极值、离散最值和估值问题

1、极值、离散最值和估值问题专题前言：在日常生活中，经常遇到求有关“最”的问题，即最大、最小等，这些题统称为极值问题。而有些数学问题，题中的量是变化，或许发展到最小值或最大值或某个特定的范围中去思考反而更容易理清思路，我们常把这类问题称为离散最值问题。这两类题，有些是有一定的解题模式，但大多数则没有固定的解题模式，要根据题目的条件与问题去分析、判断、推理。常采用的方法有试验、枚举、估计、归纳等，在解题过程时往往将变化的量推向极端。我们在遇到此类问题，解决之后还需要及时总结，丰富解题经验，提高分析能力。有时我们所需要的并不是一个精确值或只是精确值的一部分，我们在思考的时候往往要借助极值问题来确定一个

2、范围进行解答，这类问题就是估值问题。例题精讲：例1：用一根长60厘米长的铁丝围成一个长、宽为整厘米数的长方形，这个长方形面积最大是多少平方厘米？长宽面积29129282562738126410416142241515225分析与解：长方形的面积与长、宽的长度有关，60厘米长的铁丝其实就是长方形的周长，可得：长+宽=60÷2=30（长宽）。当长与宽分别是几厘米的时候，面积最大呢？我们通过下表来寻找规律：通过观察表格可知：长与宽的差越小，两个数的积就越大，当长与宽的差最小（0）时，也就是围成一个正方形时，面积就最大。答：这个长方形面积最大是225平方厘米。总结这个现象，可以得到下面这个规

3、律：两个数的和一定，这两个数的差越小，积就会越大。把两个数发展到多个数，这个规律也是成立的。如a+b+c=18，当a=b=c=6时，这三个数的乘积最大，是216，大家也可以通过列表枚举的方法来验证（其实这样的过程很重要）。完善刚才的规律：几个数（数的个数是固定的）的和一定，这几个数之间的差越小，积就会越大。例2：用一条长60米的篱笆靠一面墙围一个长方形鸡圈，这个长方形鸡圈的面积最大是多少平方米？分析与解：一不小心，就会把它与例1混淆，以为这两题是一模一样的，习惯性地认为围成正方形时，面积最大。边长：60÷3=20米，面积：20×20=400平方米。这种解题方法错误的，主要原

4、因是违背了例1中总结的规律，这个规律有一个前提：和一定。可是本题中的长方形是利用了一面墙的，此时篱笆只围了这个长方形的三条边，使得这个长方形的长与宽的和不再是固定不变的。由于篱笆的长度是固定不变的，所以还是可以找到不变的和，只不过不是长+宽，而是长+宽×2=60。我们把宽×2当作一个数，则有长=宽×2=60÷2，这时长×（宽×2）的积最大，那么也就求出了长×宽的最大值。解：当长=宽×2=60÷2，这时长×（宽×2）的积最大。长是：60÷2=30米，宽是：60÷2&#

5、247;2=15米，面积最大是：30×15=450平方米。答：这个长方形鸡圈的面积最大是450平方米。点津：当我们不能确定所求的两个数的和是一定的时候，可以适当地进行转换，找到一定的和。例3：某批发商卖一种商品，规定一次性购买100件，单价则为48元；如果每多购10件，单价则每次降低2元。当然他会设置一个最大购买量，让卖出的商品得的钱最多，请问：这个最大购买量是多少件？分析与解：卖出商品得到的钱是：商品数量×单价，按最初规定，这个批发商可得：100×48=4800元；如果多购买10件，单价则为：482=46元，这个批发商可得：110×46=5060元，可

6、是随着购买总量的变化，单价也会跟着在变，如何求出这个最大值呢？当然，我们可以顺着上面的思路一一枚举，列出一张表格，从中寻找出这人最大值来。但能不能利用刚才发现的规律来解题呢？关键在于我们能不能找出不变的和来。设要多买x个10件，那么单价则为482x元；可求出总价：（482x）×（100+10x）；通过观察两个因数的和由于未知数的存在而不能确定，但两个未知数前的符号相反，如果两个未知数前面的系数相等，在计算和的时候，未知数就能相互抵消，从而得到固定的和。整理（482x）×（100+10x）得：2×（24x） ×10×（10+x）；其中（24x）+

