第1讲计数原理二项式定理讲课适用

1、专题七专题七 概率与统计概率与统计第第1讲讲 计数原理、二项式定理计数原理、二项式定理 1.1.分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类 计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才 能将规定的事件完成，则要用分步计数原理将各步能将规定的事件完成，则要用分步计数原理将各步 的方法种数相乘的方法种数相乘. .1优选课堂2.2.排列与组合排列与组合 （1）排列：从）排列：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m（m mn n）个）个 元素，按照

2、一定的顺序排成一列，叫做从元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n n个不同个不同 元素中取出元素中取出m m个元素的一个排列个元素的一个排列.从从n n个不同元素中个不同元素中 取出取出m m个元素的排列数公式是个元素的排列数公式是 =n n（n n-1 1）（）（n n- 2 2）（n n-m m+1+1）或写成）或写成 = = . （2）组合：从）组合：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m（m mn n）个）个 元素合成一组，叫做从元素合成一组，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元个元 素的一个组合素的一个组合.从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m

3、m个元素的组个元素的组 合数公式是合数公式是 或写成或写成 mnamna！)(！mnn！121cmmnnnnmn！cmnmnmn2优选课堂（3 3）组合数的性质组合数的性质 = = ， = + .= + .3.3.二项式定理二项式定理 （1 1）定理：定理：( (a+ba+b) )n n= a= an n+ a+ an-n-1 1b+ ab+ an-n-2 2b b2 2+ + + a an-rn-rb br r+ + b+ bn n(r (r=0,1,2,=0,1,2,n).n). （2 2）二项展开式的通项二项展开式的通项 t tr+r+1 1= a= an-rn-rb br r，r r=

4、0=0，1 1，2 2，n n，其中，其中 叫做二叫做二 项式系数项式系数. . （3 3）二项式系数的性质二项式系数的性质 对称性：与首末两端对称性：与首末两端“等距离等距离”两项的二项式系两项的二项式系 数相等，数相等， 即即 = = ， = = ， ， = = ，. .mncmnncmn 1cmnc1cmn0cn1cn2cnrncnncrncrnc0cn1cn1cnnknck-nncnnc3优选课堂最大值：当最大值：当n n为偶数时，中间的一项的二项式系数为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当取得最大值；当n n为奇数时，中间的两项的二项为奇数时，中间的两项的二项 式系数式系数

5、 ， 相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值. .各二项式系数的和各二项式系数的和 a a. + + +. + + + + + =+ =2 2n n; ; b b. + +. + + + += + += + + + +. . = = 2 2n n= =2 2n-n-1 1. . 2cnn21cnn21cnn0cn1cn2cnkncnnc0cn2cnrn2c1cn3cn12crn214优选课堂一一 、 两个计数原理的应用两个计数原理的应用 例例1 1 某中学拟于下学期在高一年级开设某中学拟于下学期在高一年级开设矩阵与变矩阵与变换换、信息安全与密码信息安全与密码、开关电路与布尔代开关电路与布

6、尔代数数等三门数学选修课程，在计划任教高一年级的等三门数学选修课程，在计划任教高一年级的1010名数学教师中，有名数学教师中，有3 3人只能任教人只能任教矩阵与变换矩阵与变换，有有2 2人只能任教人只能任教信息安全与密码信息安全与密码，另有，另有3 3人只能人只能任教任教开关电路与布尔代数开关电路与布尔代数，这三门课程都能任，这三门课程都能任教的只有教的只有2 2人，现要从这人，现要从这1010名教师中选出名教师中选出9 9人，分别人，分别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排3 3名教师任教，则不同的安排方案共有名教师任教，则不同的安排方案共

