数学物理方法第12章格林函数ppt

1、本章总共五小节内容，可分为三部分。前两节是一部分，讲解泊松方程解其解的问题，三四节讲解波动和输运方程及其解的问题。第五小节是对前面的推广。在第一节里，写出泊松方程的格林函数积分公式，没有说出格林函数的形式，接下来在第二节就具体求格林函数的形式，然后代入第一节的积分公式中，就把定解问题全部求完了。第三节讲的是波动和输运问题（即含时间t）写出积分公式，第四节具体求格林函数，然后代回。这样就求出了波动和输运问题了。12.1泊松方程的格林函数法有源问题定解通解边界条件求通解积分定解积分边界条件 （格林函数格林函数法）1. 源问题例 静电场( )rrrrrr处静电场01( )( )4rrdrrra.无界

2、空间( )rrrrrb.有界空间边界上可能出现感应电荷r处静电场是源电荷与感应电荷的电势之和。感应电荷是源电荷的结果。计算变成由0( )1( )( )4grrrdrdrrrrr( )r计算感应电荷，然后是否能一次解决定解通解边界条件求通解积分定解积分边界条件 （格林函数格林函数法）2. 格林公式第一格林公式：区域 t，边界t设 和 在 t 中具有连续二阶导数，在 上有连续一阶导数。由高斯定理)(ru)(rvsdvu()tuv dv ttuvdvu vdv感应电荷是边界边界问题第二格林公式：udvvudvvsduvtt交换 和 ：)(ru)(rv与上式相减dvuvvusduvvut)()(即dv

3、uvvudsnuvnvut)()(n法向导数3. 边值问题泊松方程)(rfu边界条件)(unu)(定义在0, 0第一类边界条件0, 0第二类边界条件0, 0第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题4. 泊松方程的基本积分公式基本积分公式点源泊松方程)(),(00rrrrv单位负电荷在0rt0rk0 xyzdvrruvfdvdvvuuvttt)()(0)(0rr奇异，不能化为面积分。在 t 中挖掉半径 ，在 的小球 。小球边界 。0rk边界条件无法带入积分之中！dsn

4、vunuvdvvuuvkt)()(dsnvunuvdsnvunuv)()(在 ， 。kt 0)(0rrdvvfkt0)(ru)(rv和连续。dvvfdvvftktdnudsnuv2)41(dnu4dnu4nu0dsrrudsnvu)41(drru22141)(0ru.),()()(),()(),()(0000dsnrrvrunrurrvdvrfrrvrut这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。基本积分公式。解 在区域 t 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。0r)(ru)(0ru格林函数：将冲量定理法扩展到空间坐标00( ,

5、)( , ) () ().tlf x tfxtd d 对两端固定的弦2() ();ttxxga gxt 00;xx lgg000.tttgg20ttxxga g00;xx lgg000,().tttggx 问题变成00( , )( , ) ( , , ).tlu x tfg x td d .),()()(),()(),()(0000dsnrrvrunrurrvdvrfrrvrut5. 边值问题的格林函数格林函数还需知道点源泊松方程度解的边界条件。)(),(00rrrrv0),(0rrv),(),(00rrgrrv第一边值问题(狄里希利问题)(u.),()()(),()(000dsnrrgrdv

6、rfrrgrut第三边值问题)(unu第一边值问题格林函数)(),(00rrrrv),(),(00rrgrrv第三边值问题格林函数0vnvgunug0gngugngunug.),()(1)(),()(000dsrrgrdvrfrrgrut)(0rr在0r，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，)(),(00rrrrv具有同一个解，可作变换：0rr.),()()(),()(000000dsnrrgrdvrfrrgrut.),()(1)(),()(000000dsrrgrdvrfrrgrut12.2电像法求格林函数)(),(00rrrrv0),(0rrv),(),(00rrgrrv第一边值问题格林函

