傅立叶变换地原理、意义和应用

1、傅立叶变换的原理、意义和应用1概念：编辑傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这 些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、 锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。参考数字信号处理杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。 定义f（t ）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有 有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具 有有限个极值点；绝对可积。则有下图式成立。称为积分运算f（t） 的傅里叶变换，式的积分运算叫做 F（3 ）的傅里叶逆变换。F（3 ）叫做f（t ）的 像函数，f（t）叫做F（3 ）的像原函数。

2、F（3 ）是f（t ）的像。f（t ）是F（3 ）原像。 傅里叶变换F（讷二鬥3）二（咖如办g 傅里叶逆变换环训二君J伽尹仏中文译名Fourier transform 或 Transform 由 de Fourier 有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概 率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都 有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信 号分解成幅值谱显示与频率对应的幅值大小）。相关

3、*傅里叶变换属于谐波分析。*傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；*正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解 可以转化为常系数的代数方程的求解在线性时不变的物理系统内， 频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其 对不同频率正弦信号的响应来获取；*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；*离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT）.12性质编辑线性性质傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换， 等于这两 个函数分别做傅里叶变换后再进

4、行线性组合的结果。 具体而言，假设 函数和的傅里叶变换刁f和都存在，a和为任意常系数，则有尺度变换性质若函数的傅里叶变换为F(珂，则对任意的非零实数a，函数= f(ax的傅里叶变换FM存在，且等于对于a > 0的情形，上式表明，若将f何的图像沿横轴方向压缩a倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽 倍，同时高度变为原来的。对于a <0的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。 平移性质若函数的傅里叶变换为F佃），则对任意实数也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换等于F嘟仙）二也就是说，可由F（明向右平移 得到。微分关系若函数rw的傅里叶变换为F（明，且其导函数的傅里叶变换存在，

5、则有即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 f何阶导数的傅里叶变换存在，则即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子（创卷积特性 若函数 f何 以及g（炒都在IR上绝对可积，则卷积函数 上式被称为Plancherel定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方 可积空间f诃工）二f （工畑dr的傅里叶变换存在，且鬥f如二列门5刃Parseval定理以及 Plancherel 定理若函数rw以及g（匐平方可积，二者的傅里叶变换分别为F（明与G®，则有f(xg*(x)dx =小十£»F仙G仙JPD上式被称为Parseval定理。特别地，

6、对于平方可积函数If何卩dx =JPCi r+w森J I伽I?上的一个运算符（若不考虑因子10）。3特殊变换编辑连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换” 一词的前面未加任何限定语，则指的 是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分形式：1 厂+ k/（0 =2?F（咏叫 a上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示 为频率域的函数F（明的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F（明表示为时间域的函数f（0的积分形式。一般可称函数f（0为原函数，而称函数F（明为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（tran sform

7、 pair ）。当f（0为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。傅里叶级数 主条目：傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广， 因为积分其实是 种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，它的傅里叶级数(Fourier series )表示被定义为:他二f F討Tlfc=DC3其中 为函数的周期，%为傅里叶展开系数，它们等于1厂1721 J-Tf2对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成:如=分匕宀（竽 屮的（竽）18=1其中是实频率分量的振幅离散时间傅里叶变换 主条目：离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换(discrete-tim

8、e Fourier transform, DTFT )针 对的是定义域为X的数列。设民）«=-<»为某一数列，则其DTFT被定义为相应的逆变换为 厂十PCX（筑屮DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换, 必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性 条件。这种情况下，序列的离散傅里叶变换(discrete Fourier transform, DFT )为N-l xk=L斥产总讪n=0其逆变换为N-Li

9、2nln/N直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为，而快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT )可以将复杂度改进为O(nlogn)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中， 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group )。此外，将傅里 叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时(频)域

10、的 离散对应于其像函数在频(时)域的周期性，反之连续则意味着在对 应域的信号的非周期性。变换时间域频率域连续傅里叶变换连续，非周期性连续，非周期性傅里叶级数连续，周期性离散，非周期性离散时间傅里叶变换离散，非周期性连续，周期性离散傅里叶变换离散，周期性离散，周期性4相关编辑2变换提出傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是JeanBaptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成