7、（10+x）=34，和是固定不变的，当（24x）=（10+x）=34÷2时，（24x）×（10+x）积最大，那么2×（24x） ×10×（10+x）也会最大。从而求出总价的最大值来。解：设要多买x个10件商品。（482x）×（100+10x）=2×（24x） ×10×（10+x）因为（24x）+（10+x）=34，所以当（24x）=（10+x）=34÷2时，（24x）×（10+x）积最大，此时x=7。最大购买量是：100+10×7=170件。答：这个最大购买量是170件。例4

8、：某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次，某班有48名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张游泳卡，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元，若要使每个同学游8次，每人最少交多少钱？分析与解：本题的条件非常纷杂，如果用算术方法不易表示数量之间的关系。可设需要购买x张游泳卡，共需要到游泳馆y次，依题意可知去一次只能带x名学生，去了y次，总共需要游xy人次，从另一个角度来想：48名学生，每人游8次，总共需要游48×8人次，可见：xy=48×8。这样需要用多少钱呢？买游泳卡用240x元，包车用

9、40y元，共需要：240x+40y元。要使每人交的钱最少，总钱数就应该最少。所以问题的实质是求240x+40y最小，我们还知道：xy=48×8，是一个不变量，那么240x×40y=240×40 xy也是一个不变量，这时就需要我们思考一个问题：如果两个变量的积是一定的，什么时候和会最小呢？我们可以用举例的方法去研究。例如：xy=12，什么时候x+y的和最小呢？分解12得：12=1×12=2×6=3×4，观察可知当因数是3和4的时候，它们的和最小。我们从中可以总结一个规律：当两个数的积一定的时候，这两个数的差越小，和也会越小。根据这个规律

10、可知，240x×40y积是一定的，当240x=40y的时候，这两个数的和是最小的，求出：y=6x，由于xy=48×8，48恰好是8的6倍，所以：x=8 ，y=48，总费用是240×8+40×48=3840元，平均每人最少要交3840÷48=80元。解：设需要购买x张游泳卡，共需要到游泳馆y次。则共有xy=48×8人次，共用240x+40y元。由于240x×40y=240×40×48×8是一个固定值，根据“两个数的积一定，当这两个数的差越小，积就越大”这个规律可知，当240x=40y的时候，和是最

11、小的，求得：x=8 ，y=48，平均每人最少要交：（240×8+40×48）÷48=80元。答：每人最少交80元。点津：极值问题的解法是多种多样的，有时需要我们掌握一定的技巧，而这些技巧的适用范围非常狭窄，往往只能解答极少的甚至只能解答一个类型的题目，所以平常用的时候较小，我们不易经常体会。对于这种类型的技巧就需要我们强加记忆。例5：一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小都相同，红球上标“4” ，黄球上标“5” ，绿球上标“6” ，小明从袋中摸出8个球，它们的数字之和是39，其中最多可能有多少个红球？分析与解：由于问题求红球最多有多少个，我们

12、就将红球的个数推向极端。假设摸出的8个球全都是红球，则总和是：4×8=32，与实际和相差：3932=7。如果把一个红球换成一个黄球，则总和会增加：54=1；如果把一个红球换成一个绿球，则总和会增加：64=2，可以看出把两个红球换成两个黄球的总和，只相当于把一个红球换成一个绿球的总和。因此为了让红球尽可能多，应该多把红球换成绿球，7÷2=31，相差的7分，需要换来3个绿球，这样还差1分，再用一个红球换来一个黄球即可。这样还剩下红球：831=4个。解：假设摸出的8个球全都是红球，（394×8）÷（64）=31，而1=54说明需要拿出3个红球换成绿球，拿出1个

13、红球换成黄球，红球最多有：831=4个。答：其中最多可能有4个红球。例6：把19分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问这个乘积是几？分析与解：本题并没有规定分成几个数，根据“几个数的和一定，这几个数之间的差越小，积就会越大。”这一规律，可知分成的数尽可能地接近。为了更好地理解分成的数到底是几，我们可以从小一点的数开始分起，然后寻找规律。因为1乘一个数，仍得原数。所以分的数中不应出现1。2只能分成1+1，3只能分成1+2，故2和3不能再拆分。4=2+2，积是：2×2=4；得出4可以分，也可以不分。5=2+3，积是：2×3=65；得出5应该拆分，拆分