7、有 . . 5优选课堂思维启迪思维启迪 本题可以根据已知条件作出韦恩图，然本题可以根据已知条件作出韦恩图，然后分后分4 4种情况讨论没有任教的老师，得到答案种情况讨论没有任教的老师，得到答案. .解析解析 按逻辑顺序作出如图所示的韦恩图按逻辑顺序作出如图所示的韦恩图. . 6优选课堂由韦恩图知，没有任教的老师可分为由韦恩图知，没有任教的老师可分为4 4类情况类情况. .第一类，没有任教的老师是只能任教第一类，没有任教的老师是只能任教信息安全与信息安全与密码密码的的2 2位教师中的一位，则任教位教师中的一位，则任教信息安全与密信息安全与密码码的老师由三门课都能任教的的老师由三门课都能任教的2 2

8、位老师来补充，有位老师来补充，有2 2种选法；种选法；第二类，没有任教的老师来自于三门课都能任教的第二类，没有任教的老师来自于三门课都能任教的2 2位老师中的一位，则剩下的一位老师只能任教位老师中的一位，则剩下的一位老师只能任教信信息安全与密码息安全与密码，有，有2 2种选法；种选法；第三类，没有任教的老师来自于只能任教第三类，没有任教的老师来自于只能任教矩阵与矩阵与变换变换的的3 3位老师中的一位，则需从三门课都能任教位老师中的一位，则需从三门课都能任教的的2 2位老师中选位老师中选1 1位来补充，共有位来补充，共有3 32 2种选法；种选法；7优选课堂第四类，没有任教的老师来自于只能任教第

9、四类，没有任教的老师来自于只能任教开关电开关电路与布尔代数路与布尔代数的的3位老师中的一位，则需从三门课位老师中的一位，则需从三门课都能任教的都能任教的2位老师中选位老师中选1位来补充，共有位来补充，共有32种选种选法，故共有法，故共有2+2+32+32=16种选法种选法. 探究提高探究提高 解决此类题目的难点在于根据谁来分类，解决此类题目的难点在于根据谁来分类，分类的标准是什么，故考虑问题时，首先要注意分分类的标准是什么，故考虑问题时，首先要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准类讨论的对象和分类讨论的标准.变式训练变式训练1 （1）（）（2009湖南理，湖南理，5）从）从10名大学毕名大学毕业

10、生中选业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（选，而丙没有入选的不同选法的种数为（） 答案答案 168优选课堂a.85b.56c.49d.28解析解析 丙不入选的选法有丙不入选的选法有 =84（种）（种）,甲乙丙都不入选的选法有甲乙丙都不入选的选法有 =35（种）（种）.所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种种.答案答案 c（2）（）（2008全国全国文，文，12）将）将1，2，3填入填入33的方格中，要的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，求每行、

11、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写右面是一种填法，则不同的填写方法共有方法共有( () )a.6种种b.12种种c.24种种d.48种种123789c39123567c379优选课堂解析解析 由于由于33方格中方格中,每行、每列均每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起线填起.如图中的，当全为如图中的，当全为1时，时，有有2种（即第一行第种（即第一行第2列为列为2或或3，当第，当第二列填二列填2时，第三列只能填时，第三列只能填3，当第一行填完后，其，当第一行填完后，其他行的数字便可确定），当全为他行的数字便可确定），当全为2或或3时，分别

12、有时，分别有2种，共有种，共有6种；当分别为种；当分别为1，2，3时，也共有时，也共有6种种.共共12种种. 答案答案 b10优选课堂二、二、 排列组合排列组合 例例2 有有3名男生，名男生，4名女生，按下述要求，分别求出名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数其不同排列的种数.（1）选其中）选其中5人排成一行；人排成一行；（2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者在两头）全体排成一行，其中甲只能在中间或者在两头 的位置；的位置；（3）全体排成一行，其中甲乙必须在两头；）全体排成一行，其中甲乙必须在两头；（4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；（5

13、）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（6）全体排成一行，其中男生必须排在一起；）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（7）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；（8）全体排成一行，其中男生不能全排在一起；）全体排成一行，其中男生不能全排在一起；11优选课堂（9）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的 顺序保持不变；顺序保持不变；（10）全体排成前后两排，前排）全体排成前后两排，前排3人，后排人，后排4人；人；（11）全体排成一行，甲、乙两人间恰有）全体排成一行，甲

