一次函数压轴题专题突破9：一次函数与菱形(含解析)

1、一次函数压轴题之菱形1 .如图1,在平面直角坐标系中，直线AC: y=- 3x+3,区与直线 AB： y= ax+b交于点A,且B ( - 9, 0).(1)若F是第二象限位于直线 AB上方的一点，过 F作FH AB于E,过F作FD/ y轴交直线AB于D, D为AB中点，其中 DFF的周长是12+4,月，若M为线段AC上一动点，连接 EM求 EM+1' MC的最小值，此时10y轴上有一个动点 G当|BG-MG尺大时，求 G点坐标；(2)在(1)的情况下，将4 AOCg O点顺时针旋转60°后得到 A OC',如图2,将线段OA沿着x轴平移，记平移过程中的线段OA

2、9;为OA，在平面直角坐标系中是否存在点P,使得以点O',A，E, P为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. AOB替直线AB折F的坐标；E是x轴上一点,2 .如图1,直线y=-_1x+6与y轴交于点 A,与x轴交于点 D,直线AB交x轴于点B, 叠，点O恰好落在直线 AD上的点C处.(1)求OB的长；(2)如图2, F, G是直线AB上的两点，若 DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点(3)如图3,点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且 巳Q均在第四象限，点 若四边形PQD叨菱形，求点E的坐标.3 .如图，在平面直角坐标系中，直线 l: y

3、=-返*+2诟与x轴、y轴分别交于点 A, B,将点B绕坐标原点。顺时针旋转60°得点C,解答下列问题：(1)求出点C的坐标，并判断点 C是否在直线l上；(2)若点P在x轴上，坐标平面内是否存在点 Q,使彳导以P、C Q A为顶点的四边形是菱形？若存在，请4 .如图，直线li： y=-_x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线 上：y=kx-6交于点C (4, 2)(1)求直线li和直线12的解析式；(2)点E是射线BC上一动点，其横坐标为 m,过点E作EF/ y轴，交直线l 2于点F,若以。B E、F为 顶点的四边形是平行四边形，求m值；(3)若点P为x轴上一点，则在平面直角坐

4、标系中是否存在一点Q,使彳导以P、。A B为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.5 .如图1,矩形OABC勺边OA OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8, 4),将 AOCg对角线AC翻折得 ADC AD与BC相交于点E.(1)求证： CD总 ABE;(2)求E点坐标；(3)如图2,若将 ADCg直线AC平移彳A D' C (边A C始终在直线 AC上),是否存在四边形 DD C' C为菱形的情况？若存在，请直接写出点C'的坐标；若不存在，请说明理由.6 .如图，直线li： y=-Lx+b分别与x轴、y轴交于 A、B两点，与直线12

5、： y= kx - 6交于点C (4, 2).2(1)求A点坐标及k, b的值；(2)在直线BC上有一点E,过点E作y轴的平行线交直线12于点F,设点E的横坐标为m,当m为何值时，以。B E、F为顶点的四边形是平行四边形；(3)若点P为x轴上一点，在坐标系中是否存在一点Q,使得P、Q A B四个点能构成一个菱形？若存在，求出所有符合条件的 Q的坐标；若不存在，请说明理由.7 .在平面直角坐标系中，BC/ OA BC= 3, OA= 6, AB= 3。亏(1)直接写出点B的坐标；(2)已知D E分别为线段 OC OB上的点，OD= 5, OE= 2BE,直线DE交x轴于点F,求直线DE的解析式；

6、(3)在(2)的条件下，点 M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点 N,使以。D> M N为顶 点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.8 .如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y=- x+b与坐标轴交于 C, D两点，直线AB与坐标轴交于A, B两点，线段 OA OC的长是方程x2 - 3x+2 = 0的两个根(OA> OC .(1)求点A, C的坐标；(2)直线AB与直线CD交于点E,若点E是线段AB的中点，求直线 AB的解析式；(3)在(2)的条件下，点 M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N,使以点B, E, M N为顶点

7、的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系中，直线AB中点.x+b分别与x轴、y轴交于点A B,且点A坐标为（8, 0）,点C为M的横N使（1）请直接写出点 B坐标（, ）.（2）点M为x轴上的一个动点，过点 M作x轴的垂线，分别与直线 AR直线OC交于点P、Q设点 坐标为m,线段PQ的长度为d,求d与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围.（3）在（2）条件下，当点 M在线段OA （点M不与。A重合）上运动时，在坐标系内是否存在一点 得以。R P、N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出N点的坐标若不存在，请说明理由.10 .如图，平