14、成2+3。6=2+2+2=3+3，积是：2×2×2=85；或3×3=98；得出6应该拆分，拆分成3+3。7=2+5=3+4=2+2+3，根据上面的过程得出：7应该拆分，拆分成3+4或2+2+3。8=2+6（6应该拆分成3+3）=4+4（4可拆可不拆），经验证8应该拆分，拆分成2+3+3。观察上面的拆分过程，可以得到一个较大数尽可能地拆分出加数3来，2最多两个（为了使规律中的数尽可能地少，我们就不去用4，有4的时候就拆成2+2）。解：19=3+3+3+3+3+2+2；积最大是：35×22=972。答：这个乘积是972。例7：13个不同的自然数的和是100，

15、其中偶数最多有多少个？最少有多少个？分析与解：要使偶数的个数最多，那么所选的偶数要尽可能地小，根据0+2+4+6+8+10+12+14+16+18=90可知偶数最多不能超过10个，如果有10个，则剩下的3个奇数的和是奇数，再加上90总和还是奇数，与和是100（偶数）矛盾。可见奇数的个数一定是偶数个。如果有9个偶数，则会有4个奇数。这4个奇数的和最小是：1+3+5+7=16；这可以办到，把上面十个偶数中的16换成1、3、5、7即可。故偶数至多有9个。要使偶数的个数最小，那么所选的奇数要尽可能地多（从问题的反面去思考），因为1+3+19=100，所以奇数的个数少于10个，且奇数的个数又要是偶数个，

16、因此奇数最多有8个，求出偶数至少有：138=5个。具体操作方法是把奇数19和17的和换成5个偶数的和。解：因为：0+2+4+18=90，可知偶数最多不能超过10个，而且奇数的个数一定是偶数个。所以至多有9个偶数。又因为：1+3+19=100，可知奇数的个数少于10个，且奇数的个数又要是偶数个，因此奇数最多有8个，偶数至少有：138=5个。答：至多有9个偶数，至少有5个偶数。ab河边例8：如图，一只小羊在a地吃草，后来它想到河边喝水后回到b地的家，请你设计一条路线，使小羊行走的路程最短。分析与解：要使小羊走的路程最短，最理想的是直一条线段（两点之间线段最短），但小羊并不是直接从a点直到b点，它还

17、要到河边喝水。如果小羊的起点（a）到终点（b）的连线中正好有一点在河边（三点同线），那么小羊走的路程就应该是最短的。ab河边ac顺着这个思路，我们可以把a点或b点等距离地搬到河的另一边（即作a点或b点关于河边线的轴对称点），然后再连接这两点，就能使小羊行走的路线距离最短。上图中a点是a点关于河边线的轴对称点，可知ac长与ac长相等，由于ab的长度是a、b两点之间最短路线，则ac+cb就是从a点到河边再到b点的最短路线。bca河边ad如何证明这条路线是最短的呢？我们可以假设这条路线不是最短的，小羊到d地（不是c点）喝水，所行的路线才是最短的。连接ad（如下图），可知ad=ad，ad+db= ad

18、+db ，a、d、b三点围成一个三角形，由于三角形任意两边之和大于第三边，则有 ad+dbab，这与假设矛盾，所以ac+cb是最短路线。ab河答：略。例9：如图，在河的两边有a、b两个村庄，现在要造一座桥，为了使a、b两村的人到桥的距离之和最短，桥应该造在哪里？请在图中用一条线段代表桥把它画出来。ab河桥分析与解：a、b两个村庄在河的两边，是否直接连接ab两点（如下图），就是我们所要求的呢？这肯定是不对的，虽然两村到桥的距离是理论上的最短值，但现实生活中的桥是会与河岸基本垂直的。通过这样的分析，我们可以看到本题的难点是由于桥的垂直于河岸的，所以ab两点不能直接连接，怎么办呢？我们可以先避开桥的

19、阻碍，让a点或b点沿垂直于河岸的方向前移一条河的宽度（其实就是桥长），然后再连接这两点，与其中一条河岸的交点e就是造桥的点，如下图。ab河a桥ef从图中很容易得出：af+eb=ae+eb=ab，根据两点之间线段最短，可知ab是最短路线，也就是说a、b两村的人到桥的距离之和最短。答：略。例10：a=8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22，求a的整数部分是多少？分析与解：直接计算不可取的，观察三个乘法算式，很容易看出： 8.01+1.24=8.02+1.23=8.03+1.22，且8.011.248.021.238.031.22，根据“两个数的和一

