微积分课件：函数的极限

1、 第二章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第二节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为面积为A )边长为边长为(真值真值:;0 x边长边长面积面积2x直接观测值直接观测值间接观测值间接

2、观测值任给精度任给精度 , 要求要求 Ax2确定直接观测值精度确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,0,0当当00 xx时时, 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf当即即,0,0当当),(00 xNx时时, 有有若若记作记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在极限存在(1)函数局部有界函数局部有界(2

3、)极限是唯一的极限是唯一的这表明这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明 : (1)在极限定义中在极限定义中,要求要求00 xx是为了去掉是为了去掉x = x0 的情形。因为函数的情形。因为函数 f(x)当当0 xx 时有没有极限，只与函数时有没有极限，只与函数f(x)在点在点x0附近的取值状附近的取值状态有关而与函数态有关而与函数f(x)在在 x = x0 处的值没有必然的联处的值没有必然的联系，甚至系，甚至f(x)在在x = x0处有没有定义都无关紧要。处有没有定义都无关紧要。（2）显然，正数）显然，正数依赖于预先给定的依赖于预先给定的 ；一般地说一般地说, 给定的给定的越小

4、，越小，也应当随着取得更小。也应当随着取得更小。例例1. 证明证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故故,0对任意的对任意的,0当当00 xx时时 , 0CC因此因此CCxx0lim总有总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明证明1)12(lim1xx证证:Axf)(1) 12(x12x欲使欲使,0取取,2则当则当10 x时时 , 必有必有1) 12()(xAxf因此因此,)( Axf只要只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证证00limxxxx证证:Axf)(0 xx故故,0取取,当当00 xx时时 , 必有必有0)

5、(xxAxf因此因此00limxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证明: 当当时时00 x.lim00 xxxx证证:0 xx Axf)(00 xxxx001xxx,0欲使欲使,)( Axf只要只要,00 xxx且且. 0 x而而0 x可用可用00 xxx保证保证 . 故取故取,min00 xx则当则当00 xx时时, 必有必有0 xx因此因此00limxxxxoxx0 x2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若若,)(lim0Axfxx且且 A 0 ,),(00时使当xNx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知已知,)(lim0Axfxx即即,0, ),(00 xN

6、当当时时, 有有.)(AxfA当当 A 0 时时, 取正数取正数,A则在对应的邻域则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在则存在( A 0 ),(00 xN),(00 xNx),(00 xN0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)(:0A:0A若取若取,2A则在对应的邻域则在对应的邻域上上 若若,0)(lim0Axfxx则存在则存在使当使当时时, 有有 (f(x)与与A同号同号.).2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(00 xN, ),(00 xN),(00 xNx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分

7、析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心邻域内的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且且 ,)(lim0Axfxx则则. 0A)0(A证证: 用反证法用反证法.则由定理则由定理 1,0 x的某去心邻域的某去心邻域 , 使在该邻域内使在该邻域内,0)(xf与已知与已知所以假设不真所以假设不真, .0A(同样可证同样可证0)(xf的情形的情形)思考思考: 若定理若定理 2 中的条件改为中的条件改为, 0)(xf是否必有是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在存在如如 假设假设 A 0 , 条件矛盾条件矛盾,故故时,当0)(xf机动 目录 上页

8、下页 返回 结束 3. 左极限与右极限左极限与右极限(单侧极限单侧极限)左极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf右极限右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因为因为)(lim0

9、 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然显然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 判断以下函数极限的存在性判断以下函数极限的存在性)(lim) 1 (0 xxxxxx1lim)2(0XXAAoxy)(xfy A二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2 . 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数则称常数时的极限时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:Axf

10、A)(XxXx或记作记作直线直线 y = A 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线,0 xxf当)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数为函数例例7. 证明证明. 01limxx证证:01xx1取取,1X,时当Xx 01x因此因此01limxx注注:就有就有故故,0欲使欲使,01x即即,1xoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 .10的水平渐近线为xyyx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线都有水平渐近线. 1y又如，又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的函数极限的或或X定义及应用定义及应用2. 函数极限的性质函数极限的性质: