微积分课件：D4_6图形

1、第六节一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数图形的描绘 第四四章 2xy 无渐近线无渐近线 .点点 M 与某一直线与某一直线 L 的距离趋于的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线若曲线 C上的点上的点M 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时时,则称直线则称直线 L 为为曲线曲线C 的的渐近线渐近线 .例如例如, 双曲线双曲线12222byax有渐近线有渐近线0byax但抛物线但抛物线或为或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo机动 目录 上页 下页 返回 结

2、束 1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若,)(limbxfx则曲线则曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线.by )(x或若若,)(lim0 xfxx则曲线则曲线)(xfy 有垂直渐近线有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲线求曲线211xy的渐近线的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线为垂直渐近线.21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线.bxky)(x或若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)

3、(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(x或)(x或例例2. 求曲线求曲线3223xxxy的渐近线的渐近线 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线3x及及1x又因又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 312 xy二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 : 1. 确定函数确定函数)(xfy 的的定义域

4、定义域 ,期性期性与与有界性有界性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判别列表判别增减增减及及凹凸凹凸区间区间 , 求出求出极值极值和和拐点拐点 ;4. 求求渐近线渐近线 ;5. 确定某些特殊点确定某些特殊点 , 描绘函数图形描绘函数图形 .为为 0 和不存在和不存在的点的点 ;并考察其考察其奇偶奇偶性性、周周机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 描绘描绘22331xxy的图形的图形.解解: 1) 定义域为定义域为, ),(无对称性及周期性无对称性及周期性.2), )2(22xxxxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3

5、)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy133220机动 目录 上页 下页 返回 结束 1231例例4. 描绘方程描绘方程044)3(2yxyx的图形的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,

6、) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线求渐近线,lim1yx为铅直渐近线为铅直渐近线无定义无定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x又因又因xyxlim,4141k即即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点求特殊点xy049241为斜渐近线为斜渐近线4541xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）绘图）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线

7、斜渐近线1x铅直渐近线铅直渐近线4541xy特殊点特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例例5. 描绘函数描绘函数21y22xe的图形的图形. 解解: 1) 定义域为定义域为, ),(图形对称于图形对称于 y 轴轴.2) 求关键点求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极

8、大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线为水平渐近线5) 作图作图4) 求渐近线求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21水平渐近线水平渐近线 ; 垂直渐近线垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法斜渐近线斜渐近线按作图步骤进行按作图步骤进行2. 函数图形的描绘函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 曲线曲线)(1122xxeey(A) 没有渐近线；没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(

9、D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线的渐近线 . 解解: 令令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程 (不讲不讲)x,133ttay3213tta, 1tx时当因因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1 ()1 (312limtttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线所以笛卡儿叶形线有斜渐近线axy机动 目录 上页 下页 返回 结束 1t313tatx3213taty笛卡儿叶形