11、。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange,1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Sim on de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无 法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学 学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里 叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国 大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出

12、来。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是， 我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存 在能量差别，基于此，傅里叶是对的。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在 于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥 有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入 后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率 和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。变换分类根据原信号的不同类型，我们可以把

13、傅里叶变换分为四种类别：1非周期性连续信号傅里叶变换(Fourier Tran sform )2周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换(Discrete Time FourierTransform )4周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)下图是四种原信号图例：Tjnpt 血 IrminsLunpU SljhuIrwwiVw rwnwuw_/VMWWr-KtjAiE 吗!EharriiTiiB EmilnJVJW”" “1.FB'p"»:S!i«P

14、严# * 丿这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号， 即信号的的 长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的， 那么 有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。 因为正余弦波被定义成 从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度 有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无 限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸， 延伸的部分用零来表 示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以 用到离散时域傅里叶变换的方法。 还有，也可以把信号用复制的方法 进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离 散傅里叶变换方法进行

15、变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续 信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号， 我们的最 终目的是运用计算机来处理信号的。但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来 表示，这对于计算机来说是不可能实现的。 所以对于离散信号的变换 只有离散傅里叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散 的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演 算中才能用到，在计算机面前我们只能用 DFT方法，后面我们要理 解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的 是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得 到或怎样得到是无意义的

16、。每种傅里叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理 解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知 识，不过，如果理解了实数离散傅里叶变换（real DFT），再去理解复 数傅里叶就更容易了，所以我们先把复数的傅里叶放到一边去，先来 理解实数傅里叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论， 然 后在理解了实数傅里叶变换的基础上再来理解复数傅里叶变换。如 上图所示，实信号四种变换在时域和频域的表现形式。还有，这里我们所要说的变换（transform）虽然是数学意义上的变换， 但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散 数字信号处理（DSP）,有许多的

17、变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换、 Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的 定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据 变成另一堆的数据的方法。变换意义傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变 换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任 何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无 限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始 信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说 也是一种累加处理，这样就可以将单独改

18、变的正弦波信号转换成一个 信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成 了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频 域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信 号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将 满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。 在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具， 但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解

19、，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而 正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2.傅里叶变换的逆 变换容易求出，而且形式与正变换非常类似 3正弦基函数是微分运 算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代 数方程的求解在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算 ，从而提 供了计算卷积的一种简单手段；4.离散形式的傅里叶的物理系统内, 频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其 对不同频率正弦信号的响应来获取 ；5.著名的卷积定理指出：傅里叶 变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法

20、称为快速 傅里叶变换算法（FFT）。正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、 信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应 用。图像傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空 间上的梯度。女口：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域， 对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是 一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中 有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅里 叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个 函数转换为一系列周期函数来处理的。 从物理效果

21、看，傅里叶变换是 将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空 间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变 换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变 换为灰度分布函数。傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空 间上各点，则图像可由z=f（x,y）来表示。由于空间是三维的，图像是 二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像

22、梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一 对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。 傅里叶频谱图上我们 看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱， 即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低 频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的 亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也 叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗 的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图 像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大

23、的。 对频谱移频 到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。 将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副 带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在 以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生 的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。 另外说明以下几点：1、图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵 的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点 设在左上角，那么图像

24、信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低 频区域。2、 变换之后的图像在原点平移之前四角是低频， 最亮，平移之后中 间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。5例子编辑一个关于实数离散傅里叶变换（Real DFT）实例先来看一个变换实例，一个原始信号的长度是 16，于是可以把这个 信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号可以分解 成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下面的 18个正余弦图，我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能

25、所处 理的精度范围)，如下图:9个正弦信号:9个余弦信号:把以上所有信号相加即可得到原始信号，至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程 序中又是该怎么表示的，我们可以看看下面这个示例图：Bb JQ| |jI 、2z上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右 表示正向转换(Forward DFT)，从右向左表示逆向转换(Inverse DFT)， 用小写x表示信号在每个时间点上的幅度值数组，用大写X表示每 种频率的幅度值数组，因为有N/2+1 种频率，所以该数组长度为 N/2+1 ，X数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值： R