14、、乙两人间恰有3人人.12优选课堂思维启迪思维启迪 （1）要考虑特殊元素、特殊位置优先安）要考虑特殊元素、特殊位置优先安排的原则排的原则.（2）要注意剔除法、插空法的应用）要注意剔除法、插空法的应用.解解 （1）此题为选排列问题，共有）此题为选排列问题，共有 种排法种排法 .（2）此题为条件排列问题，可分步完成，首先在中）此题为条件排列问题，可分步完成，首先在中间或两头之一排甲，共有间或两头之一排甲，共有 种方法；其次在所剩的种方法；其次在所剩的6个位置上对其余个位置上对其余6人进行全排列，共有人进行全排列，共有6！种方法！种方法.依依乘法原理，所有不同的排列数为乘法原理，所有不同的排列数为n

15、 n= 6！=36！.（3）仿（）仿（2）先排甲、乙共）先排甲、乙共 种排法，其余种排法，其余5人尚人尚有有 种排法，故共有种排法，故共有2！5！种排法！种排法.（4）由于甲不在首，乙不在尾，所以就首位而言，）由于甲不在首，乙不在尾，所以就首位而言，排乙与不排乙可分两类，当乙排在首位时，其余皆排乙与不排乙可分两类，当乙排在首位时，其余皆无限制，共有无限制，共有6！种排法，当乙不在首位时，可分步！种排法，当乙不在首位时，可分步57a13a13a22a55a13优选课堂完成先排乙有完成先排乙有 种方法，再排甲应有种方法，再排甲应有 种方法种方法.最后最后其余各元素尚有其余各元素尚有 种排法，故共有

16、种排法，故共有 种排法种排法.依加法原理，所有不同的排列种数为依加法原理，所有不同的排列种数为n n=6！+ =6！+255！=315！.（5）可将男、女同学各）可将男、女同学各“并并”为一个元素，其排法为一个元素，其排法有有 种，又男同学的排法有种，又男同学的排法有 种，女同学的排法种，女同学的排法有有 种，由乘法原理，所有不同的排列数为种，由乘法原理，所有不同的排列数为n n= .（6）可先将男生）可先将男生“并并”为一个元素，女生一人为为一个元素，女生一人为1个元素，先进行全排列共个元素，先进行全排列共 种排法，又男生间排列种排法，又男生间排列有有 种排法，故共有种排法，故共有 种排法种

17、排法.15a15a55a55a15a15a15a15a55a22a33a44a22a33a44a55a33a33a55a14优选课堂（7 7）不相邻问题常以不相邻问题常以“插空插空”法处理，先排男生有法处理，先排男生有 种排法，此三人中间及两端恰有种排法，此三人中间及两端恰有4 4空供不相邻的女空供不相邻的女生排列，有生排列，有 种排法，从而共有种排法，从而共有 种不同的排种不同的排列列.（8 8）首先审清题意，男生不能全排在一起，并不是首先审清题意，男生不能全排在一起，并不是说男生都不相邻，即男生可有两人是相邻的，而女说男生都不相邻，即男生可有两人是相邻的，而女生是否相邻，是否有几人相邻则均

18、无限制，由此不生是否相邻，是否有几人相邻则均无限制，由此不难明白，此题若直接排列较麻烦，有难明白，此题若直接排列较麻烦，有（6 6）题可鉴，题可鉴，用用“正难则反正难则反”之法突破则易，即从之法突破则易，即从7 7人的全排列中人的全排列中除去男生皆相邻的情况即得，故所求不同排列数为除去男生皆相邻的情况即得，故所求不同排列数为n n= - - .33a44a44a33a77a33a55a15优选课堂（9）排列问题的关键在于）排列问题的关键在于“顺序顺序”，而此题中的甲、，而此题中的甲、乙、丙三人的顺序是一定的，此三人在任三个位置乙、丙三人的顺序是一定的，此三人在任三个位置上的全排列数为上的全排列

