx = (xse(2 x -x)dx = fxsec2 xdx - xdx 2.(8)ln

34、 xdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：fln2xdx = xln2 x - x 2ln x 1dx = xln2 x _ 2 jln xdx = xln2 x _ 2xln x + 2 jx 1dx xx(9) xln(x -1)dx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可2 x 解：fxln(x-1)dx= fln(x-1)d一 =2 x . dx-x2 ln(x -1)- 22 x -1ln x(10)dxx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可解：f ln 2xdx = jln2 xd (-1) = -1 ln2 x + J121n x -

35、dx = -1 ln2 x + 2 -ln-2xdx xx x x x xx(11) cosln xdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。-1解：* Jcosln xdx = xcosln x + Jxsin ln x dx = xcosln x + Jsinln xdx x(12) lnxdx x思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。(13) xn ln xdx(n : -1)思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可n 1.nx1n 1解：|x ln xdx = ln xd=xn 1 n 1ln x - - xn 1 1dxn 1 x(14) x2edx思路：

36、严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可解：Jx2e"dx = x2e" + Je“2xdx = x2e" 2xe" + 2Je"dx(15)x3(lnx)2dx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可3221 41 42141解：x (lnx) dx = (ln x) d(x ) = x (ln x) - x 2ln x - dx '''444x,、ln In x ,(16)dxx思路：将积分表达式ln ln xdx写成ln ln xd(ln x),将In x看作一个整体变量积分即可。 xln ln x1

37、11解：dx = ln ln xd(ln x) = ln xln ln x - ln x dx = ln xln ln x - - dxxln x xx (17) xsin xcosxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可,1. c ,1,1 C、1 c 1 c .解： xsinxcosxdx= -xsin2xdx=- xd(-cos2x) =一xcos2x+- cos2xdx22244一 22 x .(18) x cos - dx2思路先将cos2 x降嘉得1 * 8sx ,然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可 2222 x .12 12、.1

38、2.12.解：fx cos -dx= f(x +x cosx)dx = - fx dx+ fx cosxdx22222 (19) (x2 -1)sin 2xdx思路：分项后对第一个积分分部积分。解：(x2 1)sin2xdx= fx2sin2xdx- Jsin2xdx= xx2d (-cos2x) + - cos2x (2。)Je"xdx思路：首先换元，后分部积分。解：令 t =3/x ,则 x =t3, dx =3t2dt, (21) (arcsinx)2dx= x(arcsinx)2 2.1= x(arcsinx)2 2.1思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：

39、方法一:方法二: (23)ln(1 x)dx思路：严格按照“反、对、幕、三、指”顺序凑微分即可。ln(1 x)rdx=ln(1 x)d(2 . x)=2 , x ln(1 x) -dx令 t = . x ,则 dx = 2tdt,所以原积分,n(1x)dx =2豉m(1 +x) - Wx +4arctan Vx + C。.x (24)ln(1ex)dx-22 2arcsin x解： Karcsin x) dx = x(arcsin x) - x dx. 1-x2一x2 arcsinx -2 1 -x2 -x dx1-x2-x2 arcsinx - 2 dx = x(arcsinx)2 2.1

40、- x2 arcsinx - 2x C. x - 2(22) e sin xdxx二 exdx1 ex思路：严格按照“反、对、幕、三、指”顺序凑微分即可。思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。ln(1 xe )dx = ln(1ex)d(-e) = -eln(1exe1注：该题中 7dx的其他计算万法可参照习题 4-2, 2 (33)。1 ex1 x(25) xlndx,1 x , 解：fx lndx1 -x,1 x ,1 2、1 2 , 1 x 121-x 1-x1x,=lnd(x ) =-x ln一一 x 2-dx1 -x 221-x 21 x (1-x)2,1 x .注：该

41、题也可以化为xlndx = fxln(1+x)-ln(1 -x)dx再利用分部积分法计算。1 -xdx (26)sin2xcosx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。2思路：将被积表达式然后分部积分即可dxdx sec xdx d tan x写成2二=sin 2xcosx 2sin xcos x 2sin x 2sin x2.dxdxsec xdx d tan x解：(二-=1f= jsin 2xcosx 2sin xcos x 2sin x 2sin x2、用列表法求下列不定积分。知识点：仍是分部积分法的练习 思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。

42、按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解 出，不用列表法。 (1) xe3xdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：jxe3xdx= jxd(1e3x) =1 xe3x1 je3xdx =1 xe3x 1 e3xd3x=1(x-1)e3x +C.3333933(2) (x 1)exdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：J(x+1)exdx= j(x+1)dex =(x+1)ex - Jexdx = xex +C。2 (3) x cosxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：jx2 cosxdx = Jx2d sin x =x2 si

43、n x -2jxsin xdx = x2sin x + 2Jxdcosx (4) (x2 1)e"dx思路：分项后分部积分即可。解：(x2 +1)e/dx = fx2edx + fedx = jx2d(e«) + jedx (5) xln(x 1)dx2dx1 21x ln( x 1)-22x1又：f(x)dx=snx C, f(x)=xxcosx -sin xxcosx - sin x,xf(x):；12、解：fxln(x+1)dx= fln(x+1)d(x )=x e cosxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可 解：'/ Je"co

44、sxdx = j，cosxd(-e-x) = e"cosx fe-xsin xdxsin x 一一 3、已知sne是f (x)的原函数，求fxf'(x)dx。 x知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。sin x 思路分析：积分fxf (x)dx中出现了 f (x),应马上知道积分应使用分部积分，条件告诉你 snf是f(x)的原函xsin x数，应该知道ff(x)dx=s+C.x解：7 fxf (x)dx = Jxd(f (x)=xf (x) f f (x)dx3x - xx ，、e 4、已知 f(x)= ，求 Jxf (x)dx。 x知识点：仍然是分部积分法的练习 思路

45、分析：积分Jxf ”(x)dx中出现了 f ”(x),应马上知道积分应使用分部积分解:'/ fxf "(x)dx = Jxd(f (x) =xf (x) -f '(x)dx =xf '(x) - f (x) +C.e xe - e又，f(x)= ,. f (x)=-xxex(x-1)2xxf (x)=ex(x-1).; xdx1 cosx n -2. 5、仅 I n = fn , (n 2 2)；证明：I n = -n 十1n4。sin xn-1 sin x n-1知识点：仍然是分部积分法的练习。cosx 一.1,、，思路分析：要证明的目标表达式中出现了In,

46、乙一和1nl 提示我们如何在被积函数的表达式一中变出sinn'xsinnxcosxsinn1 x1可变为1 一， E和 一呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的介绍，这里sinn , x,22sin x +cos x o22证明： ，1 = sin x - cos xIndxL 二sin x2 cos x,I-7 dx I sin x_ 22sin x cos x- nsin x2cos xdx = ndxsin xcosx.,dsinx In/ sin xcosx _.sin x - sin x n _ _ .sin xnn 4一sin x sin x-nsin2nsin xInsin2x .k 二2cos xdxsin xsin2xcos x ,dx In/ 6、设cosx n-1 - I n 2sin x2cos x ,n dx Insin xcosx nd- I n 2sin xcosxnJ- sin x1I n _2 nI n _ nI n _2I n _2笑 nIn(n - 2)In/ sin xcosx n -2+n1 sinnlxn -1In _2 .一一 -1,f(x)为单调连续函数，f (x)为其反函数，且J f (x)dx = F (x)+C ,求:jf(x)dx。知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是