26、e X，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X，Re是实数 (Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把 正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只 记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达(在后面我们会知道， 复数形式的傅里叶变换长度是 N，而不是N/2+1 )。用Matlab进行傅里叶变换FFT是离散傅里叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有 些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后， 就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另 外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也

27、是经 常用的。FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两 倍。采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT 之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通 常N取2的整数次方。假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结 果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点 的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为 A ,那么FFT的结果的每个点(除了 第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点

28、就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即OHz)，而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的，这里是假 设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移 到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份, 每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为： Fn=(n-1)*Fs/N 。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为 Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以 分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是 说，采样1秒时间的信号

29、并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采 样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高 频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采 样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An二 根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可 以计算出n点(n工1，且 *=N/2)对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部

30、分的结果，即小于采样频率一半的结 果。下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号， 以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用 数 学 表 达 式 就 是如下 ：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N ，我们可以知道，每两个点之间 的间距就是1

31、Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频 率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76 个点上出现峰值，其它各点应该接近 0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示1f1y/1Raia w-I1h r1001-503-也130从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看:1占：512+0i2占：厶 八、-2.6195E-14 - 1.4162E-13i3点：-2.8586E-14 - 1.1898E-13i50点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51 点：332.5

32、5 - 192i52 点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75 点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i76 点:3.4315E-12 + 192i77 点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小， 可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为 0。接着，我们来计 算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：1 点：51251 点:38476 点:192按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2； 50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3； 7

33、5Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192,332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192,3.4315E-12)=1.5708 弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002 。可见，相位也是对的。根据 FFT结果以 及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开 始提供的信号。总结：假设采样频

34、率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n (n从1开始)表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N ;该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N );该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi 到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。 要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是 不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频 率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0

35、，使其长度达到需要的点数，再做 FFT，这在一定程 度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。6应用编辑尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方 法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定 的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类， 这一想法跟化学上的原子论 想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性 质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变

36、换非常类似； 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可 以转化为常系数的代数方程的求解在线性时不变的物理系统内，频 率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对 不同频率正弦信号的响应来获取；著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘 积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT).正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、 信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应 用。有关傅里叶变换的FPGA实现傅里叶变换是数字信号处

37、理中的基本操作， 广泛应用于表述及分析离 散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系， 因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。 然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。整体结构一般情况下，N点的傅里叶变换对为：其中，WN=exp (-2pi/N)。X(k)和x(n )都为复数。与之相对的快速傅里叶变换有很多种，如DIT(时域抽取法)、DIF(频域抽取法)、Cooley Tukey 和 Wino grad 等。对于 2n 傅里叶变换，Cooley Tukey算法可导出DIT

38、和DIF算法。本文运用的基本思想是 Cooley Tukey算法，即将高点数的傅里叶变换通过多重低点数傅里叶变换 来实现。虽然DIT与DIF有差别，但由于它们在本质上都是一种基 于标号分解的算法，故在运算量和算法复杂性等方面完全一样，而没有性能上的优劣之分，所以可以根据需要任取其中一种，本文主要以 DIT方法为对象来讨论。N=8192点DFT的运算表达式为： 式中，m=(4n1+ n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2, k=2048k1+k2 )其中 n1 和 k2 可取 0,1，2047,k1 和 n2 可取 0,1,2,3。由式(3)可知，8k傅里叶变换可由4 X2k的傅立叶变换

39、构成。同理， 4k傅立叶变换可由2X2k的傅里叶变换构成。而2k傅里叶变换可由 128 X16的傅立叶变换构成。128的傅里叶变换可进一步由16 X8的 傅里叶变换构成，归根结底，整个傅里叶变换可由基2、基4的傅里叶变换构成。2k的FFT可以通过5个基4和1个基2变换来实现； 4k的FFT变换可通过6个基4变换来实现；8k的FFT可以通过6 个基4和1个基2变换来实现。也就是说：FFT的基本结构可由基 2/4模块、复数乘法器、存储单元和存储器控制模块构成，其整体结 构如图1所示。图1中，RAM用来存储输入数据、运算过程中的中间结果以及运算 完成后的数据，ROM用来存储旋转因子表。蝶形运算单元即