19、数为 种，但其中只有一种合乎要求，种，但其中只有一种合乎要求，于是可先将于是可先将7人进行全排列，其中每含一个人进行全排列，其中每含一个即有一个合乎条件的排列存在，故所求不同的排列即有一个合乎条件的排列存在，故所求不同的排列种数为种数为: n n= /有趣的是有趣的是 / = ，又可给我们一个新的思路：，又可给我们一个新的思路：男生顺序一定即男生无须排列，只需在男生顺序一定即男生无须排列，只需在7个位置中选个位置中选4个位置将女生进行排列即可个位置将女生进行排列即可.（10）前后二排形式变化，顺序之实质犹存，其排）前后二排形式变化，顺序之实质犹存，其排法仍为法仍为 种种.33a33a33a77

20、a77a33a47a77a16优选课堂（11）先选）先选3人排在甲、乙之间，有人排在甲、乙之间，有 种排法，又种排法，又此甲、乙排列有此甲、乙排列有 种，再种，再“并并”此此5人为一元素与人为一元素与其余其余2人全排列有人全排列有 种，故共种，故共 种种.探究提高探究提高 本题主要考查排列、组合问题，这是高考本题主要考查排列、组合问题，这是高考的常见题型的常见题型.求解这类问题的常用方法为：（求解这类问题的常用方法为：（1）以元）以元素为主素为主.应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，如本题第（如本题第（2）问）问.（2）以位置为主）以位置为主.即先满

21、足特殊位即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如本题第（置的要求，再考虑其他位置，如本题第（4）问）问.（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数去不符合要求的排列数或组合数,如本题第（如本题第（8）问）问.前两种方式叫做直接解法，后一种方式叫做间接前两种方式叫做直接解法，后一种方式叫做间接35a22a33a35a22a33a17优选课堂（剔除）解法（剔除）解法.在求解这类问题时，常常要注意避免在求解这类问题时，常常要注意避免“选取选取”时重复和遗漏的错误时重复和遗漏的错误.解排列、组合问题，解排列、组合问题，常

22、用的方法有：直接计算法与间接（剔除）计算法；常用的方法有：直接计算法与间接（剔除）计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等法和捆绑法等.变式训练变式训练2 有六种不同的工作分配给有六种不同的工作分配给6 6个人担任，每个人担任，每个人只能担任一种工作，甲只能担任其中某两项工个人只能担任一种工作，甲只能担任其中某两项工作，而乙不能担任这两项工作，则共有多少种不同作，而乙不能担任这两项工作，则共有多少种不同的分配方法？的分配方法？解解 方法一方法一（元素分析法）：甲担任允许他担任的两（元素分析法）：甲担任允许他担任的两项工作中的一

23、项，有项工作中的一项，有 种方法；乙担任其余四项工种方法；乙担任其余四项工作中的一项，有作中的一项，有 种方法，其他种方法，其他4 4人担任剩下的四项人担任剩下的四项12c14c18优选课堂工作，有工作，有 种方法种方法.所以共有分配方法所以共有分配方法 =2424=192(种种).方法二方法二（位置分析法）：先由其余（位置分析法）：先由其余4人选出人选出1人人,有有 种方法；让乙不能担任的两项工作分配给甲和刚选种方法；让乙不能担任的两项工作分配给甲和刚选出的那个人担任，有出的那个人担任，有 种方法；剩下的四项工作分种方法；剩下的四项工作分配给余下的配给余下的4个人担任，有个人担任，有 种方法

24、种方法.所以共有分配所以共有分配方法方法 =4224=192(种种).44a441412acc14c22a44a442214aac19优选课堂三、三、 求二项展开式的通项、指定项求二项展开式的通项、指定项例例3 3 （1-21-2x x）n n的展开式中第的展开式中第6 6项与第项与第7 7项的系数的项的系数的绝对值相等，则展开式中系数最大的项和系数绝对值绝对值相等，则展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项分别为最大的项分别为 . .思维启迪思维启迪 （1 1）利用通项公式，列方程求利用通项公式，列方程求n. n.（2 2）利用通项公式表示出项的系数，列不等式组，利用通项公式表示出项的系数，

