多元函数微分学的几何应用24206学习教案

1、会计学1多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用24206第一页，编辑于星期一：十六点 三十一分。已知平面光滑曲线切线方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为故在点),(00yx切线方程法线方程在点有有因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页第二页，编辑于星期一：十六点 三十一分。一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面第2页/共26页第三页，编辑于星期一：十六点 三十一分。过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停第3页/

2、共26页第四页，编辑于星期一：十六点 三十一分。切线方程切线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 TMM第4页/共26页第五页，编辑于星期一：十六点 三十一分。此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线在M点的切向量切向量 .如个别为0, 则理解为分子为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明: 若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 则 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量.o)(trT第5页/共26页第六页，编辑于星期一：十六点 三十一分。zyxo求

3、圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解: 由于对应的切向量为在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),0,(kRT, 故第6页/共26页第七页，编辑于星期一：十六点 三十一分。光滑曲线当曲线上一点, 且有时, 可表示为处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, 100 xxT第7页/共26页第八页，编辑于星期一：十六点 三十一分。则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有)(0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页第九页，编辑于星期一：十六点 三十一分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解方程组两边对 x 求导,

4、得解得例例2. 求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 第9页/共26页第十页，编辑于星期一：十六点 三十一分。切线方程即法平面方程即曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 MMxzxyTdd,dd,1第10页/共26页第十一页，编辑于星期一：十六点 三十一分。设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tt

5、tT第11页/共26页第十二页，编辑于星期一：十六点 三十一分。MT机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,0得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 ,从而切平面存在 .并称 为 在M处的法向量nn第12页/共26页第十三页，编辑于星期一：十六点 三十一分。曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程),(000zyxFxMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 第1

6、3页/共26页第十四页，编辑于星期一：十六点 三十一分。曲面时, 则在点故当函数 法线方程法线方程令在点有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页第十五页，编辑于星期一：十六点 三十一分。在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n第15页/共26页第十六页，编辑于星期一：十六点 三十一分。例例4 4 求曲线 上点P(1,2,-1)处的切线方程.

7、解解 曲线在P点处的切线就是在该点处这两个曲面的切平面的交线. 设曲面 则P处的法向量: =曲面 的切平面方程为:平面,其切平面就是它自己.故所求切线方程为:n第16页/共26页第十七页，编辑于星期一：十六点 三十一分。在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有22第17页/共26页第十八页，编辑于星期一：十六点 三十一分。1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程

8、)(00 xxt1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量)( )(00yyt0)(00zzt机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(000tttT第18页/共26页第十九页，编辑于星期一：十六点 三十一分。切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量)(0 xx )(0yy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T第19页/共26页第二十页，编辑于星期一：十六点 三十一分。空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(, ),(, ),(

9、000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第20页/共26页第二十一页，编辑于星期一：十六点 三十一分。空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 ,(yxffn第21页/共26页第二十二页，编辑于星期一：十六点 三十一分。1. 如果平面与椭球面相切,提示提示: 设切点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)第22页/共26页第二十三页，编辑于星期一：十六点 三十一分。证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点则通过此 作业作业 P45 2，3，4，5，8，9，10第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为第23页/共26页第二十四页，编辑于星期一：十六点 三十一分。与定直线平行,证证: 曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 (n(l,0nl第24页/共26页第二十五页，编辑于星期一：十六点 三十一分。