8、面直角坐标系中，直线 l分别交x轴、y轴于A、B两点(OA< OBB且OA OB的长分别是一元二次方程x2-(始+1) x+«=0的两个根，点 C在x轴负半轴上，且 AB: AG= 1: 2(1)求A C两点的坐标；(2)若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线 CB运动，连接AM设ABM勺面积为S,点M的运 动时间为t,写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.11 .如图，平面直角坐标系中，矩形OABC勺对角线AC= 12

9、, Z ACO= 30° ,(1)求R C两点的坐标；(2)把矩形沿直线 DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F,求直线DE的解析式；(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点 N,使以。F、M N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直 接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.12 .如图，已知点 A( - 12, 0), B (3, 0),点C在y轴的正半轴上，且/ ACB= 90° .(1)求点C的坐标；(2)求RtACB的角平分线CD所在直线l的解析式；(3)在l上求出满足&PBC= S ABC的点P的坐标；(4)已知点M在l上，在平面内是否存在点 N,使

10、以。C M N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接 写出点N的坐标；若不存在.请说明理由.13 .如图，在平面直角坐标系中，？ OABC勺顶点A在y轴的正半轴上，顶点 B在x轴的正半轴上，对角线AC OB交于点 D,且OA OB的长是方程 x2 12x+32= 0的两根(OAc 08.(1)求直线AC的函数解析式；(2)若点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿射线 AC运动，连接OP设OPD勺面积为S,点P的运 动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)若点M是直线AC上一点，则在平面上是否存在点 N,使以A、R M N为顶点四边形为菱形？若存在， 请直接写出点N的坐标

11、；若不存在，请说明理由.14 .如图，在平面直角坐标系中， 直角梯形OABC勺边OC OA分别与x轴、y轴重合，AB/ OC Z AOG= 90° , ZBCO= 45° , BC= 12 施，点 C 的坐标为(-18, 0).(1)求点B的坐标；(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y正半轴于点E,且。巳4,。氏2BD,求直线DE的解析式；(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q使以O E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.15 .在平面直角坐标系中，点A B分别在x轴、y轴上，线段OA OB的

12、长(OA< OB是关于x的方程-(2m+6 x+2m2=0的两个实数根，C是线段AB的中点，OC= 3后 D在线段OC上，。&2CD(1)求OA OB的长；(2)求直线AD的解析式；(3) P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q使以。A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.16 .如图，在RtOAB中，/A= 90° , Z ABO= 30° , OB=22Li ,边AB的垂直平分线 CD分别与AR x轴、y轴交于点C、G D.(1)求点G的坐标；(2)求直线CD的解析式；(3)在直线CD上和平面内是否分别存在点。P,使

13、得以。D P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.17 .已知直线 y=Jlx+4；n与x轴、y轴分别交于 A B两点，/ ABG= 60° , BC与x轴交于点 C.(1)试确定直线BC的解析式.(2)若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与 A C重合)，同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合)，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点 Q的运动速度是每秒 2个单位长度.设 APQ的面积为S, P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(3)在(2)的条件下，当/ APQ勺面积最大时，y轴上有一点M,平面

14、内是否存在一点 N,使以A、Q MN为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.18 .如图，在平面直角坐标系中，已知点A为第二象限内一点，过点 A作x轴垂线交x轴于点B,点C为x轴正半轴上一点，且 OB OC的长分别为方程 x2-4x+3=0的两根(OM OC .(1)求R C两点的坐标；(2)作直线AC,过点C作射线CE，AC于C,在射线CE上有一点M (5, 2),求直线AC的解析式；(3)在(2)的条件下，坐标平面内是否存在点Q和点P (点P在直线AC上)，使以O C P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由.19 .如

15、图，在平面直角坐标系中， 点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA OB的长(0Av OB是方程x2-18x+72 =0的两个根，点 C是线段AB的中点，点D在线段OC上，。&2CD.( 1 求点 C 的坐标；(2)求直线AD的解析式；(3) P是直线AD上的点，在平面内是否存在点 Q使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由1 .【解答】解：(1)由AC: y=- 3x+3%值得：点A、C的坐标分别为：(0, 3%年)、0),则 tan / AC(O=_S=3= tan a ,则 cos a = YJi2,CO10点 B ( 9, 0),