7、数0rr导体球内有一个点电荷 ，导体接地。求球内电势。电荷的存在，在导体上感应了电荷。球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。0将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示o)(00rm)(rm)(11rmp如右图，当导体外 m1 处有电荷 时，镜像电荷将在球内m0 处。120rar 104raqq04现在，问题反过来，在 r0 处有电荷-0 ，求r1，和镜像电荷。 0104raq141raq120rar 021rar 0012004raraaq),(),(00rrgrrv0202004141rrarrarr)(02021rrar例1),()(0fuaruar球内第一边值问题020200041

8、41),(rrarrarrrrg20020cos211rrrrrr在球面上arrrrrrrrrn2/320020)cos2(cos22211arrn2/32002)cos2(cosraraaa2040220202cos211rararrrrar2/32002220300202)cos2(cos1raraaarrrrarn2/320022203002/320020)cos2(cos41)cos2(cos41),(raraaarrrararaaarrgn)cos(1cos)cos2(1412030002/32002arrarrarara2/32002202)cos2(41raraara.),()(

9、)(),()(000000dsnrrgrdvrfrrgrut0)(rf.sin)cos2(41),(00022/320002202ddararaaraf.sin)cos2(),(40002/320002202ddrararafa例2),()0(0yxfuzuar半空间第一边值问题解),(0000zyxm),(1111zyxm),(zyxm按电磁学思维模式，应当引入镜像电荷表示平面（z=0）上的感应电荷。计算格林函数：镜像电荷的作用为使平面（z=0）上的电势为零。显然，这个电荷位于相对于平面（z=0）对称的几何点，且有相反的电量。),(),(00011111zyxmzyxm2/12020202/

10、12020200)()()(141)()()(141),(zzyyxxzzyyxxrrg000),(),(zrrgzrrgn2/320202002/32020200)()()(041)()()(041zzyyxxzzzyyxxz法线方向与z轴方向相反2/32020200)()()(21zzyyxxz.),()()(),(),(000000dsnrrgrdvrfrrgyxut.)()()(1),(2002/32020200dydxzzyyxxyxfz 12.112.2讨论的是稳定场问题的格林函数方法.至于波动与输运这类含时间的问题,同样可以运用格林函数方法求解. 本节以波动问题为例介绍含时间的格

11、林函数,并导出波动方程定解问题解的积分形式;对于输运问题,亦给出相应的结果.一般强迫振动的定解问题是 (12.3.1) (12.3.2) (12.3.3) 持续作用的力 可看作是前后相继的脉冲力 的叠加.现在我们再进一步将一个个连续分布于空间的脉冲力看作是鳞次栉比排列在许许多多点上的力的叠加.).(|),(|),(| )(),(002rrrtttttuutmunutfuau) , ( t rfdtrf)(),(),( trfttddrtrrrftrf0)()(),(),(00(12.3.4)把单位脉冲力所引起的振动记作 ,称之为波动问题的格林函数.求得了g,就可用叠加的方法求出任意力f(r ,

12、 t)所引起的振动.g所满足的定解问题是),;,(00trtrg. 0|, 0|, 0| )(),()(00002tttttgggnuttrrgag(12.3.5)(12.3.6)(12.3.7)我们可以用类似于求解泊松方程的方法求得定解问题(12.3.1)(12.3.3)的解的积分表式.需注意的是含时间的格林函数的对称性不同于泊松方程格林函数的对称性,).,;,(),;,(0000trtrgtrtrg(12.3.8)现在推导定解问题(12.3.1)(12.3.3)解的积分表式.考虑到关系式(12.3.8)中时间变数t与 不能像空间变数那样简单地对调,我们先将定解问题(12.3.1)(12.3

13、.3)中的r,t换为 ,0t00,tr).(| ),(),(| ),(),(|),(),(),(),(),(0000000000000000000020000000rtrurtrutmtruntrutrftruatruttttt(12.3.13)(12.3.14)(12.3.15)将g的定解问题中的r与 互换,同时将t和 分别换为 和-t,并利用对称关系(12.3.8),得0r0t0t. 0| ),; ,(, 0| ),; ,(, 0|),; ,(),; ,(),()(),; ,(),; ,(000000000000000020000000ttttttrtrgtrtrgtrtrgntrtrgt

