第 4 章电路定理

1、第4章 电路定理主要内容 1.叠加定理，齐性定理； 2.替代定理； 3.戴维南定理、诺顿定理； 4.特勒根定理、互易定理。§4-1 叠加定理 1.线性电路 线性元件 + 独立电源 = 线性电路独立电源是非线性单口元件，因其伏安特性曲线不是过原点的直线。 独立电源是电路的输入，起着激励的作用，可使线性元件中出现电压和电流（响应），并且响应与激励之间存在线性关系。a. 齐次性：电路中只有一个激励； 当 uS 扩大a倍时，ij 也将随之扩大a倍； 当 uS 扩大a倍时，uj 也将随之扩大a倍。b.相加性：电路中存在多个激励； 单独作用： 单独作用： 1）每个支路电流或支路电压都是多个激励共

2、同作用产生的结果；2）每一项只与一个激励成比例，其比例系数为该激励单独作用，其余激励全部置零求出的比例系数；3）电流源置零时相当于开路，电压源置零时相当于短路。2.叠加定理 线性电阻电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。 叠加定理仅适用于线性电路，不适用于非线性电路；  叠加定理在线性电路分析中起着重要作用，线性电路中很多定理都与叠加定理有关；    运用叠加定理计算时，如果有多个电源，可分组置零，不必单个置零；例4-1：试用叠加定理求下图中Ix 。 解：电路中含有受控源时，受控源要始终保留，单独作用只能是

3、独立电源。例4-2：电路如下图所示，求电压 u3 。 解：应用叠加定理，作、单独作用的等效电路，则有 例4-3：电路如下图所示，试求电压u3 。解：根据叠加定理，分为电压源作用和电流源作用，则有 元件的功率不等于各电源单独作用时在该元件上所产生的功率之和，直接用叠加定理计算功率将失去“交叉乘积”项，因功率 p不是电压 u 或电流 i 的线性函数； 电路中存在受控源时，应用叠加定理计算各分电路时，要始终把受控源保留在各分电路中。 叠加时各分电路中的电压和电流的参考方向可以取得与原电路中的相同。取和时，应注意各分量前的“+”“-”号。§4-2 替代定理1. 替代定理（置换定理）已知端口电

4、压和电流值分别为 和，则N1（或N2）可以用一个电压为 的电压源或用一个电流为 的电流源置换，不影响 N2（或N1）内部各支路电压、电流原有数值。 a. P点：直线 和直线 的交点，电压为，电流为; b. 直线 与直线 的交点仍为 P点（电阻R用电压源替代） c. 直线 与直线 的交点也是P点（电阻R用电流源替代）2.替代定理的证明 三个电路都具有唯一解（假设） 三个电路都满足相同的网络方程（KCL，KVL以及VAR） a. 网络的有向图相同，按KCL 列写的电流方程和按KVL 列写的电压方程必然相同； b. 方框内（指）的元件相同，特性方程相同，对而言，原端口提供了u 和 i的一个约束（）,

5、 而电压源或电流源却提供了一个解答u或i（且电压源的电流或电流源的电压可为任意值）。因此，三个电路都满足相同的网络方程。 c.替代定理可推广到非线性电路，只要知道端口电压或端口电流，就可以用电压源和电流源进行置换。 d.替代定理是非常有用的定理，在以后的定理证明中多次用到。当我们把网络N分解为 和 后，且求出了 和 的端口电压和端口电流后，通过将 （或）用电压源或电流源置换，进而可求出 和 中各支路电压和电流。例4-4：求下图所示电路中 和 I ，已知 。 解： 根据替代定理，可将3电阻连同左边网络用的电流源置换，则 再回到原电路中，可得 §4-3 戴维南定理和诺顿定理 一、戴维南定

6、理 1.戴维南定理 线性含源单口网络 N，可等效为一个电压源串联电阻支路，电压源电压等于该网络 N 的开路电压 , 串联电阻 等于该网络中所有独立源置为零值时所得网络 的等效电阻 。 若线性含源单口网络的端口电压 u 和电流 i 为非关联参考方向，则其VAR 可表示为2.戴维南定理的证明证明：根据替代定理，将M 用电流源 替代，再据叠加定理，端口处电压 u和电流 可叠加得到 因此，从网络N的两个端钮a, b来看，含源单口网络可等效为一个电压源串联电阻的支路，其电压源电压为 ，串联电阻为。例4-5: 试求下图中12k电阻的电流I 。解：据戴维南定理，除12k电阻以外的部分可等效为电压源Uoc与电