16、点 A (0, 3jl),则直线AB的表达式为：y = gx+3"fj,同理 tan /ABC=浮，则/ ABO= 30° , / BAO= 60° ,-. FE±AB, FD/ y 轴，则/ F= Z ABO= 30° ,设：DE= s,贝U DF= 2s, EF=依s, 4DFF 的周长是 12+娟, 则 s+2s+J5s = 12+4J3,解得：s = 4,D为AB中点，则点D ( - 9 , 耍s=ED= 4,贝U Xe- Xd= DEcos30° 二2初,贝U点 E ( 1-+2M,号;+2),过点C作x轴的垂线、过点 M作

17、y轴的垂线，两垂线交于点 H,0 却则/ HMC= / ACO= a ,则 MH= MCcos” =逗To-MCMC最小,当点E、M H三点共线时， EM+MHEM+凶10贝U yM= yE=点M在直线AC上，则点M+2),作点M关于y轴的对称点M'(+2)，连接BM交y轴于点G,则点G为所求,此时|BG- MG最大,将日M的坐标代入一次函数表达式:y= kx+b,解得：b=7193+502233337故点G的坐标为：（0,7193+502 273）；综上，EM+一-103337MC最小值为： L-d号，G的坐标为：（0,7.5022®；33379, 2)或6-3, - 2)

18、.（2）将 AOCg O点顺时针旋转60°后得到 A OC',则4OAA为边长为4的等边三角形，则点 A （L，巨1）,设线段OA沿着x轴平移了 m个单位,而点E (一-+英旱上乙+2),则点o'、a"的坐标分别为（m 0）、姝EO当O' A形的边时,直线OA和直线AB的倾斜角都是30,故 O A / OAAB,则 EP (P' ) = O' A = OA= 3值,贝U xp - xe= 3 J§cos30 °故点 P (2、值，2+3/3),同理点 P' ( - -9, 2);2当O' A形的对角

19、线时,b+2>/3=+2ni22设点 P (a, b),由中点公式得：a -2+ ¥+2) 2,而 EO= EA 即：(一+m+_ 2>/3) 2+2?= (+2V 城故：a= 63, b= - 2,则点P (6b3, 2);综上，点P坐标为：（2代，2+3J1）或（32 .【解答】解：(1)对于直线y=-3x+6,令x= 0,得到y=6,可得A (0, 6),4令y=0,得到x=8,可得 D (8, 0),.AC= AO= 6,0氏8，ad/oA2-H3D2= 10, .CD- AD- AO 4,设 BO 0B= x,贝 U BD- 8- x,在 Rt BCDP, BC

20、+CD= BD2,x +4 = ( 8 x),.B (3, 0).(2)设直线 AB的解析式为y = kx+6,- B (3, 0),.-3k+6 = 0, k = - 2,直线AB的解析式为y= - 2x+6,作G® x轴于 M FN x轴于N,图2 /. DFG等腰直角三角形，.DG= FD, /1 = /2, Z DMG= / FND-90° ,.DM年 FND ( AAS , .GM= DN DM= FN,设 GM= DN= m DM= FN= n,.G F在直线AB上，贝U: m= - 2 (8-n) +6, - n=-2 (8-nj) +6,解得：m= 2, n

21、 = 6 .F (6, 6).（3）当点E在y轴左侧时，如图，设Q （a,一等a+6）,. PQ/ x轴，且点 P在直线y= - 2x+6上,，DH a- 8, Q+ .a- 6,由勾股定理可知： QH DH DQ= 3: 4: 5,QH= 5DQ= 5a,oa=3-a - 6, 4a= 16,.Q (16, - 6) , P (6, - 6),. ED/ PQ ED= PQ D (8, 0),.E (- 2, 0).当点E在y轴右侧时，同理可得：点E (3.4 , 0)(舍去)；故点E的坐标为(-2, 0).3.【解答】解：（1）设旋转后OB所在的直线 m与直线l交于点C',则点A、

