等腰三角形典型例题练习(含答案)汇总

1、等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一 选择题（共2小题）1如图 ZC=90°，AD平分ZBAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（精选A . 5cmB 3cmC 2cmD 不能确定2 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边AACD和 等边ABCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N 给出以下三个结论： AE=BD CN=CM MN | AB二填空题（共1小题）3 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE丄AC，EF丄AB ， FD丄BC 、则 DEF的面积与A

2、ABC的面积之比等于_ AI三解答题（共15小题）E、F分别为AB、AC上的点且Z EDF+ ZEAF=180 ° 求证4. A ABC中，AD是Z BAC的平分线,DE=DF.5 在 ABC中，ZABC、ZACB的平分线相交于点O，过点0作DE | BC，分别交AB、AC于点D、E 请说明DE二BD+EC 6 已知：如图，D是ZABC的BC边上的中点， AABC是什么三角形？并说明理由DE丄AB DF丄AC，垂足分别为E，F，且DE=DF请判断7 如图，ZXABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE(1) ZE等于多少度？(2) ADBE是什么三角形

3、？为什么？&如图，在 AABC中，ZACB=90 CD是AB边上的ZA=30 ° 求证：AB=4BD 9 如图，AABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F 求证：DF=EF 10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边ZB的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线 于E，求证：BD=2CE -11（2012?牡丹江）如图，AABC中AB=AC，P为底边BC ±一点，PE丄AB，PF丄AC，CH丄AB，垂足分别 为E、F、H 易证PE+PF=CH 证明过程如下：如图，连接APTPE丄AB，PF丄AC，CH丄

4、AB、.Saabp= AB ?PE，Saacp= AC?PF，Saabc= AB?CH AABPAACPAABCxvsAabp+Saacp=Saabc，2 AB=AC 、:.PE+PF=CH （1 ）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量矢系？请写出你的猜想， 并加以证明：（2）填空：若ZA=30°，AABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 点P到AB边的距离PE= 图園12 数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图

5、，试确定线段AE与DB的大小 矢系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（D特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE 与DB的大小矢系，请你直接写出结论：AE DB （填> ,< 或=）-（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小矢系是：AEDB （填“”，或“=”）理由如下：如图2，过点E作EF | BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）（3 ）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC 若厶ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结13 已知：如图，AF平分ZBAC，BC丄

6、AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点14如图，已知ZXABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F- ( 1) 线段AD与BE有什么矢系？试证明你的结论(2)求ZBFD的度数15 如图，在ZXABC中，AB=BC，ZABC=90 °，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF16 已知：如图、在 AOAB 中，ZAOB=90°，OA=OB，在AEOF 中，ZEOF=90 °、 OE=OF，连接 AE、BF -问线 段AE与BF之间有什么矢系？请说明

7、理由17 （ 2006?郴州）如图，在ZkABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为 E，F，CG是AB边上的高（1 ） DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量矢系？并加以证明；（2 ）若D在底边的延长线上，（1 ）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的矢系？请说明理由18如图甲所示，在AABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的 高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式矢系？写出你的 猜想并加以证明等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一 选择题（共

8、2小题）1 -如图 ZC=90° AD平分ZB AC交BC于D 若BC=5cm BD=3cm 则点D至! AB的距离为（）A. 5cmB 3cmC 2cmD 不能确定解答：解：*/Z C=90°，AD 平分 Z BAC 交 BC 于 D/.D到AB的距禺即为CD长CD-5 - 3-2故选C2 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边AACD和等边ABCE，连 接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMN | AB其中正确结论的个数是（）万们*由BCE是等边三角形，根据SAS易证得 ACEA

9、DCB，即可得正确；由 AACE竺ADCB，可得ZEAC= ZNDC ，又由ZACD= Z MCN=60 °，利用ASA，可证得 ACM DCN ，即可得正确；又可证得 ACMN是等边三角形，即可证得 正确解答：解：/A ACD ® ABCE 是等边三角形、/.ZACD=ZBCE=60° > AC=DC，EC=BC，/. Z ACD+ZDCE=ZDCE+ZECB > 艮卩ZACE=ZDCB ，.*.AACEADCB ( SAS ) ， /.AE=BD ，故 正确；二 ZEAC二ZNDC ， ,/ZACD=ZBCE=60>，/.ZDCE=60

