复杂网络上传染病动力学概述学习教案

1、会计学1复杂网络上传染病动力学概述复杂网络上传染病动力学概述第一页，编辑于星期一：十五点 二分。第1页/共46页第二页，编辑于星期一：十五点 二分。第2页/共46页第三页，编辑于星期一：十五点 二分。第3页/共46页第四页，编辑于星期一：十五点 二分。IIIdtdIISIdtdIISIdtdS)1 ( SIR的微分方程的微分方程SIS的微分方程的微分方程IdtdRISIdtdISIdtdS疾病越容易爆发。越大，否则疾病会灭亡。，疾病会爆发，指标。最基本是刻画疾病传播能力的定义为基本再生数表示平均恢复时间。表示恢复率，表示传播率，00001,/1 RRRR更一般的模型，可以考虑人口数量 变化的、

2、传播率变化的、多种群的、时间滞后的、加入媒介的、加入接种措施的，等等。第4页/共46页第五页，编辑于星期一：十五点 二分。第5页/共46页第六页，编辑于星期一：十五点 二分。 感染密度（感染水平或者波及范围）(t) (t)：传播过程中,感染节点总数占总节点数的比例。：传播到稳态时（ ）感染密度的值,称为稳态感染密度。 有效传播率(=/) 非常小（很小，很大），传播达稳态时，所有节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病没有在网络上传播开来，并记该疾病的稳态感染密度 =0。 反之，当足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节点的数目有时多有时少，这时稳态感染水平（波及范围） 0。

3、把稳态感染密度从零零向正实数正实数变化的那个点所对应的有效传播率有效传播率称作传播阈值（临界值） c。它是衡量网络上的传播行为最重要的参量之一。t 第6页/共46页第七页，编辑于星期一：十五点 二分。, t第7页/共46页第八页，编辑于星期一：十五点 二分。 ttkttt1第8页/共46页第九页，编辑于星期一：十五点 二分。c1k1(1)k1k 1k1k 01ttkttt1(1)k1(1)k第9页/共46页第十页，编辑于星期一：十五点 二分。范围传播，最终将不能传播,此时网络称为吸收相态。第10页/共46页第十一页，编辑于星期一：十五点 二分。( )ktk( )=( )( )kktP kt=(

4、 )kkP k kPk第11页/共46页第十二页，编辑于星期一：十五点 二分。( )kt ttktttkkk1 t( )skPsP s（k）( )kskPsP s（k）( )( )kkkkskPkPsP sk（k）（k）第12页/共46页第十三页，编辑于星期一：十五点 二分。( )1 ( )0; (1)1( )kkkkkk 0ttk( ) (2)kkkPk（k）把（1）代人（2）可以得到如下自洽方程01()|1kdkkPdkk （k）1+1( )kkfkPkk （k）1+有一个平凡解如果该方程要存在一个非零稳定解 ，需要满足如下条件：0 0 2kkc第13页/共46页第十四页，编辑于星期一：十

5、五点 二分。2k N 0c第14页/共46页第十五页，编辑于星期一：十五点 二分。 ,2dmkkkPkm 322kmkP kkkkPk1mk2 322kmkP kkk12321( )211( ).kkkmkkkkkkPkkmmkk1+（k）1+1+第15页/共46页第十六页，编辑于星期一：十五点 二分。11111.mkdkmkkkk1+1+111() ()lnmmdkkkm 1+1/1mmem1/1mmem 1/()1mm em1/1/1/11/1/111( )(1)11mmmmmeeememem第16页/共46页第十七页，编辑于星期一：十五点 二分。1/1/1( )(1)mmeem将代入上式

6、中 mmmkdkkkkmkkkmkkkkmkPmmmmkk11ln12111d21d21d22222232第17页/共46页第十八页，编辑于星期一：十五点 二分。0;0;c1/1/1/1/1/2111lnmmmmmeeeee（1-）0第18页/共46页第十九页，编辑于星期一：十五点 二分。第19页/共46页第二十页，编辑于星期一：十五点 二分。ccc10ck20ckk exp( 1/)m第20页/共46页第二十一页，编辑于星期一：十五点 二分。表示恢复率表示传播率，表示平均度。k对自洽方程求导结论：疾病阈值也是kkc11最终感染范围为：第21页/共46页第二十二页，编辑于星期一：十五点 二分。