14、trrtrtrgatrtrg(12.3.16)(12.3.17)(12.3.18)以 乘方程 (12.3.13),以 乘方程(12.3.16),相减,再对 在区域t上积分,同时对在0,t+ 上积分,并利用第二格林公式及初始条件(12.3.15)及(12.3.18),可得),;,(00trtrg),(00tru0r0tttttttttttttdtdvttrrudtdvtrftrtrgdtdvguugadtdvuggu000000000000000000200.)()(),(),;,()()(0000(12.3.19)其中 ,积分后取 ,引入是为了使含00的积分值确定(积分区间包含 在内),于是可

15、得0()tt0tt0 00 000000002000000.00( , )( , ; , ) ( , )()()ttttt tt tttu r tg r t r tf r t dv dtguugdv dtagu ug dv dt (12.3.20)右边第二个积分中 因此,可完成对 的积分,计及 时g=0, ,这样得到0 00 0000()/t tt tttguugd guugdt0t0tt00tg 000200000000000000( , )( , ; , ) ( , )()|.tttttttugu r tg r t r tf r t dv dtaguds dtnnguugdv(12.3.2

16、1)对于不同类型的边界条件,可令g满足相应的齐次边界条件,从而得到适用于不同边界条件的以g表示的解的积分表式. 对于输运问题,20( , ),|(, ),|( ).ttuauf r tuum tnur(12.3.22)(12.3.23)(12.3.24)类似上面的讨论,同样可得到其解的积分表式0200000000000000( , )( , ; , ) ( , )().tttttugu r tgr t r t f r t dvdtagudsdtnnugdv(12.3.25) 12.3给出了以格林函数表示的波动方程与输运方程解的积分表式,然而,只有找到格林函数,才能利用积分表式最终确定问题的解,

17、本节将通过几个例子介绍怎样用冲量定理求格林函数,以及格林函数在求解波动问题或输运问题中的应用. 例例1 求解一维无界空间中的受迫振动. 0|, 0|),(002tttxxttuutxfuau解解 这个问题的格林函数g满足定解问题. 0|, 0|),()(00002tttxxttggttxxgag按照冲量定理方法,g的定解问题可以转化为).(|, 0|, 0002xgggagtttxxtt 这个定解问题的解由达郎贝尔公式(7.4.7)给出,只是其中的t在这里应换为 ,t()00()0,()()1.()()21( , ; , )()2x a tx a tx a tx a tx a tx a tag

18、 x tda 或按(12.3.21),u的解是ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(例例 2 求解定解问题. 0|, 0|, 0|, 0|,sincos0002tttlxxxxxxttuuuuwtlxauau解解 格林函数g满足 . 0|, 0|, 0|, 0|),()(0002tttlxxxxxxttggggtxgag按冲量定理,这个问题可转化为).(|, 0|, 0|, 0|, 00002xgggggagtttlxxxxxxtt利用分离变数法,可求得.coscos)(sin12)(1),;,(1lxnlnltannatltxgn以此代入(12.3.21).得 tlntltl

19、ntldltandlnllxnnaaddlnltanllxnnaaddwlatlddtxgftxu0010000100)(sinsincoscoscos12cos)(sinsincoscos12sincos)(1),;,(),(),(对 的积分等于零,除非n=1.对于n=1,这个积分等于 .于是,2/l.cos)sinsin(/1)(sinsincos),(22220lxtlalatlaaaldltalxaaltxut例例 3 求解一维无界空间的有源输运问题. 0|),(02txxtutxfuau解解 格林函数g满足定解问题. 0|),()(02txxtgtxgag这个问题可以转化为).(|,