25、列不等式组，确定系数绝对值最大的项确定系数绝对值最大的项. .解析解析 由二项展开式的通项公式，得由二项展开式的通项公式，得t t5+15+1= = （-2-2x x）5 5, ,t t6+16+1= = (-2(-2x x) )6 6. .又依题意，知又依题意，知 2 25 5= = 2 26 6，n=n=8 8. .(1-2(1-2x x) )n n展开式中二项式系数最大的项为展开式中二项式系数最大的项为t t5 5= = （-2-2x x）4 4= =1 1201 120 x x4 4. .5cn6cn6cn5cn48c20优选课堂设第设第r r+1+1项系数的绝对值最大，则项系数的绝对

26、值最大，则解得解得5 5rr6 6. .又又rrz z，r=r=5 5或或r=r=6 6. .系数绝对值最大的项为系数绝对值最大的项为t t6 6=-=-1 7921 792x x5 5,t,t7 7= =1 7921 792x x6 6. .答案答案 1 120 x x4;-1 792x x5与与1 792x x6118811882c2c2c2crrrrrrrr21优选课堂探究提高探究提高 本题是求二项展开式的项的问题，这类问本题是求二项展开式的项的问题，这类问题是高考的常见题型题是高考的常见题型.求解二项展开式的常数项、有理求解二项展开式的常数项、有理项或系数最大的项时，一要注意根据通项公

27、式讨论对项或系数最大的项时，一要注意根据通项公式讨论对r r的限制；二要注意到指数及项数的整数性的限制；二要注意到指数及项数的整数性.在使用通项在使用通项公式公式t tr r+1= = a an n-rb br r时，要注意：时，要注意：（1 1）通项公式是表通项公式是表示第示第r r+1+1项，而不是第项，而不是第r r项；项；（2 2）展开式中第展开式中第r r+ +1项的项的二项式系数二项式系数 与第与第r+1r+1项的系数不同项的系数不同.注意上述几点，注意上述几点，常常可以防止出现不必要的失误常常可以防止出现不必要的失误.求解本题时，先求出求解本题时，先求出n n的值，再由二项式系数

28、的最大项是的值，再由二项式系数的最大项是“最中间最中间”的项，的项，求出二项式系数的最大项求出二项式系数的最大项.利用不等式组求系数绝对值利用不等式组求系数绝对值最大的项是解决这类问题的常用方法最大的项是解决这类问题的常用方法. rncrnc22优选课堂变式训练变式训练3 已知（已知（ +3+3x x2）n n展开式中各项的系数展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大之和比各项的二项式系数之和大992992.则二项展开式中则二项展开式中二项式系数最大的项与展开式中系数最大的项分别二项式系数最大的项与展开式中系数最大的项分别是是 .解析解析 由题意，得（由题意，得（1+31+31 1）n

29、n-2-2n n=992=992,n n=5,=5,t tr r+1= （ ）5-r r（3 3x x2）r r =3r r .展开式中二项式系数最大的项是展开式中二项式系数最大的项是t t3=3=32 2 =90=90 x x6,t t4=3 33 =270=270 .又由又由32xr5c32xr5c3410rx25c318x35c322x322x15151515c3c3c3c3kkkk-k-kkk23优选课堂解得解得3.53.5k k4.54.5，k k=4 4.t t5=3 34 =405405 为所求的系数最大的项为所求的系数最大的项.故填故填9090 x x6与与270270 ;40

30、5405 .答案答案 90 x x6与与270 ;40545c326x326x322x326x322x326x四、四、 二项式定理中的二项式定理中的“赋值赋值”问题问题 例例4 4 （20082008福建）若福建）若(x-2 2)5=a a5x x5+a a4x x4+a a3x x3+a a2x x2+a a1x x+a a0,则则a a1+a a2+a a3+a a4+a a5= .（用数字作答）（用数字作答）思维启迪思维启迪 观察结构，令观察结构，令x x=1 1即可求出即可求出a a0+a a1+a a2+a a3+a a4+a a5的值的值.再考虑求出再考虑求出a a0即可即可.解析

31、解析 方法一方法一 令令x x=0 0,得得a a0=(-2)(-2)5 5=-3232,24优选课堂令令x x=1 1，得，得a a0+a a1+a a2+a a3+a a4+a a5=-1 1,a a1+a a2+a a3+a a4+a a5=-1 1+3232=3131，故填，故填3131.方法二方法二 展开左边得（展开左边得（x x-2 2）5=x x5-1010 x x4+4040 x x3-8080 x x2+8080 x x-32-32，比较两端的系数得，比较两端的系数得a a5=1 1,a a4=-1010,a a3=4040,a a2=-8080,a a1=8080，故，故a

32、 a1+a a2+a a3+a a4+a a5=3131,故填故填3131.答案答案 31探究提高探究提高 “赋值思想赋值思想”是学习二项式定理的意外收是学习二项式定理的意外收获获赋值法几乎成为处理组合数问题、系数问题赋值法几乎成为处理组合数问题、系数问题的首选经典方法；将等式两边进行展开后比较左右的首选经典方法；将等式两边进行展开后比较左右两端的系数的方法，对于次数不很高的二项式非常两端的系数的方法，对于次数不很高的二项式非常适用，优点是不必过于挖空心思，易于操作，缺点适用，优点是不必过于挖空心思，易于操作，缺点是计算量大，容易出错是计算量大，容易出错. 25优选课堂变式训练变式训练4 4

33、（20092009陕西理，陕西理，6 6）若（）若（1-21-2 x x）2 009009=a a0+a a1 x x+a a2 0092 009 x x2 0092 009(x xr),则则的值为的值为（）a.2 2b.0 0c.-1-1d.-2-2解析解析 （1-21-2x x）2 009=a a0+a a1x x+a a2 009 x x2 009，令，令x x= ,则则 ( (1-21-2 )2 009=a a0+ + + + + =0 0,其中其中a a0=1 1所以所以 + =-1-1. 00920092221222aaa212121a222a009200922a22122aa00

34、9200922ac26优选课堂规律方法总结规律方法总结1.排列组合应用题的解题策略排列组合应用题的解题策略（1）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类分类”还是还是“分步分步”，接着还要搞清楚，接着还要搞清楚“分类分类”或者或者“分分步步”的具体标准是什么的具体标准是什么.（2）区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选）区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关出的元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影

35、响，则是组合问题元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关取元素的顺序无关.27优选课堂（3）排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊）排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素（特殊位置）优先安排法；合理分类与准确元素（特殊位置）优先安排法；合理分类与准确分步；排列、组合混合问题先选后排法；相邻分步；排列、组合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题缩问题捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题缩倍法；多排问题一排法；倍法；多排问题一排法；“小集团小集团”问题先整问

36、题先整体后局部法；构造模型法；正难则反、等价转体后局部法；构造模型法；正难则反、等价转化法化法.2.二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数相等）；二是赋值应项系数相等）；二是赋值.这两种思路相结合可以这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解使得二项展开式的系数问题迎刃而解.另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足28优选课堂条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运条件的项或系数，求展开式

37、的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：用公式时要注意以下几点： 是第是第k k+1项，而不是第项，而不是第k k项项;运用通项公式运用通项公式t tk k+1= 解题，一般都需先转解题，一般都需先转化为方程（组）求出化为方程（组）求出n n、k k，然后代入通项公式求解，然后代入通项公式求解.求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出k k，再求出所需的某项；有时需先求再求出所需的某项；有时需先求n n，计算时要注意，计算时要注意n n和和k k的取值范围及它们之间的大小关系的取值范围及它们之间的大小关系. kkkbannckkkbannc29优