20、定，这两个数的差越小，积就越大。”这个规律，可以得出：8.01×1.248.02×1.238.03×1.22。由于我们所求的只是a的整数部分，并不需要知道a的具体大小，如果我们能求出a的取值范围来，也能判断出a的整数部分。a8×1.24+8×1.23+8×1.22，即a29.52；a8.01×1.24+8.01×1.24+8.01×1.24（把三个乘法算式都当作其中最大的那个）；即a8.01×1.24×38×1.25×3（8.01、1.24与8、1.25的和相等，但

21、8、1.25的差小，所以8×1.25的积大。）求得 a30。因此a在29.52与30之间，所以a的整数部分是29。答：a的整数部分是29。b点津：有些题目并不需要求出数值的具体大小，解答时，往往先确定这个数值的范围，然后求解。我们把这种方法称之为放缩法。例11：有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：3 + 5 + 7 1.16。求左边三个方框里的整数从左至右分别是什么？分析与解：由于1.16是四舍五入后得到的，那么准确值就在1.1551.165之间，把三个分数通分得：1.15535105 + 21105 + 15105 1.165。把上面的不等式乘105后

22、得：121.27535+21+15122.325。35+21+15是一个整数，在121.275与122.325之间只有一个整数122，所以35+21+15=122。通过试算可知：35×1+21×2+15×3=122。求得左边算式中的三个方框里的整数从左至右分别是1、2、3。练习：1、用一根长72厘米长的铁丝搭一个长方体框架，然后在表面糊一层纸，这个长方体纸盒的体积最大是多少立方厘米？2、张兵帮老师计算35名学生计算一次数学测试的平均成绩（得数保留三位小数），算出的结果是85.377。老师复算的时候对他说：你的最后一位数字错了，其它数字都是对的，你知道正确平均分是多

23、少吗？（每人的分数都是整数）3、a= 已知 111981+11982+11983+12000 ，求a的整数部分是几？4、已知s=11×66+12×67+13×68+14×69+15×7011×65+12×66+13×67+14×68+15×69 ×100，求s的整数部分是多少？5、用一块长32厘米、宽24厘米的铁皮，做一个无盖的长方体盒子（允许焊接），求这个长方体盒子容积最大是多少立方厘米？6、把三个最简分数用四舍五入法化成小数后，求出的和用近似值表示：a2 + b3 + c7 1.7

24、4。求a、b、c分别是几？7、一项工程，甲、乙合做要20天完成；单独完成全工程，甲比乙要多用9天。甲、乙独做全工程各需要多少天？（甲、乙的工作时间都是整天数）8、在分母小于10的分数中，找出一个最接近3.14的最简分数。9、a5=2476099，求a是几？草地河a10、如图，a点处的小牛先到草地吃草，然后到河边河边喝水，请你设计一条小牛行走的最短路线。ab11、如图，一个长方体盒子的长是4厘米，宽是1厘米，高是2厘米。一只蚂蚁a点爬到点，最少要爬多少厘米？答案：1、解：当长=宽=高（正方体）时，体积最大。（72÷12）3=216立方厘米。答：这个长方体纸盒的体积最大是216立方厘米。

25、注意：所以的框架都是铁丝搭成的时候，正方体的体积才最大。2、解：85.377×35=2988.195分，可见全班部分是2988分。正确平均分是：2988÷35=85.371。3、111981×20a112000×20 ，解得：99.05a100；可知a的整数部分是99。答：a的整数部分是99。4、解：11×66+12×67+13×68+14×69+15×7011×65+12×66+13×67+14×68+15×69×100=100 + 11+12

26、+13+14+1511×65+12×66+13×67+14×68+15×69×100 11+12+13+14+1511×65+12×66+13×67+14×68+15×69×10011+12+13+14+15（11+12+13+14+15）×65×100=10065 11+12+13+14+1511×65+12×66+13×67+14×68+15×69×10011+12+13+14+15（11+12+13+14+15）×69×100=10069求得s在100+10065 和 100+10069 之间，整数部分是101。答：s的整数部分是101