7、阻Req的串联组合 例4-6: 求下图所示单口网络的VAR解：该网络的VAR可表示为 S1: 求uoc S2: 求Req例4-7: 试用戴维南定理求下图RL 的电流I 。解：S1.求uoc（断开RL） S2.求Req（将电压源置零） 例4-8: 试说明：若含源单口网络的开路电压为uoc，短路电流为isc，则戴维南电路的等效电阻为 解：单口网络与等效电路的VAR应一致 例4-9 ：求下图所示电路的戴维南等效电路解： 只要得到线性含源单口网络的两个数据，开路电压 uoc 和短路电流 isc，即可确定戴维南等效电路；求含受控源的戴维南等效电路时，为了计及受控源的作用, 通常采用先算开路电压 uoc，

8、再算短路电流 isc 的方法获得Req； 求含受控源电路的等效电阻Req时，也可采用§2-7中外加电压源求电流和外加电流源求电压的一般方法来解决； 对电路的某一元件感兴趣时（求其电压，电流，功率等）应用戴维南定理会带来很大方便。 求戴维南等效电路二、诺顿定理 诺顿定理：线性含源单口网络N，可以等效为一个电流源并联电阻的组合，电流源的电流等于该网络N 的短路电流 iSC，并联电阻 Req 等于该网络中所有独立源为零值时所得网络 N0 的等效电阻Rab 。根据诺顿定理，线性含源单口网络的端口电压 u 和 为非关联参考方向时，则其VAR可表示为 诺顿定理可由戴维南定理和等效电源定理推导出来

9、； 只能等效为一个电流源的单口网络（ Req = 或Geq = 0），只能用诺顿定理等效，不能用戴维南定理等效；同理，只能等效为一个电压源的单口网络（ Req= 0 或Geq = ），只能用戴维南定理等效，不能用诺顿定理等效。例4-10: 用诺顿定理求下图所示电路中3 电阻的电流I 。 解：例4-11：求下图所示电路的戴维南等效电路和诺顿等效电路，一端口内部有电流控制电流源，ic=0.75 i1 。 解：S1：求uoc S2：求isc S3：三、最大功率传递定理最大功率匹配 令 p有极值 p取得极大值 用戴维南等效电路 或 用诺顿等效电路 最大功率传递定理：由线性单口网络传递给可变负载RL的功

10、率为最大的条件是：负载 RL 应与戴维南（或诺顿）等效电阻相等。单口网络和它的等效电路，就其内部功率而言是不等效的，由等效电阻Req算得的功率一般不等于网络内部消耗的功率，因此，实际上当负载得到最大功率时，其功率传递效率未必是50%。 例4-12: 求下图中R为何值时能从电路中获得最大功率? 解：可求出：uoc=4V, Req=20k, 故 R = Req=20k, 可获得最大功率  §4-4 特勒根定理（Tellegens Theorem ） 一、特勒根定理1 对于一个具有n 个结点和 b 条支路的电路，假设各支路电流和电压取关联参考方向，并令（i1, i2 ,

11、 , ib）、（u1 , u2 , , ub ）分别为 b 条支路的电流和电压，则对任何时间 t，有 说明过程中，只根据电路的拓扑结构和KCL、KVL，并不涉及元件的性质，适用于线性、非线性和时变元件的集总电路。 定理实际上是功率守恒的数学表达式，表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。 二、特勒根定理2 两个不同网络（具有 n 个结点和 b 条支路 ），其拓扑结构相同（图完全相同），支路和结点编号、参考方向相同，并分别用（ i1, i2, ，ib ）、（ u1, u2, ，ub ）和（ ）、（）表示两者的b条支路的电流和电压，则对任何时间t，有 和 说明： 上图中可有 同理可得 定

12、理2说明了两个拓扑结构相同的电路，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间必然遵循的数学关系； 定理2也说明了同一电路不同时刻的相应支路电压和电流应满足的数学关系； 定理2不能用功率守恒来解释，有时又称为“拟功率定理”。 §4-5 互易定理对一个仅含线性电阻的电路（不含任何独立电源和受控源），在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。一、互易定理第一形式 激励：电压源 uS 响应：短路电流 又因 若 则 例4-13：试求下图所示电路中电流 。解：根据互易定理第一形式，则有 本题若不利用互易定理，很难直接从原图中得出结果！二、互易定理第二形式 激励：电流源 iS 响应：开路电压 又因 若 则 三、互易定理第三形式 N： 激励：电流源 iS 响应：短路电流 i2 ： 激励：电压源 响应：开路电压 又因 例4-14：由线性电阻元件构成的二端口网络，当输入端口接 uS = 10V 电压源，输出端口短接时，输入端电流为 5 A，输出端电流 1 A；如果把电压源移至输出端口，且输入端口接一个2 的电阻元件，试问2 电阻上电压为多少？解：根据互易定理，则有 又因  §4-