泛函分析作业题答案 (改)

1、P46:第一章习题：1.验证满足距离定义。解：设，属于，是数， (1)对，有，所以， 且，即当且仅当(2) ；(3)设综上(1)，(2)，(3)，满足距离定义。3.试证明：在空间中的收敛等价于坐标收敛。证：设，若，则必有，否则，与正整数列的子序列，使，因为是单调递增，所以，这与矛盾，故中的收敛可推出坐标收敛。若，则对，由的任意性得 （此处未说明白，修改如下： 由于，故存在，再，则存在，设，从而故命题得证。4.证明：空间是可分的。证：令表示所有形如的元素的集合，为任意正整数，是任意的有理数，所以可数。故要证在收敛序列空间内是稠密，只需证明，中序列使。对，为收敛序列，所以对，时，有当时，构造使，时

2、有，令，则对，恒有 所以在中稠密，即可分。9.证明：是完备的距离空间。证：设是中的Cauchy序列，则对任意，存在，使得当时， (1)于是对每个固定的，时，这表明对每个固定的，是Cauchy数列。因此收敛。设当时令下面证明并且由(1)式知道，对任意，当时，在上式中固定时，先令，再令，得到 (2)这表明由于是线性空间，故而且式(2)还表明，当时因此故是完备的。26.设是从赋范线性空间到赋范线性空间的有界线性算子，证明证明：由，得，故式中“”均可改为等号，命题得证。27.设是Banach空间上有界线性算子，如果存在上有界线性算子，使，则是有界可逆的，而且反之，如果是有界可逆的，则这里是上恒等算子，

3、即证：(1) 记，则是从到的满射，（由于，故，即是满射）若，使，则由可得所以，所以是从到（）得单射，可定义从（）到中的算子：，当则由可得，所以，又是有界线性算子。所以是有界可逆的。(2) 若是有界可逆的，则既是单射又是满射，且是有界线性算子。对，使且，则，所以，又，所以，即（此处，证明中对有界可逆有所误解。见P28关于有界可逆的定义，以及此题题设的表述：反之，如果是有界可逆的，则这里是上恒等算子，即我们可以确信若，我们称算子有界可逆是指，而非.认识到这一点，将上面的证明稍加修改即可，此处不再赘述.）28.设是距离空间，是映射。如果是压缩的，求证：对任意自然数，也是压缩的。如果对某个自然数，是压

4、缩映射，也一定是压缩映射吗？证：(1) 因为是压缩映射,所以，使得，从而。假定成立，则有。于是根据数学归纳法原理，对成立。又故有。即是压缩映射。(2) 逆命题不一定成立。例如：是压缩映射，但是不是压缩映射。第二章习题：9.设是Hilbert空间的一个线性流形。证明：(1) 是的子空间；(2) ；(3) 如果也是的线性流形，使，则。证：(1) 如果，是任意两个数，则对每个，我们有，从而，因此是的子空间。（此处，证明未写完整，完整的证明如下：首先，故；然后，再来证明是线性流形，即上面所写，如果，是任意两个数，则对每个，我们有，从而，因此是的线性流形；最后，我们说明是闭的，设，由内积的连续性，对任意

5、，立即有所以是闭的.综上，是的子空间.）(2) ，对有， ；下证对，故（注意此处用了内积的连续性），所以，因此，故有。 (3)，。10.试证明按如下范数：，当是完备的赋范线性空间。证：表示Hilbert空间上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形式的线性空间。因为，所以，当且仅当；故，为赋范线性空间。下证是完备的：设是中的Cauchy序列，则对，正整数使当时有 即 因为，有，则，故收敛。（时另外说一句更好）设，（此处说一句容易知道是线性的对说明下面的一致收敛更好）则上式中令可得 当所以，一致收敛到，而也是连续函数，则，（改为，正整数使 ，当）即且，故事完备的。综上，是完备的赋范线性空间。11

6、.证明：对任意的，证：如果，结论显然成立。因此考虑的情形。如果，则Cauchy-Schwarz不等式表明因此，我们有至于相反的不等式，令，则，因此因此，且上确界实际上是最大值。12.验证P62页的定理3.3中的是上有界线性算子。证明： 是线性算子。 是有界的，则， 且 又是任意的 使 是有界的。 综上，是上有界线性算子。参考修改：（上面关于有界性的证明感觉有些不知所云，也许我下面写的更实际些）我们要证明A是有界的. 是有界的，则，取，则有，于是，所以是有界的.第三章习题：1.设无穷矩阵满足由它定义的线性算子为其中，试证明是从到自身的有界线性算子，且证：设，则，其中满足，所以对，所以，其中，因为

7、，所以。又，取，存在，使，且，所以，综上所述，原命题得证。参考修改：（涂红部分颇不明确，现改之如下）我们现在需要证明.首先，我们注意到不等式右端是上确界，故可以用上确界的定义，设，则 然后，我们设复变函数，作其中.则于是，,两边令，则，即.5.设是Banach空间，若有界可逆，则有界可逆，参考修改：证：因为，则.由有界可逆，有，则，而，从而可逆（见第一章习题27），且自然有，即有界可逆.（原解答将有界可逆理解错误，见课本P28关于算子有界可逆的定义）19.试证明：Banach空间是自反的当且仅当是自反的。证：假设自反的。如果，则存在某个非零的使得，由于是自反的，存在非零使得，特别地，对所有成立

8、，于是，矛盾。因此，必然是自反的Banach空间。上面是对的，下面我把它写得更清楚和完整.证：（必要性）我们只需证设为典型映射，由于是自反的，故于是，注意到，所以有，对照两式，有，即是我们一开始要找的.（充分性）假设不是自反的，即有，由Hahn-Banach定理知存在某个非零的使得，由于是自反的，存在非零的使得，特别地，对所有成立，于是，与非零矛盾。因此，必然是自反的Banach空间。25.设证明：如果，则逐点收敛于，即任给，都有证：因为，则有界。对每个，令，则因此27.设是赋范线性空间的子空间，则证：假设，即，则存在，有(1) ，当(2) ；(3) ，。因为，即对，有又因为，所以，这与矛盾，所以。