22、B的坐标分别为（6, 0）、（0, 2代），则 AO= 6, OB= 26,tan Z QBA=J= J3,则/ OBA= 60° , / OAB= 30° , OB而/ BOC = 60° ,则OBC为等边三角形，即： OC = OB即点C'为点B旋转后对应的点，即点 C在直线l上，则点C、C'重合,/AOC = 90-/ BOC = 30° =/ OAB 而/ OBA= / BOC = 60° ,则 OC = AC = BC ,贝U OC 是 RtABC的中线，贝U xc ="-OA= 3, yc = OB= &#

23、39;y3,故点C' （C）的坐标为（3, «）;（2）存在，理由：点A、C的坐标分别为（6, 0）、（3,小）,则AC= 2/2,当AC是菱形的一条边时，当点Q在x轴上方，当菱形为ACQP寸，则 AC= AP= 2V3= CQ 则点 Q （3+2日，近）;当菱形为ACQ P'时，点 Q' （3 2。近,当点Q在x轴下方，同理可得：点 Q' （3, - J&）；当AC是菱形的对角线时， 设点 P （s, 0）,点 Q （n n）,则AC的中点即为 PQ的中点，且 PA= PC（即：PA2=PC2）, ，s+m= 9, n+0 = V§

24、, (s - 3) ?+ (/§) ?= ( 6 - s) ?,解得：m= 5, n = Jlj, s=4,故点Q （5,年；综上，点Q坐标为：（3+2J与，心）或（3- 2、/,V3）或（3, - V3）或（5,代）.4.【解答】解：（1）将点C的坐标代入li、I2表达式得：2= - X 4+b, 2= 4k - 6,2解得：b= 4, k = 2,故直线li和直线12的解析式分别为：y = - x+4, y=2x-6,则点A、B的坐标分别为（8, 0）、（0, 4）;（2）设点 E （ m -亍m+4，点 F （ m, 2m- 6）,当以。R E、F为顶点的四边形是平行四边形时，

25、则 EF= OB 即 | 二m+4 2m+6|=4,28到/曰 12 .28斛得： m=-或-;55（3）当AB是菱形的一条边时，则 AP= AB=的2十产4店,则点 P 的坐标为（8+475, 0）或（8-4/5, 0）或（-8, 0）, 则点 Q （4,店，4）或（-4-历,4）或（0, - 4）;当AB是菱形的对角线时，设点 p（m 0）,点 Q （s, t）,由中点公式得：8= m+s, 4 = t，由菱形性质知： PA= PB得：（m- 8） 2=m2+16，联立并解得：t = 4, s = 5,故点 Q (5, 4),综上，点Q (4、氐4)或(-气月，4)或(5, 4)或(0,

26、- 4).5.【解答】解：(1)证明：二四边形 OABa矩形，AB= OC /B=/AOC= 90° ,.C况 oc= ab, / a N AOC B B,又 / CED= /ABE CD® ABE (AAS , .CE= AE;(2) B (8, 4),即 AB= 4, BC= 8. ,设 CE= AE= n,贝U BE= 8-n,可得(8 - n) 2+42= n2,解得：n=5, E (5, 4);(3)设点C在水平方向上向左移动 m个单位，则在垂直方向上向上移动了当个单位,则点C'坐标为(-m, 4 .°m),则四边形DD' C'

27、C为菱形， CC 2=(-0) 2+ (m) 2= n2 = CD2= 16,24故点C'的坐标为(一姿，4上")或(理4-电5).55556.【解答】解：(1)将 C (4, 2)代入 y=kx-6, y= -1-x+b得：2= 4k-6, 2 = X 4+b,解彳导:k= 2, b= 4，直线 l i: y = - -x+4,直线 12: y = 2x - 6在 y = - -x+4 中，令 x= 0,得 y = 4, B (0, 4)令 y= 0,得 0=-母x+4，解得：x= 8, . A (8, 0);(2)设 E (m, m+4),贝U F (m, 2m- 6),

28、kil如图 1,当 0WmC 4 时，EF= 10Vlr，四边形OBEF平行四边形.OB= EF即 4= 10苴可，解得：m=,21r5如图2,当m>4时，.四边形OBF比平行四边形.OB= FE,即 4=mi- 10,解得：mi=,25m=-3或 m=s55(3)存在.如图3,当以AB为边时，点 A (8, 0) , B (0, 4)AB=+4、= 4'区 以P、Q A、B为顶点的四边形是菱形.AP= AB= 4 , .P （8-4运,0）或 P （8+4收，0）, Q （- 4心 4）或（4西，4）,当Q与B关于原点对称时，Q （0, - 4）也存在满足条件的菱形,当以AB为

