高中数学培训资料2三角形的四心

1、高中数学培训资料（二）三角形的“四心”一. 重心的主要性质及其应用三角形三边中线相交于一点，叫做三角形的重心比例关系：重心分中线为等积关系：若为的重心，则重心是到三角形三顶点的距离的平方和为最小的点例如图，设为的重心，且，求的面积.例如图，在中，为三中线，为重心，求证：.例如图，已知为的重心，不过三角形顶点的直线过点，从三点向直线引垂线，为垂足，求证：.例如图，为的重心，分别为的重心，求证：是的重心.例如图，设为的重心，求证：.例如图，在中，为重心，为内部一点，直线交直线于点，求证：练习：已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为和，那么这个三角形的斜边长为（ ）a.10 b.4 c. d.

2、是的中线，交于，若，则（ ）a.14 b.12 c.10 d.8在中，已知和分别是两边上的中线，并且，那么的面积等于（ ）a.12 b.14 c.16 d.18在中，是边上的一点，点分别是和的重心，连结交于点，则（ ）a. b. c. d.在中，和的中线互相垂直，则（ ）a. b. c. d. 在中，和是的两条中线，且，那么（ ）a. b. c. d.若的重心为，则的面积为 如图，中，是中线，平分，且平行于，已知将分成六个部分的面积依次是，则 ， ， ， ， 已知凸四边形的面积为1，其对角线交于点，的重心分别为，则四边形的面积等于 已知平行四边形中，是的中点，求平行四边形的面积如图，在中，分别

3、是边上的中线，是边上的一点，过作交于点，作交于，分别交于，求证：如图，在中，是中线，且求的长；若存在，讨论的取值范围如图，已知为平行四边形内一点，为与的交点，分别为的中点，为与的交点，求证：三点在一条直线上；二、内心的主要性质及其应用三角形的三条内角平分线相交于一点，点称为此三角形的内心，它也是该三角形内切圆的圆心，内心有以下性质：若是的内心，则到三边的距离相等，这个相等的距离是内切圆的半径，；三角形内角张角定理：若是的内心，则，；若是的内心，延长线交的外接圆于，则；若在中的的平分线上（在的外接圆上），且，则为的内心；中，为高，分别为内切圆的半径，则例证明三角形内角张角定理：设是的内心，则，例

4、如图，在中，是重心，是内心，且，求证：例中，的平分线交于点，作于，设，求的值例如图，是的内心，直线交的外接圆分别于求证：例已知是等腰的底上的高，且，延长到，过点作的垂线，垂足为，求证：点是的内心例如图，在中，点是内心，垂足为，垂足为，垂足为，点是边的中点，求证：三点都在以为圆心的同一个圆上练习：为的内心，则（ ）a. b. c. d.为两直角边分别为7和24的直角三角形的内心，则到直角三角形斜边的距离等于（ ）a.1 b.2 c.3 d.4圆切三边于点，那么是（ ）a.锐角三角形 b.直角三角形 c.钝角三角形 d.以上都有可能等腰中，内切圆的半径是1，则腰长为（ ）a. b. c. d.4的

5、周长为25，为三角形的内心，线段过点分别交于，且，则的周长为 如图，在中，点是三等分线的交点，当时，的度数为 已知中，与的平分线相交于点，又于，若，则的值是多少？如图，中，分别为和的内心，求证：中，高，分别为内切圆的半径，求的值三、垂心的主要性质及其应用三角形三条高的交点叫做三角形的垂心的三条高交于点，则垂心是三垂足三角形（）的内心；三角形垂心张角定理：设是非直角的垂心，为最大角若，则若，则证明：例为内一点，求证：为的垂心例在半径为的圆中作一锐角，为垂心，求证：例在中，如图，于，于，于，且交于，求证：为的中心例设是等腰的垂心，如图，在底边保持不变的情况下，让顶点至底边的距离变小，这时乘积的值变

6、小，变大还是不变？试证明你的结论例的外接圆上任意一点，过作三边所在直线的垂线，求证：此三垂足共线已知：为外接圆上的一点，为垂足求证：三点共线练习：三边的长分别为，这三边的高依次为，若，则这个三角形为（ ）a.等边三角形 b.等腰非直角三角形 c.直角非等腰三角形 d.等腰直角三角形在中，为的垂心，且不与重合，则的度数是 不等边的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长内接于圆，垂足为，圆的半径为，求的长如图，在正方形的对角线上任取一点，过作的垂线与交于，求证：如图，是的高，过作于，并与交于，的延长线与的延长线交于，求证：如图，分别与圆相切于，连结与相交于点，连结，求证：把锐角的三条高延长和的外接圆分别交于，证明：的垂心是的内心设是的垂心，且，求证：四、外心的主要性质及其应用三角形三边中垂线交于点，点称为此三角形的外心，它也是该三角形外接圆的圆心.外心具有以下性质：外心到三角形三顶点的距离相等；三角形外心张角定理：设是的外心，且为最大角若，则若，则证明：例在的边上有一点，为锐角，各是的外心，且四边形与等积，求的度数例如图，已知于，在上，求证：例在中，在边上，作交于，作交于，又作点关于直线的对称点，连结求证：； 五、“四心”