10、76;，.ZACD= Z MCN=60 °，'：C=DC，/.A ACM 竺 DCN (ASA )， .CM=CN，故 正确；又ZMCN=180°- ZMCA- ZNCB=180°- 60°- 603 =60°，/.ACMN是等边三角形Z NMC= ZACD=60 ° /. MN | AB，故正确故选D二填空题（共1小题）3 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE丄AC，EF丄AB，FD丄BC，则ZDEF的面积与AABC的 面积之比等于 1: 3.分析：首先根据题意求得：ZDFE=ZFED=ZE

11、DF=60° 即可证得ADEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的尖系，即可求得DF : AB=1 :，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答：解：ABC 杲TF二角形，.ZB=ZC=ZA=60°，/DE丄AC，EF丄AB，FD丄BC，.ZAFE=ZCED= Z BDF=90 °、/.Z BFD= Z CDE= ZAEF=30 °Z DFE= Z FED= ZEDF=60'DEF 是正三角形，BD : DF=1 :，BD ： AB=1 ： 3 > ADEFAABC，/-DF :

12、AB=1 : DEF的面积与 ABC的面积之比等予:3 故答案为：1: 3.三解答题（共15小题）4在AABC中 AD是ZBAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点且Z EDF+ zEAF=180分析:解答：EMD= Z FND=90过D作DM丄AB，于M，DN丄AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定 义求出Z AED= ZCFD ，根据全等三角形的判定AAS推出 EMD 9 FND即可证明：过D作DM丄AB，于M，DN丄AC于N TAD 平分ZBAC、DM丄AB，DN 丄AC，二 DM=DN 角平分线性质） ZDME= ZDNF=90 °，5.在

13、 ZXABC 中，ZABC、乙 ACB 的平分线相交于/ZEAF+ZEDF=18O°，二 ZMED+ZAFD=360 180°=180° / Z AFD+ Z NFD=180 °，/. Z MED= ZNFD，在厶 EMD 和厶 FND 中.EMD AFND，/. DE=DF O,过点0作DE | BC，分别交AB、AC于点D、E 请说明DE二BD+EC 分析：DB=DO，根据OB和0C分别平分ZABC和Z ACB，和DE | BC，利用两直线平行'内错角相等和等量代换'求证出OE=EC然后即可得出答案解答：解：.在 ABC中，0B和0C

14、分另g平分ZABC和ZACB，/.Z DBO= Z OBC，Z ECO= ZOCB，JDE | BC，/. ZDOB= Z OBC= Z DBO，ZEOC= ZOCB= ZECO » /.DB=DO，OE=EC，TDE二DO+OE，二DE=BD+EC 6 已知：如图，D是AABC的BC边上的中点，DE丄AB，DF丄AC，垂足分别为E，F，且DE=DF请判断AABC是什么三角形？ 并说明理由精选分析：用（HL ）证明 EBDFCD，从而得出Z EBD= Z FCD，即可证明AABC是等腰解答：AABC是等腰三角形证明：连接 AD ，-/DE丄AB，DF丄AC， ZBED=ZCFD=90

15、°，且 DE=DF ，TD是AABC的BC功卜的中点,.BD=DC ，/.RtAEBDRtAFCD (HL) /.ZEBD= ZFCD /.AABC 是等腰三角形7 如图，AABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE1） ZE等于多少度？（ 2） ADBE是什么三角形？为什么？分析：（1）由题意可推出ZACB=60 ，ZE=ZCDE，然后根据一角形外角的性质可知：ZACB=ZE+ZCDE，即可推出 ZE的度数；（2）根据等边二角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是ZABC的角平分线，即得：ZDBC=30 °，然后 再结合（1）中求得的结

16、论'即可推出 DBE是等腰二角形解答：解：（"ABC 是等边三角形，.ZACB=60°，/CD=CE，.ZE二ZCDE，TZACB二 ZE+ZCDE，.(2) ABC是等边三角形，BD丄AC » /.ZABC=60°，二TZ E=30°，. ZDBC= Z E ：4 DBE是等腰三角形8如图在 AABC中 ZACB=90 ° CD是AB边上的高 ZA=30° 求证:AB=4BD ZACB=90 °，Z A=30。可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD 则结论即可证明解答：解:/ZACB=90°

17、，ZA=30°，.AB=2BC，ZB=60° 又T CD 丄 AB， /. Z DCB=30 °， .I BC=2BD /. AB=2BC=4BD 9如图 ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上且BD=CE，DE与BC相交于点F求证：DF=EF 分析：过D点作DG | AE交BC于G点，由平行线的性质得Z1 = Z2，Z4=Z3，再根据等腰三角形的性质可得ZB=Z2，则，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得ADFG竺AEFC，即可得到结论解答：证明：过D点作DG | AE交BC于G点，如图，/.Z1 = Z2，Z4=Z3，JAB=AC，/.