29、对角线时，设对角线的交点为 M则M （4, 2）,因此设 AP= BP= x,则 OP= 8-x, 在 RtABOF,4之+ （8 - x） 2 = x2,解得：x= 5, .P （3, 0）,则 Q （5, 4）,综上所述，符合条件的 Q的坐标为：Q （-烟,4）或（4巧，4）或（5, 4）或（0, - 4）.图之%7 .【解答】解:.AG= OA OG= OA- BC= 6-3=3,在RtABG中，由勾股定理可得 AE2=AC2+BG,即（即三）2= 32+BG,解得BG= 6, .OO 6,B (3, 6);(2)由。氏5可知D (0, 5),. B (3, 6), O± 2B

30、E E (2, 4),设直线DE的解析式是y=kx+b _J_把 D (0, 5) E (2, 4)代入得 - 2 ,>=5直线DE的解析式是y=-Lx+5;2(3)当OM菱形的边时，则 MNk OD= 5,且MN/ OD ,M在直线DE上， 设 M (t, - -i-t+5 ),当点N在点M上方时，如图 2,则有。阵MN . oM= t2+ ( - -1+5 ) 2,12+ (t+5 ) 2=52,解得 1=0或1=4,当t = 0时，M与D重合，舍去，.M (4, 3), NI (4, 8);当点N在点M下方时，如图 3,则有 MD= OD= 5, 1- 12+(yt+5 5) 2=

31、 52,解得 t = 2V或 t = - 2。5, j-l当t = 2、工时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去,，M (- 2祈，立+5), N (- 2遍，的)；图3当OD为对角线时，则 MN直平分 OD 点M在直线y=2.5上，在 y = - -x+5 中，令 y = 2.5 可得 x=5, .M (5, 2.5 ),. Ml N关于y轴对称, N (- 5, 2.5 ),综上可知存在满足条件的点N,其坐标为(4, 8)或(-5, 2.5)或(- /，艮.8.【解答】解：(1) x2 - 3x+2 = (x1) (x 2) =0,xi = 1, x2= 2, .OAO OG .OA 2,

32、OG= 1,.A (2, 0), C (1, 0).(2)将 C (1, 0)代入 y=- x+b 中，得：0= - 1+b,解彳导:b= 1, 直线CD的解析式为y=-x+1. 点E为线段AB的中点，A (-2, 0), B的横坐标为0, .点E的横坐标为-1. 点E为直线CD上一点， E (T, 2).设直线AB的解析式为y=kx+b,则有2kW。解得b=4，直线AB的解析式为y=2x+4.(3)假设存在，设点 M的坐标为(m, - m+1),以点B, E, M, N为顶点的四边形是菱形分两种情况(如图所示)：以线段BE为边时，丁 E(- 1, 2), A (-2, 0), E为线段AB的

33、中点, B (0, 4),BE=二 A"V?+4=亦，四边形BEMN菱形，EM= BE或 BE= BM当 EM= BE时，有 EMCml 产+(二十 1_2。=昵=二,解得：m=2上,m2二土运，22，M (及质,2+巫或2叵),2222- B (0, 4), E ( 1, 2),- N (-运，4+巫)或(圾，4-逗);2422当BE= BM寸，有BM=dco )十1一4)tBE=可向十1 )2十(+_2产,解得：m3= - 1 (舍去)，m=- 2,- M (- 2, 3),- B (0, 4), E ( 1, 2), .N (- 3, 1);以线段BE为对角线时，MB= ME-

34、 J(nr+1 )2+(=皿+1-2) * = Zm2+(-in+l-4) 2'- B (0, 4), E ( 1, 2),，N (0T+工，4+2 -),即22).综上可得：坐标平面内存在点N,使以点B, E, M N为顶点的四边形是菱形，点一 一，旦 一，9.【解答】解：(1)二直线y=-±x+b过点A (8, 0), 4N的坐标为(-士电,4+2，0=-6+b,解得：b=6,直线AB的解析式为 y= - -x+6.4-3令 y = "x+6 中 x=0,贝U y = 6,4.点B的坐标为(0, 6).故答案是：(0, 6).(2)依照题意画出图形，如图 3所示

35、. A (8, 0), B (0, 6),且点 C为 AB的中点, .C (4, 3).设直线OC勺解析式为y=kx (kw0), 工则有3=4k,解得：k = q,4直线OC勺解析式为y = -x.4点P在直线AB上，点Q在直线OC上，点P的横坐标为 m, PQLx轴,当mK 4时，d =”+6一” - 一m+6当 no 4 时，d= nn-(- 3m+6 = mi- 6.I-1-ni+6 (nrC4)(nC>4.)(3)假设存在，设点 P的坐标为(n, - n+6) (0vnv8).4 点P在第一象限， 以O, B, P, N为顶点的四边形为菱形有两种情况：以BP为对角线时，如图4所

36、示. 四边形 OPN斯菱形，B (0, 6),OP= OB= 6 = Jr?+(1n+6)2,解得：n=±碧或n = 0 (舍去)，25，点P，点N学丝)，2525i+0- 0, 6+圭- 0),即(型M -lL)25252525以OP为对角线时，如图5所示.PN/ OB PN= ON= OB= 6.2=62. .MN= PN- P隹在直角 onm , oM+mN = oN,即 m+ (二m)4解得此时当OB为对角线时，N ( - 4, 3).综上得：当点P在线段AB(点M不与A B重合)上运动时，在坐标系第一象PM内存在一点N,使得以Q B,，,一， ，一一，11441 192,

37、124 I1R ,P, N为顶点的四边形为菱形，N点坐标为(3背，耳含)或(等，-苦)或N(- 4, 3).2525 I 5510.【解答】解：(1) X2- ( J5+1) x+/3=0,(x - /-3) ( X - 1 ) = 0 ,解得X1 =芯，X2= 1 ,. OA< OB. .OA= 1, OB= .A (1, 0), B (0,心)，.AB= 2,又 AB: AC= 1 : 2,.AC= 4,.C (3, 0);(2) AB= 2, AC= 4, BC= 243,.AE2+BC2=AC2，即/ ABC= 90° ,由题意得：CMk t , CB= 2/j.当点M

38、在CB边上时，S= 2V3- t （0<t<2V3）；当点M在CB边的延长线上时，S=t-20 （t >2/3）；（3）存在.当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形APQB中，Q* AO= 1,所以Q点的坐标为（-1, 0）,在菱形ABRQ中，AC2=AB= 2,所以Q点的坐标为（1,2）,在菱形ABBQ中，AQ=AB= 2,所以Q点的坐标为（1, -2）,当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形APBQ,设菱形的边长为 x,则在 RtARO中，AR2 = AC2+P4O2,即 x2=12+ （J3 - x） 2,解得 x=2Zl" ,11.【解答】解：（1）在直角 O

39、AC中，tan / AC氏丹 =.设 OA= V；>,则 OC= 3x,根据勾股定理得：（3x） 2+ （心）2=AC2,即 9x2+3x2= 144,解得：x=2j医.故C的坐标是：（6J& 0）, B的坐标是（6年，6）;（2）直线AC的斜率是：-则直线DE的斜率是：F是AC的中点，则F的坐标是（3J1, 3）,设直线DE的解析式是y=J&x+b,贝U 9+b =3,解彳导:b= - 6,则直线DE的解析式是：y = V3x- 6;(3) OF= yAC= 6,直线DE的斜率是：V3DE与x轴夹角是60° ,当FM是菱形的边时（如图 1）, ON/ FM则/

40、 NOC= 60° 或 120° .当/ NOC= 60° 时，过 N作 NGLy 轴，则 NG= ON? sin30 ° = 6X= 3,OG= ON? cos30 ° =6X 当=3jl,则 N 的坐标是（3, 3）；当/ NOC= 120°时，与当/ NOC= 60°时关于原点对称，则坐标是（-3, - 3值）;当OF是对角线时（如图 2）, MN关于OF对称.F的坐标是（36,3）, ./ FOD- / NOF= 30° ,在直角 ONH,。用3, ON=作NL, y轴于点L.在直角 ONL中，/ NOL=

41、 30° ,则 NL= =ON= 6,2OL= ON? cos30 ° = 2詹XT当DE与y轴的交点时M这个时候N在第四象限，此时点的坐标为：（乳吗，-3）.则N的坐标是：（3 6, - 3）或（3, 3、底或（-3, - 3北）或（13, 3）.QC Jt/图112.【解答】解：(1)由 AO。 COB 可得 OC = OA< OB= 36, .OG= 6又.点C在y轴的正半轴上，.点C的坐标是(0, 6);(2)过点D作D已BC于点E.设DB的长为 m在 RtDEB中,DE= DE?sinB=m?在 RtDEC中，/ DCE= 45° ,于是 =mmL