38、选课堂一、选择题一、选择题1.（2009广东理广东理,7）2010年广州亚运会要从小年广州亚运会要从小 张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四个分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作，四个分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人人 均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （） a.36种种b.12种种c.18种种d.48种种 a30优选课堂2.12名同学合影，站成了前排名同学合影，站成了前排4人后排人后排8人，现摄影人，

39、现摄影 师要从后排师要从后排8人中抽人中抽2人调整到前排，其他人的相人调整到前排，其他人的相 对顺序不变，则不同调整方法的种数是（对顺序不变，则不同调整方法的种数是（） a. b. c. d. 解析解析 要完成这件事，可分两步走，第一步可先从要完成这件事，可分两步走，第一步可先从 后排后排8人中选人中选2人共有人共有 种；第二步可认为前排放种；第二步可认为前排放6 个座位，先选出个座位，先选出2个座位让后排的个座位让后排的2人坐，由于其他人坐，由于其他 人的顺序不变，所以有人的顺序不变，所以有 种坐法种坐法.综上，由分步计综上，由分步计 数原理知不同调整方法种数为数原理知不同调整方法种数为 种

40、种.2328ac6628ac2628ac2528ac28c26a2628acc31优选课堂3.设（设（1+x x）8=a a0+a a1x x+a a8x x8，则，则a a0，a a1，,a a8中有中有 奇数的个数为奇数的个数为（） a.2b.3c.4d.5 解析解析 a a0=a a8= =1,a a1=a a7= =8,a a2=a a6= =28. a a3=a a5= =56,a a4= =70. 奇数个数为奇数个数为2.08c18c28c38c48ca4.设有编号为设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为的五个球和编号为1,2,3,4,5的的 五个盒子五个盒子,现将这五个球投

41、放入这五个盒子内现将这五个球投放入这五个盒子内,要求要求 每个盒子投放一个球每个盒子投放一个球,并且恰好有两个球的编号与并且恰好有两个球的编号与 盒子的编号相同盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为则这样的投放方法的总数为( ( ) ) a.20种种b.30种种 c.60种种d.120种种 解析解析 由题意得投放方法为由题意得投放方法为 2=20种种.故选故选a.25ca32优选课堂5.（2009江西理，江西理，7）（）（1+axax+byby）n n展开式中不含展开式中不含 x x的项的系数绝对值的和为的项的系数绝对值的和为243，不含，不含y y的项的系数的项的系数 绝对值的和为绝对值的

42、和为32，则，则a a,b b,n n的值可能为的值可能为（） a.a a=2,b b=-1,n n=5b.a a=-2,b b=-1,n n=6 c.a a=-1,b b=2,n n=6d.a a=1,b b=2,n n=5 解析解析 令令x x=0,y y=1得（得（1+b b）n n=243,令令y y=0,x x=1得得（1+a a）n n=32,将选项将选项a、b、c、d代入检验知代入检验知d正正 确，其余均不正确确，其余均不正确.d33优选课堂二、填空题二、填空题6. (2009山东临沂山东临沂)从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出3 名代表（分别担任组长、副组长和成员

43、）参加一名代表（分别担任组长、副组长和成员）参加一 个校际交流活动，要求这个校际交流活动，要求这3名代表中必须既有男生名代表中必须既有男生 又有女生，那么不同的选法共有又有女生，那么不同的选法共有 种（用数种（用数 字作答）字作答）. 解析解析 分两类，两男一女：分两类，两男一女： =108 一男两女：一男两女： =72.108+72=180（种）（种）.331324acc180332314acc34优选课堂7.如果如果 的展开式中各项系数之和为的展开式中各项系数之和为128， 则展开式中则展开式中 的系数是的系数是 . 解析解析 令令x x=1，得，得2n n =128，n n=7. 设展开式中第设展开式中第r r+1项为项为 的项，的项， t tr r+1= （3x x）7-r r =37-r r （-1）r r ， 7- r r=-3，解得，解得r r=6， t t7=3 x x-