20、 002xggagtxxt这个定解问题的解可引用13.1例2的结果,只是那里的t在这里应换为 .于是,得到无界空间输运问题的格林函数格林函数t.)(21)(21)(),;,()(4/)(0)(4)(022220taxtaxxetadxetaxtxg(12.4.1)从而所求的解 ttaxddetaftxu0)(4)(.)(21),(),(22）温度取峰值。热源所在处（都是高斯函数曲线，点。这些，实际上就代表着时间指图中所注的）（的格林函数描画了一系列给定时刻图0)(,;,g4122xtatx的传播速度然是无限大。但无限大一切地点，传播速度竟瞬时地”传到）。这是说，热竟然“温度就不为零（），刚刚超

21、过作用之后（多大），瞬时热源刚刚（不论离点热源多远值的惊异的是，不论距峰越低而两侧越平缓。较陡。时间越迟，较小）。峰较高而两侧对于较早的时刻（0g tx物理上还是成立的起作用，所求得的解在不是很小，统计规律已。不过，只要使传播速度不能无限大的惯性，而正是这惯性没有考虑分子运动是一种统计规律，完全热传导定律导方程所根据的哪里？原来，导出热传是不可能的。问题出在tukq例例4 求解一维半无界空间x0的有源输运问题,第一类齐次边界条件,. 0|, 0|),0)(,(002txxxtuuxtxfuau解解 因为是第一类齐次边界条件,应该奇延拓到x0中的输运问题的格林函数格林函数),;,(txg).()

22、(21),;,()(4)()(4)(2222taxtaxeetatxg (12.4.3)例5 求解一维半无界空间x0的有源输运问题,第二类齐次边界条件,.0|,0|),0)(,(002txxxxtuuxtxfuau 解 因为是第二类齐次边界条件,应该偶延拓到x0中的输运问题的格林函数格林函数),;,(txg).()(21),;,()(4)()(4)(2222taxtaxeetatxg(12.4.5)典型例题 )1 ()(),()1 (),()1 (),(),(:1002cxyuxyubuyguayxfyxuayyxx有界列定解问题用格林函数方法求解下例yx,:量改换为先将定解问题中的自变解)3

23、(0),;,(, 0),;,()3(),;,(, 0),;,()3()()(),;,(),;,(),;,(),;,()1 ()(),(),(),()1 (),(),(),()1 (),(),(00002cyyxyxgyyxyxgbyxyxgyxyxgayyxxyxyxgyxyxgyxyxgyxyxgcxyyxuxyyxubyxuygyxuayxfyxuayyxxayyxx有界满足的定解问题写出格林函数性在利用格林函数的对称有界l dnyxyxgyxunyxuyxyxgydxdyxyxgyxftxuydxdyxyxgyxuyxuyxyxgydxdyxyxgyxftxuyxuayxyxga),;,

24、(),(),(),;,(),;,(),(),(,),;,(),(),(),;,(),;,(),(),(,),()3(),;,()2(22积分面的第二个面积化为线利用格林第二公式将上即得再积分两式相减乘以将方程乘以将方程:,即得并注意法线方向的规定代入边界条件xdyyxuyxyxgxdyyxuyxyxgydxyxyxgyxuydxdyxyxgyxftxuyayxa00000|),(),;,(|),(),;,(|),;,(),(),;,(),(),(); (2rrg边值问题的格林函数拉斯方程第一类用电像法求出球外拉普例于是量为且进一步设像电荷的电设该点坐标为不妨且在球内点的连线上一定位于原点与如果存在的话可以判断此像电荷根据对称性考虑此定解问题为解,),( .,),()(,0); (,), (1); (:11102errrrrrgarrrrrrgarcos2cos2141); (),cos(sinsincoscoscos,11); (12121220110rrrrer rrrrrgrrrrerrrrg则间的夹角为与令0cos2cos21121212211rrrrer rrrre由边界条件及位置像电荷的电量0)()(1,0)(co