推荐线性规划中确定平面区域的几种方法

1、二元一次不等式表示平面区域的判定方法作一简单的归纳和总结。 一、特殊点法 由于将直线l:ax+by+c=0上同一侧的任意一点(x,y)的坐标代入ax+by+c所得实数的正负情况都相同,因此只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由ax0+by0+c的正负即可判定ax+by+c>0表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当c0时,常把原点作为特殊点。 我们在利用特殊点判定时,要有辩证思维,即所取的特殊点并不唯一,根据题目需要可以任意选除原点外的特殊点,如选择点(1,0)、(1,1)、(-1,0)等。 二、b符号判定法 ax+by+c<0表示的区域为直线l:ax+by+c=0上方的区

2、域;ax+by+c>0表示的区域为直线l:ax+by+c=0下方的区域。上述法则即为b符号判断法则,其本质是由ax+by+c与b的关系判定得出的。 用一句话概括,即“同号上,异号下”。 对于b=0的情形,可结合图形具体操作,结论很容易判定。在画不等式所表示的区域时,我们要时刻注意不等号中的等号是否成立,以确定点是否能在直线上,从而决定直线画成实线还是虚线,由于直线方程中的b容易找出,因此b符号判定法就成为常用的区域判定方法。 三、a符号判定法 按照同样的方法我们可以得到下面的结论。当a>0时,ax+by+c>0表示的区域为直线l:ax+by+c=0右方的区域;ax+by+c&

3、lt;0表示的区域为直线l:ax+by+c=0左方的区域。同理可知,当a<0时,ax+by+c<0表示的区域为直线l:ax+by+c=0右方的区域;ax+by+c>0表示的区域为直线l:ax+by+c=0左方的区域。上述法则即为a符号法则,其本质是由ax+by+c与a的关系判定得出的。 用一句话概括,即“同号右,异号左”。 四、图像判定法 凡涉及可行域问题基本上要画图,不妨就从直线在直角坐标系中经过的象限出发考虑问题,根据经过的象限相同,可行域相同这一原则: 注:(1)图1中“+”表示ax+by+c>0的区域,“-”表示ax+by+c<0的区域; (2)当a或b为

4、0时,可通过不等式直接 确定平面区域。 例如:画出不等式2x+y-10<10表示的 平面区域。 解:(1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线), 取点(1,1),代入2x+y-10,有2×1+1-10=-7<0, 2x+y-10<0表示的区域是直线2x+y-10=0的左下半平面,如图2所示。 (2)2x+y-10<0且1>0 由b符号判定法可知:2x+y-10<0表示的区域是直线2x+y-10=0的左下半平面。 (3)2x+y-10<0且2>0由a符号判定法可知:2x+y-10<0表示的区域是直线2x+y-10=0的左下半平面

5、。 (4)由图像法的结合图直接可知如上之结论。 对不等式组确定的平面区域,用上述方法会很快找到,但图像法更简便易行,读者不妨用下面的几个练习试一试。寻求二元一次不等式（组）所表示的平面区域的方法简单线性规划问题是高考必考知识点，而其基础在于研究二元一次不等式（组）所对应的平面区域下面介绍一些方法来快速准确地确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域 方法一：直线定界，特殊点定域 找出一个二元一次不等式（组）在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是： 画直线取特殊点代值定域求公共部分 画直线作出各不等式对应方程表示的直线（原不等式带等号的作实线，否则作

6、虚线）； 取特殊点平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点；当直线过原点时我们选取特殊点或（坐标轴上的点），当直线不过原点时我们选取原点做特殊点； 代值定域将选取的特殊点代入所给不等式：如果不等式成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；如果不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边 求公共部分不等式组所确定的平面区域，是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分 例1画出不等式组所表示的平面区域 解析：画直线：不等式对应的直线方程是；不等式对应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）

7、0;     取特殊点：直线过原点，可取特殊点；直线不过原点，可取特殊点 将代入，即，不等式不成立，直线另一侧区域就是不等式所表示的平面区域；将代入，即，不等式成立，则原点所在区域就是不等式所表示的平面区域（图一） 求公共部分：如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域 方法二：法向量判定法 由平面解析几何知识知道直线（不同时为0）的一个法向量为以坐标原点作为法向量的始点，可以利用向量内积证明如下结论： （1）不等式（），不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域；（大于同向） （2）不等式（

8、），不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域；（小于反向） 例2画出不等式组所表示的平面区域 解析：不等式对应的直线方程是，法向量；不等式对应的直线方程是，法向量；在平面直角坐标系中作出直线与及其相应的法向量（如图）      由于不等式（），平面区域是法向量指向的区域（图一）；不等式（），平面区域是法向量反向的区域（图二） 然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域 方法三：未知数系数化正法 直线（不同时为0）含有两个未知数，于是我们可以将未知数的系数分为两类：项系数与项系数来研究 

9、;（1）项系数化正法：顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时（移项）将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正方向所指的区域为直线的上方；反之为下方）有结论： 项系数正值化：上；下 例3画出不等式组所表示的平面区域 解析：不等式对应的直线方程是；不等式对应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）    将不等式组中每个不等式项系数正值化，得或（移项） 关于的不等式（）即（或者），直线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图一）；关于的不等式（）即，直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图二） 然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域 （2）项系数化正法：同（1）一样，不等号两边同时（或移项）将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正方向所指的区域为直线的右方；反之为左方）有结论： 项系数正值化：右；左