18、ZB=Z2，.ZB=Z1 » /.DB=DG，而 BD=CE，/. DG=CE，在和ZEFC 中f，/.ADFGAEFC，.DF=EF 10 已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边 Z B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于求证：BD=2CE .E，解答:F，由已知条件可证得 ABFE全ABEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明ZADB9AFAC可得FC=BD ，所以BD=2CE 证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F-TBE丄EC ， .-.ZFEB=ZCEB=90° ， TBE 平分ZABC ，二 ZFBE二ZCBE ，又T BE=BE

19、， .ABFEABCE(ASA ).CF=2CE TAB二AC，ZBAC=90 °、ZABD+ ZADB=90 °、 Z ADB= Z EDC，/. Z ABD+ ZEDC=90 ° 又T ZDEC=90 °，Z EDC+ Z ECD=90 °，二 Z FCA= Z DBC= ZABD ADB 也 zXAFC. FC=DB, /.BD=2EC .11 (2012?牡丹江)如图 ，AABC中 AB=AC，P为底边BC±一点，PE丄AB、PF丄AC，CH丄AB，垂足分别为E、FH 易 证PE+PF=CH 证明过程如下：如图，连接AP /P

20、E丄AB，PF丄AC，CH丄AB J.Saabp=AB ?PE，Saacp= AC?PF > Saabc= AB ?CH aabp= AB ?PE 5 Saacp二 AC?PF，Saabc= AB?CH XeSAABP+SAACP=SAABC AB ?PE+ AC ?PF= AB ?CH TAB二AC，/.PE+PF=CH (1 )如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量尖系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若Z A=30 °， AABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7点P

21、到AB边的距离PE二4或10.图图分析：(1)连接AP先根据三角形的面积公式分别表示出S/xABP，Sa acp， Saabc »再由Saabp=Saacp+Saabc即可得出PE=PF+PH ；(2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由AABC的面积为49，求出CH=7，由于CH>PF，则可分两种情 况进行讨论：P为底边BC上一点，运用结论PE+PF二CH ；P为BC延长线上的点时，运用结论PE二PF+CH 解答：解：(1 ) 如图'PE=PF+CH 证明如下：PE丄AB ，PF丄AC 、CH±AB，-.Saabp= AB?PE 、Saacp= AC

22、?PF ，Saabc= AB ?CH ，.Saabp=Saacp+Saabc，J. AB?PE= AC ?PF+ AB ?CH，又T AB=AC，.-.PE=PF+CH ；(2) .在ZACH 中，ZA=30 °，AC=2CH .Saabc= AB ?CH ， AB=AC ， .I x2CH?CH=49 ， .CH=7 aabc分两种情况： P 为底边 BC±一点，如图 TPE+PFuCH，.PE二CH- PF=7- 3=4 ； P为BC延长线上的点时，如图JPE=PF+CH » /.PE=3+7=10 故答案为 7 ； 4或 10 图图12 数学课上，李老师出示

23、了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小尖系，并说明理 由小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1 ）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小尖系，请你直接写出结论：AE = DB （填“”，或“=”）（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小尖系是：AE = DB （填“”，或“=”）理由如下：如图2,过点E作EF | BC，交AC于点F （请你完成以下解答过程）3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若AABC的边长

24、为1 ，AE=2，求CD的长（请你直接写岀结果）.分析：（1 ）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求 Z D= Z ECB=30 °，求出Z DEB=30 °，求出BD=BE即可；屮AEF 、iiEADEB 和AECF 全等，求出 BD=EF 即可；（2）过E作EF| BC父AC于总嗣隔释槃时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的长线上时'求出CD=1解:解答：（1 ）故答案为：=(2)过 E作 EF| BC 交 AC 于 F，等边三角形 ABC，.ZABC= Z ACB= Z A=60 °，AB=AC=BC，/. ZAEF=ZABC=