42、B> BE= DB? cosB=2iAB 55CE= DE=m5由 CE+BE= BC,即力 5 m+m= 3d 5,解得 m= 555又由OA>OB知点D在线段OA±, OB= 3,所以OD= 2,故点D(-2, 0);y= kx+b,把 C (0, 6)和 D ( 2, 0)代入 y= kx+b 中,设直线l的解析式为:故直线l的解析式为：y= 3x+6;(3)取AB的中点F ( - 4.5 , 0),过点F作BC的平行线交直线l于点Pi,连接CF.易知 S/ pibc= Sa fbc= JSa acb, ，点Pi为符合题意的点.直线PiF可由直线BC向左平移BF个单

43、位得到（即向左平移 7.5个单位）而直线BC的解析式为y=-2x+6,即直线PiF的解的式为y= - 2 （x+7.5 ） +6即y = - 2x 9,由产-2工-9¥=取十6得点 Pi (-3, - 3)在直线l上取点 B使CB=CP,此时有 S-2BC=&P1BC=，点符P2合题意.由CR=CR,过Pi点作PiMMQ垂足为 M 过 B点作P2NI± NQ垂足为 N,由CB=CP易知 MC= NCS ABC；可得点P2的坐标为(3, i5), 点P ( - 3, - 3)或P (3, i5)可使S"b（4）当OC是菱形的对角线时（如图i所示），OC的中点

44、的坐标是（0, 3）,则把y=3代入l的解析式得:3x+6 = 3,解得：x = - i.则M的坐标是（-i, 3）, N的坐标是（i, 3）;22当CM菱形的对角线时（如图 2所不）,此时MO= CO设M2的坐标为（m 3m+6）,所以m+ （3m+6）=62,解得 mi= ,则 M （, 7）,又 MNb / OC且 M>N2= OC 易知 N2 （ ,春）；当OC CM匀为菱形的边时，此时 MN3=CO设M的坐标为（m 3m+6）,所以m2+ （3m+6- 6） 2=62,解/曰 3<io 晒工 曰廿2七的在小/9/io A z sVio 415、信 mn=-或-, 勿知 N

45、 点的坐标为（ -, -） 或（-,-）.综上所述，N的坐标是（1, 3）或（-普，）或（笔°，13.【解答】解：（1）OA OB的长x2 12x+32 = 0的两根，OA< OB.OA= 4, OB= 8,点 A 坐标为（0, 4）,点 B 坐标为（8, 0）,又四边形ABCD平行四边形,，可得点C的横坐标等于点 B的横坐标，点C的纵坐标等于点 A的纵坐标的相反数,故点C的坐标为（8, - 4）,解得:k=-lb-48k-H>=-4,b=4设直线AC的解析式为：y = kx+b,则,故直线AC的解析式为：y=-x+4;（2）由（1）可得OB= 8,根据平行四边形的性质可

46、得点D坐标为（4, 0）,当点P在线段AD上时，此时tv4a;即 OA= OD/ OAD= Z ODA= 45° , AD= 4' 2,过点P作PH OA PH OB则可得 AP= t , 在RTA AEP中，EP= *t ,即点P的横坐标为点P在直线AC上，.点P的纵坐标为：- 当t+4，此时 S»A OPD Otx P 纵坐标=8 -赤(t<4&);当点P在射线DC上时，此时t >4/PD= AP- AD= t - 4-/2,在 RTA PDW, PM DPcosZ DP阵 DPX=t-4,22此时 Saop- -,-OtX P纵坐标= V2

47、t - 8 （t > 4如）；(3)存在符合题意的点 N的坐标.当 AB= AM时，在 RT-A MA毋,MH= AMcos/ MAH AMcos/ ADO= 2/15, A+ 2/U),故我M的坐标为(-2JU 4+2%领)，又 MN¥行且相等AB设点 N坐标为(x, y),贝 ( x+0, y+4) = (- 2、/1工+8, 4+27T5+0) .x = 8 - 2T10, y = 2,730,.点N的坐标为(8-2,415, 2百&.当BM= AB时，P4.V设点M坐标为(x, - x+4),点N坐标为(a, b), 四边形 ABMN菱形，点 A (0, 4),

