二阶常系数线性微分方程的解法

1、二阶常系数线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 第十章 11ycp 11ycq0证毕)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0 qyypy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xycxycy将代入方程左边, 得 11 yc22yc 22yc22yc1111qyypyc 2222qyypyc (叠加原理) )()(2211xycxycy则),(21为任意常数cc定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构:)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0 qyypy的两个解,是该方程的通解.)()(2211xycxyc

2、y则),(21为任意常数cc定理定理2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(21xyxy且 不为常数，二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为xrxrececy2121( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实

3、根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexccy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211

4、yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xcxceyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrececy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexccy1)(21ir,21)sincos(21xcxceyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxececy321例例2. 求解初值问题0dd2d

5、d22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetccs)(21利用初始条件得, 41c于是所求初值问题的解为tets)24(22c机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxyyy (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)(xfqyypy 则是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxyy代入方程左端, 得)*( yy)*(yyp)*(yqpyy )(yqypy )(0)(xfxf)*(yyq复习 目录 上页 下页

6、返回 结束 )(*)(xyxyy故是非齐次方程的解,又y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xcxcysincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxcxcysincos21证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xqex )()2

7、(xqp)()(2xqqp)(xpemx1、 型)()(xpexfmx 为实数 ,)(xpm其特解形如(1) 若 不是特征方程的根, 取)(xqm. )(*xqexymxk为 m 次多项式 .为 m 次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 ; 0k(2) 若 是特征方程的单根 , (3) 若 是特征方程的重根 , 取取; 1k. 2k例例3.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动

8、 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxececy3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxececy3221.)(2221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 其特解形如xrxrexymmxksincos*)2()1(其中 和 为 次多项式， 不是特征方程的根，取ilnm,max机动 目录 上页 下页 返回 结束 型xx

9、pxxpexfnlxsin)(cos)()(2、)()1(xrm)()2(xrmm而 的取值如下：ki 是特征方程的根，取; 0k. 1k例例5. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxpl, 0)(xpn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xcxcy3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xcxcy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为机动 目录