40、为基2/4模块，控制模块可用于产生控制时序及地址信号，以控制中间运算过程及最后输出结果。蝶形运算器基4和基2的信号流如图2所示。图中，若A=r0+j*i0 ，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2 ，D=r3+j*i3 是要进行变换的信号，WkO二cO+j*sO=1 ， Wk仁c1+j*s1 ，Wk2=c2+j*s2 ，Wk3=c3+j*s3 为旋转因子，将其 分别代入图2中的基4蝶形运算单元，则有：A '二rO+(r1 x cl i1 x s1)+(r2 x c2 i2 x s2)+(r3 x c3 i3 x s3)+ji0+(i1 xc1+r1 xs1)+(i2 xc2+r2 xs

41、2)+(i3 xc3+r3 xs3)? (4)B '二r0+(i1 xc1+r1 xs1 ) ( r2 xc2 i2 xs2 ) ( i3 xc3+r3 x s3)+ji0 (r1 xc1 i1 xs1) (i2 xc2+r2 xs2)+(r3 xc3 i3 xs3) (5)C =r0 ( r1 xc1 i1 xs1)+(r2 xc2 i2 xs2) ( r3 xc3 i3 x s3)+ji0 (i1 xc1+r1 xs1)+(i2 xc2+r2 xs2) (i3 xc3+r3 xs3) (6)D =r0 ( i1 xc1+r1 xs1 ) ( r2 xc2 i2 xs2)+(i3 x

42、c3+r3 x s3)+ji0+(r1 xc1 i1 xs1) (i2 xc2+r2 xs2) (r3 xc3 i3 xs3)?(7)而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均为1，这样，将A, B, C和D的表达式代入图2中的基2运算的四个等式中，则有：A =r0+(r1 xc1 i1 xs1)+jiO+(i1xc1+r1 xs1)? (8)B =r0 (r1 xc1 i1 xs1)+jiO (i1 xc1+r1 xs1)(9)C=r2+(r3 xc3 i3 xs3)+ji0+(i3 xc3+r3 xs3)?(10 )D =r2 (r3 Xc3 i3 Xs3)+ji0 (i3 Xc3+r3 Xs3

43、)? (11 )在上述式(4)(11 )中有很多类同项，如i1 Xc1+r1 xs1和r1 x cl i1 xs1等，它们仅仅是加减号的不同，其结构和运算均类似，这 就为简化电路提供了可能。同时，在蝶形运算中，复数乘法可以由实 数乘法以一定的格式来表示，这也为设计复数乘法器提供了一种实现 的途径。以基4为例，在其运算单元中，实际上只需做三个复数乘法运算， 即 只须计算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，这样在一个基 4蝶形 单元里面，最多只需要3个复数乘法器就可以了。在实际过程中，在 不提咼时钟频率下，只要将时序控制好？便可利用流水线(Pipeline ) 技术并只用一个复数乘法器就可完成这

44、三个复数乘法，大大节省了硬 件资源。图2基2和基4蝶形算法的信号流图FFT的地址FFT变换后输出的结果通常为一特定的倒序。因此，几级变换后对地 址的控制必须准确无误。倒序的规律是和分解的方式密切相关的，以基8为例，其基本倒序规则如下：基8可以用2 X2X2三级基2变换来表示，则其输入顺序则可用二进 制序列(n1 n2 n3 )来表示，变换结束后，其顺序将变为(n3 n2 n1 ), 如：X?011- x?110 ，即输入顺序为3，输出时顺序变为6。更进一步，对于基16的变换，可由2 X2X2X2, 4 X4 , 4 X2 X2等形式来构成，相对于不同的分解形式，往往会有不同的倒序方式。以 4 X4为例，其输入顺序可以用二进制序列(n1 n2 n3n4 )来表示变换 结束后，其顺序可变为(n3 n4) (n1 n2 ),如：X?0111-x?1101 。即输入顺序为7,输出时顺序变为13。在2k/4k/8k的傅里叶变换中，由于要经过多次的基 4和基2运算， 因此，从每次运算完成后到进入下一次运算前， 应对运算的结果进行 倒序，以保证运算的正确性。旋转因子N点傅里叶变换的旋转因子有着明显的周期性和对称性。其周期性表现为：FFT之所以可使运算效