7、其中辅助函数：00( )( )( )( )tktkkP kt dtkP ktdtkk 第22页/共46页第二十三页，编辑于星期一：十五点 二分。对于SIR模型，最终感染比例为0！所以根据恒等式：可以得到以下关系式，所以根据可以得到时，当0,)( t因此由得到第23页/共46页第二十四页，编辑于星期一：十五点 二分。类似求SIS中的方法，有结论类似的方法同样可以发现，无标度网络上最终感染范围也是：结论：无标度上的SIR模型和SIS模型具有相同的爆发阈值，以及同等规模的感染范围！第24页/共46页第二十五页，编辑于星期一：十五点 二分。第25页/共46页第二十六页，编辑于星期一：十五点 二分。结论

8、： 在均匀网络中：只要 ，就可保证疾病不在网络中传播开来；SF网络中：免疫临界值约为，即任给定一值，都需要对网络中的所有个体进行免疫才能使疾病不传播开来。说明随机免疫只对均匀网络有效（有较小的),而对SF网络效果很差（ =1）。原因： 这是由于SF网络是异质网络，节点度呈两极分化，采用随机免疫，哪些最容易传播病毒的节点（度大的节点）不一定获得免疫。所以，如果对SF网络采取随机免疫的策略，需要对网络中几乎所有的节点都实施免疫才能保证最终消灭病毒传染。 因此对SF网络这样的异质网络，普遍认为：随机免疫策略对于无标度网络是无效的！cgcgccg第26页/共46页第二十七页，编辑于星期一：十五点 二分

9、。第27页/共46页第二十八页，编辑于星期一：十五点 二分。第28页/共46页第二十九页，编辑于星期一：十五点 二分。第29页/共46页第三十页，编辑于星期一：十五点 二分。用来刻画传染病动力学与个体行为，政府决策等因素之间的相互影响第30页/共46页第三十一页，编辑于星期一：十五点 二分。vacEdelE第31页/共46页第三十二页，编辑于星期一：十五点 二分。vd其中表示死亡率( ) ( )ssvppr理解为发生天花的概率，d 表示感染以后的死亡率，和分别表示被感染的概率和被击中后具有免疫的概率对应个体而言，个体的平衡点为：0()vacdelEEp对于整个集体的最优为,代价C(p):最小。

10、第32页/共46页第三十三页，编辑于星期一：十五点 二分。第33页/共46页第三十四页，编辑于星期一：十五点 二分。第34页/共46页第三十五页，编辑于星期一：十五点 二分。模型示意图第35页/共46页第三十六页，编辑于星期一：十五点 二分。两种不同的政府补贴引起的不同效果免疫比例p (black) 和感染比例f (red)的时间演化图第36页/共46页第三十七页，编辑于星期一：十五点 二分。第37页/共46页第三十八页，编辑于星期一：十五点 二分。),(),(exp11)(tiPtjPssWji越大越敏感！反映个体的理性程度，第38页/共46页第三十九页，编辑于星期一：十五点 二分。全连通网

11、络方格结论：方格上的接种人数受c的影响更明显，稍微的增加c就使得接种人数锐减！第39页/共46页第四十页，编辑于星期一：十五点 二分。随机网络无标度网络结论：随机网络和无标度网络上的疾病在c不是很大的时候可以有效控制，然后随着c的增大而增加，但不像方格那样剧烈！第40页/共46页第四十一页，编辑于星期一：十五点 二分。.vr 表示对免疫的死亡率的风险估计不免疫被可能被感染的收益为：im量化个体对疾病行为的敏感性，r表示被感染带来的死亡率。( ),0vnEffIE令如果抽样的则采取接种，否则不接种第41页/共46页第四十二页，编辑于星期一：十五点 二分。0E当时，0E当时，-x(1)( )(1)vnvidxkxxffIkxxrrmIdt其中，x表示接种者的相对比例，（1 ）就是不接种的比例，是抽样比例， 是一个比例参数。经过令k=得到：再和SIR模型结合就得到：=,/vivkrmrr令第42页/共46页第四十三页，编辑于星