48、点 B (8, 0), 1 (x+0, - x+4+4) = ( a+8, b+0),a= x 8, b= x+8,即点 N坐标为(x 8, x+8),又 BM= AB= 4 ,二，小丁8）2十（一翼+4-0）2=气门'解得：x=12或x=0,故此时点N的坐标为（4, - 4）或（0, 4）;当AB为对角线时，设点M坐标为（x, - x+4）,则点N坐标为（8-x, x）,.此时 AM= AN,2,即可得：i+（-1+4-4） =，软厂0）,十工解得：x则此时点N的坐标为（143综上可得符合题意的点 N的坐标为（8 - 2-/1Q, 2/10）或（0, 4）或（4, - 4）或（103

49、);14.【解答】解：（1）过点B作BF, x轴于F在RtBCF中. / BCO= 45° , BC= 12 .'： .CF= BF= 12 . C的坐标为(-18, 0).AB= OF= 6.点B的坐标为(6, 12).(2)过点D作DGLy轴于点G,1. AB/ DG9OB匹=1，AB= 6, OA= 12,OA 3，DG= 4, OG= 8, D (- 4, 8), E (0, 4)设直线DE解析式为y=kx+b (kw0)，直线DE解析式为y = - x+4.(3)结论：存在.设直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,则E (0, 4), F (4, 0),

50、OE=。已4, EF= 4历. 如答图2所示，有四个菱形满足题意.菱形OEPQ,此时OE为菱形一边.则有 P1E= P1Q = OE= 4, P1F=EF RE=4&-4.易知 PiNF为等腰直角三角形，. P1N= NF= 峥PF=4-2用；设 PiQ 交 x 轴于点 N,则 NQ= P1QP1N= 4- (4 - 2,/2) =2/2,又 ON= OF- NF= 2V2,Q (2-厄-2/2)；菱形OEPQ,此时OE为菱形一边.此时Q与Q关于原点对称，Q ( - 2/2, 2、回；菱形OEGP3,此时OE为菱形一边.此时P3与点F重合，菱形 OEGP3为正方形，Q (4, 4);菱

51、形OPEQ,此时OE为菱形对角线.由菱形性质可知，P4Q为OE的垂直平分线，由OE= 4,得P4纵坐标为2,代入直线解析式 y=-x+4得横坐标为2,则P4 (2, 2),由菱形性质可知，P4、Q关于OE或y轴对称，Q (-2, 2).综上所述，存在点 Q使以。E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点 Q的坐标为：Q (2/2, 2叵,Q ( 2/2, 2n), Q (4, 4), Q ( 2, 2).15.【解答】解：（1） AEl= 2OC=d/G .0K+0g=AE2=（6） 2 =180,2 . OA+OB= 2m+6 OA 0B= 2m,，_2_ _（OA+OB - 20AX 0B= 18

52、0,即（2m+ 2- 4ni= 180,m= 6,即方程为 2 - 18x+72 = 0, . X1 = 12, X2 = 6, . 0A< OB.-0A= 6, 0B= 12.（2）过 C作 CML OA于 M,过 D作 DNL OA于 N,. CM/ OB.,ICM=AC=M=l,Ofi AB OA 2 . O上 6, OB= 12, .CW 6, AW 3, O阵 3, C (3, 6), .OD= 2CD,DN=OD = ON=2?CM OC OM 3，Dg 4, ONk 2, D (2, 4),设直线AD的解析式是y= kx+b , A (6, 0),代入得：产依"1

53、. 4=2k-bb解得：k = - 1 , b= 6,直线AD的解析式是 y=-x+6.(3)设直线y= - x+6交y轴于F,把 x= 0 代入 y = - x+6 得：y = 6,.F (0, 6), OF= 6= OA由勾股定理得：AF= 6分为两种情况：以OA为一边时，如图，共有 3个点，如图，AP OA= AP' =6, RT/ OA/ KQ 点Q在点T、K点时，以Q A、P (P' )、Q为顶点的四边形是菱形，,. A (6, 0), O之 OA.-OP= 6= PR= PT,此时Q的坐标是(6, 6),过 P'彳P' hl± OA于 H,AP = 6,由勾股定理得：P' H= AH= 3 '：!,K (3匹-3厄,K