25、60 °、Z AFE= ZACB=60 °， 即 ZAEF= Z AFE= Z A=60°，.'.AEF 是等边三角形，二 AE=EF=AF，/ZABC=ZACB= ZAFE=60 °，/. ZDBE=ZEFC=1203，ZD+ ZBED= ZFCE+ ZECD=60°，IDE二EC，. Z D= ZECD，.Z BED= ZECF，在ZDEB和AECF中'. DEB ECF ， BD=EF=AE 艮卩 AE=BD 故答案为：=3）解：CD=1 或 3 理由是：分为两种情况：如图1过A作AM丄BC于M，过E作EN丄BC于N则AM

26、 | EM，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1，TAM 丄BC， BM二CM二 BC二 T DE二QE EN丄 BC，二 CD=2CN 、 /AM | EN AMB AENB >如图2，作AM丄BC于M、过E作EN丄BC于N、贝AM | EM， VA ABC是等边三囘形&A%cJAC=1c(M=1+JL=t3)CD=2CN=3;/AM C，/.BM=SlVg/ DE=CE，EN±BC I CD=2CN，.CD=2CN=113 已知：如图，AF平分ZBAC，BC丄AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M 若ZBAC=2 ZMPC，

27、请你判断ZF与ZMCD的数量尖系'并说明理由分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出ZCDA= Z CAD= ZCPM，求出ZMPF=ZCDM，ZPMF=ZBMA= Z CMD，在ZDCM和PMF中根据三角形的内角和定理求出即可解答：解：ZF=Z MCD，理由是：TAF 平分ZBAC ，BC丄 AF ， /.Z CAE= Z BAE » Z AEC= Z AEB=90 °，在厶 ACE 和AABE 中/，/.AACEAABE (ASA ) /. AB=AC，/Z CAE= Z CDE.1AM 是 BC 的垂直平分线，二 CM=B

28、M，CE=BE，/. Z CMA二 ZBMA，JAE=ED ，CE丄AD ， .AC=CD » /.ZCAD= ZCDA，/Z BAC=2 Z MPC，又TZ BAC=2 ZCAD，/.Z MPC= Z CAD，/. ZMPC= Z CDA，/. Z MPF= ZCDM，/.ZMPF=ZCDM (等角的补角相等)，/Z DCM+ ZCMD+ ZCDM=180 ° ZF+ZMPF+ZPMF=180°，又T ZPMF二ZBMA=ZCMD，.ZMCD二ZF 14 如图，已知AABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F -(1 )

29、线段AD与BE有什么尖系？试证明你的结论(2)求Z BFD的度数分析：(1)根据等边三角形的性质可知z BAC= Z C=60°，AB=CA，结合AE=CD ，可证明 ABECAD ，从而证得结论；(2)根据ZBFD二ZABE+ZBAD ， ZABE=ZCAD ，可知 ZBFD= ZCAD+ ZBAD= ZBAC=60° 解答：(1 )证明：.'ABC 为等劝二角形，.-.ZBAC=ZC=60a，AB=CA tf/ ABE 和ACAD 中、/. ABE 竺 ACAD /.AD=BE (2)解：Z BFD= Z ABE+ ZBAD，又ABE竺ACAD » /

30、.ZABE=ZCAD . ZBFD= ZCAD+ ZBAD= Z BAC=60 ° 15 如图，在 AABC中，AB=BC ，Z ABC=90 °，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF ，连接AE、EF和CF，求 证:AE=CF 分析：根据已知利用SAS即可判定ABE9ACBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF 解答： 证明：J ZABC=90 ° » /.ZABE= ZCBF=90 ° 又 AB=BC ， BE=BF » /.AABEACBF (SAS).lAE二CF 16 已知:如图，在 AOAB 中，ZAO

31、B=90°，OA=OB，在ZSEOF 中，ZEOF=90°，OE=OF，连接 AE、BF 问线段 AE 与 BF 之间有 什么尖系？请说明理rb I分析:解答:可以把要证明相等的线段AE，CF放到AAEO，ABFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得O=BO，OE=OF， 再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去ZBOE的结果，当然相等了，由此可以证明AAEO BFO ；延长BF 交AE于D，交0A于C，可证明 ZBDA= Z AOB=90 °，贝IAE丄BF解：AE与BF相等且垂直，理由：在 AAEO与ZXBFO中，-/RtAOAB与RtA OEF等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，Z AOE=90 °- ZBOE=ZBOF，/.AAEOABFO » /.