线代代数课件王继忠编稻谷书苑

1、1教学运用第一章第一章 线性方程组与行列式线性方程组与行列式第二章第二章 矩阵矩阵与线性方程组与线性方程组第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第四章第四章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型第五章第五章* * 线性空间与线性变换线性空间与线性变换2教学运用3教学运用一二元线性方程组与二阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式22221211212111bxaxabxaxa消去未知数消去未知数2x得得212221121122211baabxaaaa消去未知数消去未知数1x得得211211221122211abbaxaaaa当当021122211aaaa时，时， 得方程组（得方程组（1）的

2、）的惟一惟一解：解：;211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax221111baba=22211211aaaa22211211aaaa2212aa21bbdd1dd2主对角线主对角线副对角线副对角线4教学运用二行二列的数表：二行二列的数表：22211211aaaa（2）21122211aaaa称表达式称表达式为数表（为数表（2）所确定的）所确定的二阶行列式二阶行列式，记作记作22211211aaaa即即2 , 1; 2 , 1jiaij元素：元素：2112221122211211aaaaaaaai行标：行标：j列标：列标：对角线法则对角线

3、法则特点：特点：（1）两行两列；）两行两列； （2）含两项）含两项(2!)的代数式；的代数式；（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；（4）一正一负。）一正一负。5教学运用例例1： 求解二元线性方程组求解二元线性方程组1212232121xxxx解：解：1223d, 0743112121d,14121232d,21ddx11, 2ddx22. 3系数行列式系数行列式6教学运用11 1122133121 1222233221 12223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb二二三元线性方程组与三元线性方程组与三阶行列式三

4、阶行列式用消元法，当用消元法，当11223323 321221 3323 311321 3222310aa aa aaa aa aaa aa a时时,方程组的解可以表示为方程组的解可以表示为1223323321223323 31323222 31112233233212213323311321322231b a aa aab aa bab aa bxaa aa aaa aa aaa aa a1123323 31213323311321 32312112233233212213323311321322231ab aa bb a aa aaa bb axaa aa aaa aa aaa aa a1

5、122 32321221 32311213222313112233233212213323311321322231aa bb aaa bb ab a aa axaa aa aaa aa aaa aa a7教学运用定义：三阶行列式定义：三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则322113312312332211aaaaaaaaa特点：特点：（1）三行三列；）三行三列； （2）含六项）含六项(3!)的代数式；的代数式

6、；（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；（4）三正三负。）三正三负。112233233212213323311321322231aa aa aaa aa aaa aa a111213212223313233aaaaaaaaa记记8教学运用11 1122133121 1222233221 12223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb333231232221131211aaaaaaaaa333232322213121aabaabaab1x2x3x333231232221131211aaaaaaaaa333312322

7、113111abaabaaba333231232221131211aaaaaaaaa332312222111211baabaabaa1;dd2;dd3.dd1112132122233132330aaaaaaaaa由消元法可得：由消元法可得：方程组有惟一解方程组有惟一解9教学运用计算三阶行列式计算三阶行列式解：解： d1242213421 22 例例2： 312 4)2()4( 411 )2()2(2 )3(2)4( d4 )6( 32 4 8 24 14 练习：000 xyxzyzabcbcacab0,3333.abcabc10教学运用求解方程求解方程094321112xx解：解：294321

8、11xx23xx418x922x12652xx023.xx或对角线法只适合于二阶或三阶行列式。对角线法只适合于二阶或三阶行列式。【注注】例例3：11教学运用解：解：61233p由由 1,2,n 组成的一个有序数组组成的一个有序数组,称为一个排列称为一个排列 12321nnnpn!n逆序逆序: :按自然序排列，如按自然序排列，如标准次序标准次序: :排列排列 ：2 , 3为一个逆序为一个逆序用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？三位数？例：例：123； 132；213； 231； 312； 321。123-标准序标准序 132；排列数排

9、列数 -6-6个排列个排列一、排列以及逆序数一、排列以及逆序数 在在 n 个元素个元素的任一排列中，的任一排列中，当某两个元素的先后当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就次序与标准次序不同时，就说有说有1个个逆序逆序.例如：例如：12教学运用逆序数为奇逆序数为奇 数的排列叫做数的排列叫做奇奇 排列排列。（偶）（偶）（偶）（偶）计算排列的逆序数的方法：计算排列的逆序数的方法：不妨设不妨设 n 个元素为个元素为1至至 n 这这 n 个自然数，个自然数，并规定由小到大为并规定由小到大为标准次序。标准次序。 设设nppp21为这为这 n 个自然数的一个排列，个自然数的一个排列， 考虑元素考虑元素

10、nipi, 2 , 1 ， 若比若比ip大的大的前面的元素有前面的元素有且排在且排在ipi个，个，就说就说ip这个元素的逆序数是这个元素的逆序数是,i全体元素的逆序数之和全体元素的逆序数之和就是这个排列的逆序数。就是这个排列的逆序数。逆序数逆序数: 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数 1223nnp pp13教学运用例例4： 求排列求排列6342751和和1342756的逆序数。的逆序数。解：解：3的逆序数的逆序数2的逆序数的逆序数1320113121121的逆序数的逆序数2的逆序数的逆序数奇排列奇排列偶排列偶排列,13620311)6342751(. 4110200)13427

11、56(14教学运用练习练习： 求下列各排列的逆序数求下列各排列的逆序数（1）n (n-1) (n-2)3 2 1t =0+1+2+(n-2)+(n-1)2)1( nn（2）1 3 (2n-1) 2 4 (2n-2) 2n t = (n-1)+(n-2)+ +12)1( nn（3）1 3 (2n-3) (2n-1) 2n (2n-2) (2n-4) 2 t = 2+4+6+ +2(n-1)1( nn15教学运用定理定理1 1： 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。证证先证明相邻对换的情形先证明相邻对换的情形设排列为设排列为 laa 1abmbb 1, ba a 的逆序数增加的逆序数增加

12、1, , ba b 的逆序数减少的逆序数减少1, balaa 1mbb 1与与的奇偶性不同的奇偶性不同.balaa 1mbb 1laa 1abmbb 1相邻对换相邻对换mlbbaa,;,11 逆序数不变。逆序数不变。显然显然ba,的逆序数改变：的逆序数改变：而而b 的不变的不变a 的不变的不变6 3 4 2 7 5 1 1 3 4 2 7 5 6 对换对换 相邻对换相邻对换 二、对换二、对换 6 3 4 2 7 5 1 6 3 2 4 7 5 1 16教学运用定理定理1 1： 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论：推论：标准排列的对换次数为偶数。奇排列调成标准排列的对换次数为奇数

13、，偶排列调成5 4 2 3 115243(3,5)（奇）（偶）45213(1,4)（奇）次 12m所以这两个排列的奇偶性相反。所以这两个排列的奇偶性相反。总之，总之，次 1m设排列为设排列为laa 1mbb 1abncc 1laa 1abmbb 1ncc 1laa 1mbb 1abncc 1laa 1mbb 1abncc 1laa 1mbb 1abncc 1次m相邻对换相邻对换再证一般情形再证一般情形 17教学运用333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa(1)每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积；每一项都是位于不同行、不

14、同列三个元素的乘积；(2)当行标按标准序，则各项的正负号为当行标按标准序，则各项的正负号为321321pppaaa带正号的三项的列标排列是：带正号的三项的列标排列是：123、231、312带负号的三项的列标排列是：带负号的三项的列标排列是：132、213、321偶排列偶排列奇排列奇排列1231231231p p ppppaaa分析：分析：共共3!项项可记为可记为3211pppt312213332112322311aaaaaaaaa 111213212223313233aaaaaaaaa18教学运用111212122212nnnnnnaaaaaaaaadetija1212121nnp ppppn

15、pa aa(1) 含有含有 n! 项的代数和；项的代数和；(2) 每一项每一项nnpppaaa2121都是位于不同行、不同列都是位于不同行、不同列的的n个元素的乘积；个元素的乘积；(3) 各项的符号为各项的符号为121np ppdeterminant19教学运用(1)当当 n = 1时，时，一阶行列式一阶行列式 。aa 注意注意1例例:1(2)n 阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为12121nppp ndaaanppp21为行标排列为行标排列的逆序数。的逆序数。20教学运用例例1：计算：计算dcba000000000000000000000000dcbaabcd (4321)( 1)ab

16、cd abcd 1 234123412341p p p pppppa aaa, 11p, 22p. 44p, 33p, 41p, 32p. 14p, 23p21教学运用00000000abcddefgh例例2：计算：计算dacfhadehbdegbcfg解解d是一个是一个4!=244!=24项的代数和项的代数和.,acfh,adehbdeg, bcfg在这在这2424项中项中, ,除了除了其余的项都至少含有一个其余的项都至少含有一个0 0因子因子, ,因而为因而为0.0.这四项之外这四项之外, 上面四项的行标都是按标准序排列上面四项的行标都是按标准序排列,列标依次为列标依次为:1234,132

17、4,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列其中第一个和第三个是偶排列,第二和第四个是奇排列第二和第四个是奇排列.所以所以22教学运用111212221122nnnnnnaaaaada aaa0上三角行列式上三角行列式展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是1212121.nnp ppppnpaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa11121222000nnnnaaaaaa1211 221nnna aa 11 22.nna aa证证 例例3 由于由于i j时，有时，有 ，则，则 0ija 23教学运用

18、12, 11, 2121112, 11 , 11, 2222111, 112111000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa同理：同理：次上三角行列式次上三角行列式 12, 11, 21211nnnnnnaaaa24教学运用作为上三角和次上三角行列式的特例作为上三角和次上三角行列式的特例对角对角行列式行列式 1212; nn 112212 1.n nnn 次对角次对角行列式行列式 25教学运用例例4 计算计算nndn00000000100200010001232100010002001!100000000nnnndnnn 解解 1221!nnn 26教学运用已知已知 ,1

19、211123111211xxxxxf.的系数的系数求求3x例例5解解 1211123111211xxxxxf 对应于对应于1234112234431a a a a 112233441a a a a3112233441,a a a ax123431122344312a a a ax . 13 的系数为的系数为故故 x含含 的项有两项的项有两项,即即3x含含 的项有两项的项有两项,即即3x含含 的项有两项的项有两项,即即3x27教学运用5245312314aaaaa4514235231aaaaa4514523123aaaaa例例6：在五阶行列式中，项在五阶行列式中，项应取什么符号？应取什么符号？4

20、31521116352141116解：解：应取正号应取正号（1）（2）应取正号应取正号28教学运用nnniiiniiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211) 1(行列式的定义又可记为：行列式的定义又可记为： 29教学运用性质性质1 1 行列式与它的转置转置行列式相等，tdd 即即nnnnnnaaaaaaaaad212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111转置行列式转置行列式 td30教学运用性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。98764253131cc 789246135columnrow492

21、53174349274353121rr 例：例：推论推论 如果行列式有两行（列 )完全相同，则此行列式 等于零。1d行行列列式式为为换换行行，并并设设换换行行以以后后的的1dd d31教学运用性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一同一数数 k, ,等于用数等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。例：例：9878613532319878615213推论推论1 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。9478315116公因子可提出推论推论2 2 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零。例例:9876

22、42321091476423210推论推论3 3 行列式如果有一行（列）元素为零，则此行列式的值等于零。32教学运用性质性质4 4 若若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,如：,2122222211111211nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad则 d 等于下列两个行列式之和：nnninnniniaaaaaaaaaaaad21222221111211.21222221111211nnninnniniaaaaaaaaaaaa33教学运用 nnpiipiippnpipptaaaad)(1111npippppptniniaaa1111npippppptniniaaa111

23、1876543642531753642531864642531754364325321753642531754643532例例:34教学运用例例 计算行列式计算行列式5000114001113011111111112 d解解将行列式按第一列拆开将行列式按第一列拆开:5000114001113011111111112 d5000114001113011111111111 5000014000113001111011111 0 60 60 35教学运用性质性质5 5 把把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。如nnnjninnjinjiaaaaaa

24、aaaaaa12222111111jikcc nnnjnnjnjaaaaaaaaa122211111 njnijijikaakaakaa2211k 36教学运用例：例：987642211987211122rr 022987642211132cc 87 42 11025第一行乘以-2加到第二行上去第一列乘以-2加到第三列上去37教学运用计算计算3351110243152113d例例1：解解:d12cc 12rr 648072160 33151120435121311120213132rr 72160648011202131234rr 248rr 11202131 10800 1510003445

25、rr 108001120213125000 40145rr 注：计算数字行列式，一个重要的方法就是将其 化为上（下）三角形行列式。38教学运用解解:d4321rrrr311113111131666661r3111131111311111612rr 1111613rr 14rr 00020200200048计算计算3111131111311113d例例2：nabbbbabbdbbabbbba abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1( .)() 1(1 nbabna39教学运用dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba36103

26、6323423212rr 13rr 14rr baabaacbabaadcba373002000343rr abaacbabaadcba00020004a232rr 243rr cbabaacbabaacbabaadcba3610363023423200例例3： 计算计算解：解：d40教学运用23rr 另解：另解：dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423234rr dcbacbabaadcbacbabaadcba2342320aba 3cba36cbabaadcbacbabaadcba3630cba 230aba 212rr cbabaacb

27、abaadcba36302320cbabaa 0即：自第3行开始，自下往上每行都乘以-1后，加到下一行。41教学运用dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423234rr 23rr 12rr 34rr 23rr 12rr dcbacba 0aba 3cba36cba 230aba 2 0 ba acbabaadcba0baa3 00baa2 0034rr baacbabaadcba2000a 0 004a34rr 23rr 42教学运用例例4 设设nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaad1111111111110,det ,det111

28、1211111nnnnijkkkkijbbbbbdaaaaad证明：证明：.21ddd 任何任何n阶行列式总能利用阶行列式总能利用行列式的行列式的行（列）行（列）变换变换化为化为上（下）三角形行列式。上（下）三角形行列式。注注：43教学运用证：证：对 作行变换r,1d把 化为下三角形行列式：1dkkkpppd11110kkppp2211对 作列变换c,2d把 化为下三角形行列式：2dnnnqqqd11120nnqqq2211nnnnknkkkkqqccqccppp11111111110nnqqq2211.21dd对 的前 k 行作行变换r,d对后 n 列作列变换c,nnnnknnkkkkkbb

29、ccbbccaaaad11111111111101d2dkkppp221144教学运用例如：例如：1206803297213210002300012 d2312 120032213 )34( )289( .15 45教学运用余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 i 行和行和ija留下的留下的 n-1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，ija记作记作 ；ijm记记 ijjiijma 1ija叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式.ija如如 32m,444341242321141311aaaaaaaaa 32a4

30、44341242321141311aaaaaaaaa 231 第第j列划去后，列划去后，444342413433312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaad 32a.444341242321141311aaaaaaaaa 46教学运用62275332121m6232, 6例如. 6) 1(211221ma代数余子式乘积之和。ijnjijaa 1ijniijaa 1ni, 2 , 1nj, 2 , 1或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则njnjjjjjaaaaaad 2211例如ininiiiiaaaaaad 22113djjjaa2312 23232222

31、2121aaaaaa展开按第二行定理定理1 1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的47教学运用,00212222111nnnnnaaaaaaad 1111mad 又又11a 1111111mm 从而从而1111aad 证证ininiiiiaaaaaad 2211（先特殊，再一般）（先特殊，再一般）分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。(1)假定行列式假定行列式d的第一行除的第一行除11a外都是外都是 0 。48教学运用nnnjnijnjaaaaaaad1111100 先将先将 调换到第一行，调换到第一行，ija调换次数为调换次数为 i-1,

32、再将再将 调换到第一列，调换到第一列，ija调换次数为调换次数为 j-1次，次，nnnjnnjijiaaaaaaa11111100)1( nnnnjnjijjiaaaaaaa111111100) 1() 1( ijijjima 112)1()1(ijijjima )1(ijijaa (2)设设 d 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 。49教学运用(3)一般情形一般情形nnnniniinaaaaaaaaad212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121

33、100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiaaaaaa 221150教学运用例例1：计算：计算0532004140013202527102135解：解： 50532004140013202527102135c53204140132021351252 532414132152111c21312 231 10072066rrrr 108066272101c51教学运用例例2：计算：计算3351110243152113d解：解：d312cc 35 1031 115110534cc 1100055111111513312rr0550261155526131 4025565

34、2教学运用例例3： 计算计算解解按第一行展开nd2dcdcdcbababadn20000ddcdcbaba0000000000000121cdcdcbababn000ab12ndd121121nncd a11153教学运用12nadd121121nncdb12ndbcad222ndbcad121nnndbcad21dbcadndcbabcadn 1nbcad nd254教学运用例例4 计算计算 n 阶行列式阶行列式. 212121nnnnaxaaaaxaaaaxd 解解nnnaxaaaaxaaaax212121nd naaa 1 21000行行减减第第一一行行第第i1, 2 ninaaa211

35、 0 0 1x 0 0 1x x 0 0 1 箭形行列式箭形行列式 1211njjcxc xxxaaan00000021 njjxa11000 njjnxax11将将 dn 加边加边, 构成一个构成一个n+1阶的行列式阶的行列式0 0 dx时，时，当当55教学运用例例5. 证明证明jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxd1112112222121111证：证： 用数学归纳法证。 当 n=2 时，21211xxd 12xx jijixx 12显然成立。现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立，2322213213111xxxxxxd 例13xx 12xx 后面减前面vandermonde行列

36、式行列式23xx 56教学运用112112222121111 nnnnnnxxxxxxxxx 111101222xxxn1323xxxn12xxxnnn00122xxx133xxx1xxxnn12xx 13xx 1xxn 11312xxxxxxn 223222232232111 nnnnnnxxxxxxxxx 11312xxxxxxn jijinxx 2 jijinxx 1证毕11 nnrxr211 nnrxr112rxr 213rxr 57教学运用1111111111naaanaaanaaadnnnnnnn)()()()(例例6nnnnnnnnnaaanaaanaaa)()1()()1(11

37、11)1(1112)1(nnnnnnaanaaanaaana)1()()1()(1111111nijji0)()()(jaia)(ji 58教学运用jninjijiaaaaaa 2211ininiiiiaaaaaa 2211 0 d ?推论推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即02211jninjijiaaaaaa02211njnijijiaaaaaaji ji 即即 .,0,1ikikdaansisks当当.,0,1jljldaanssjsl当当和和 59教学运用证：证：nnnjnjininaaaaaaaa111111行展开按第jjnjnjjjj

38、aaaaaa2211jninjijiaaaaaa 2211nnnininaaaaaa11111iniaa1 0同理可证列的情形。60教学运用例例7：设：设,3142313150111253 d解：解：12cc 011511222)1(33 5220113 4 14131211aaaa 41312111mmmm 求求及及 14131211aaaa3142313150111111 31rr 0011313150112022 34rr 001521202 61教学运用 41312111mmmm41312111aaaa 312rr 311501121)1( 0 3141313150111251 34r

39、r 311501501 0010313150111251 62教学运用n元一次线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnna xa xa xba xa xa xba xaxaxb(1) 对于方程组(1),若 不全为零,则称(1)为; 若 , 即 mbbb,21021mbbb11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax (2) 称(2)为. 63教学运用n元一次线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(3)如果线性方程组（

40、3）的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaad那么，方程组有唯一解：. , , ,2211ddxddxddxnn （证略）克莱姆法则克莱姆法则64教学运用例例1： 解线性方程组解线性方程组. 0674 , 52 2 , 96 3 , 8 5 243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512d212rr 21206031 07513127 7 024rr 12772121357 212cc 232cc 2733. 027 71570320365教学运用67012150609115822d,10860412520693118123d,27,2707415120903185124d, 311ddx6741 2120 6031 1512 d1d0598=81, 422ddx, 133ddx144ddx66教学运用如果（3）无解或有两个不同的解，则d=0推论推论nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxa