矩阵直积稻谷书苑

1、第五章第五章 矩阵的直积矩阵的直积1教学运用第一节第一节 直积的定义与性质直积的定义与性质1112122122212a=(a ),b=(b ),a ba ba ba ba babababababkroneckerab=(a b)ijm nijp qnmmmnmp nqijmp nq定义：设称分块矩阵 为 与 的直积(张量积或积).记为. 2a=,b=3abcd 例如：，则2222bb332a22ab=,ba=.bb223a333333ababababcdcdcdabcdcd2教学运用ab,baabba.的阶数相同，但一般直积不满足交换律由直积的定义容易推出以下定理：iiiii.nmmnm n

2、定理1：1)两个上三角矩阵的直积是上三角阵; 2)两个对角矩阵的直积是对角阵; 3)3教学运用直积具有以下运算规律：111t11111abafbff=cdcfdfb=b=a=b=ab=.ssn tsp ssttsnp ts命题1：1); 2)设 为列向量，且(,),则 (,); 3)设(,) ，(,)则 (,)注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.4教学运用()()()()afbf()()()()cfdfijijijijijijijijabafbffcdcfdf证明：1)由定义得1=() ,tnaa2)设,则1naba1nabab111nssaa(,)(,)1112112snnnsaa

3、aaaa,111,snnaaaa5教学运用111,snnaaaa1.s(,)k)直积的基本性质：1)k(ab)=(ka)b=a(kb), 为常数；2)分配律(a+b)cacbc,c(a+b)cacb;3)结合律(ab)ca(bc);4)吸收律(ab)(cd(ac) (bd),ac与bd有意义.kk)nmmnkk推论：1)(ab) =ab , =1,2,；2)(ai )(ib(ib (ai )ab.(乘法可交换)6教学运用1122121212121122)()()(kkkkkkkk性质4可推广到一般情形：1)(ab )(ab(ab ) (a aa ) (b bb );2)(aaabbb ) (a

4、 ba ba b );7教学运用8教学运用9教学运用范数有以下性质：范数有以下性质：1);2) -=;3)v,.xxxxxyxyxy命题：x时，是范数为一的向量（单位化），有3xx-y+yx-yyyy-x+xx-yx ,- x-yx - yx-yxyxy证明：只证 ）我们有 和所以 ，也就是10教学运用1211112221211x (,),x, xmax,x() ,xxx.ntnniii ninniicc 例 ：=定义则，及均是中的范数12xxx证明：不难验证，均是范数，对于，正定性和齐次性显然满足.下证满足三角不定式：1212122221x (,) ,(,).x() =( , ),xcauc

5、hyttnnnnhniiycx xx xc =注意到即是由酉空间中内积诱导的范数,设故由不定式得11教学运用2222222222222222222x+y(,)( , )( , )( , )( , )x2re( , )x2 ( , )x2 xxxy xyx xx yy xy yx yyx yyyyy222x+yx.y所以12教学运用11212px (,),x() ,x.nptnpnipinpcc 例 ：设1,=定义则是中的范数 称为p-范数.=p- p 1时，为1-范数；p 2时，为2-范数；令,得范数.这三种范数为常见范数.13教学运用12122vxxvkkxv, kxxkxxx. 定义 ：设

6、 是有限维线性空间，,是 中任意两种范数，若存在正数及，使得都有：，称与是等价的1.定理 ：有限维线性空间中的任何两种范数等价14教学运用11 11t1v,vv( ,) ,=(,).nnnnnneexeeeex 证明：设 是 维线性空间，是 的一组基，则，有唯一表达式： x=其中为 的坐标向量111vx,(,)x ,vnnniiiye 可断言 中任一范数都是关于的连续函数，令则，则有1111122221111221122111(,)- (,)()()() ()() ,().(,)=,=.nnniiiinnniiiiiiiiiniiininnieeekxyxxkye 其中 为常数 所以是的连续函

7、数15教学运用1212xxvkkxv, kxxkx. 现在证明定理的结论，设,是 中任意两种范数，要证明存在正数及，使得都有：1112t111x0 xx,x,xs= =,| =1, sr (c ).x,xnnnnnnniinf，由于和都是的连续函数，故 f()=仍是的连续函数，考虑有界闭当x= 时，显然成立集()为或中的.当x时,x，所单位球面因为f()=以 在上，无零点16教学运用000012100001xxe ,eefs,vx,=,=.e=snnyskk由闭区间上的连续函数性质知， 在 上取到最大最小值，即存在xyy其中() ,y(，使得（x的坐标在 上）有x ) , , xx 1 111

8、1/21/222112121x()vee ,ee ,.= kxxkx.,s.nnnnnniiiixxxxxxkkxxxx将 单位化得则 而此时，故设 所以17教学运用13()vv, lim0,lim.mmmmmmxxxxxxxxx定义极限 ：设 ,是线性空间 中元素序列，若使得：，称序列按-范数收敛于记为1-2-线性空间可定义多种范数收敛，如 范数收敛， 范数收敛，它们之间有什么关系呢？18教学运用00002v.mmmxxxxxxx定理 ：设 是有限维线性空间，则1）序列按某种范数收敛于 ，则按任何范数收敛于 ，即有限维线性空间按范数收敛是等价的2）按范数收敛于按坐标收敛于1212xxvkkx

9、v, kxxkx. 证明：1）设,是 中任意两种范数，则存在正数及，使得都有：0001001lim0,klim0mmmmmmmxxxxxxxxxx若，则有 0所以，即按 -范数收敛于.反之亦然.19教学运用()()111(0)(0)011v,.,1,2,.mmnmnnnneeeemxee2）取 的一组基底 令 x1221221-x (,), x() .ntnniic 我们回忆2 范数的定义 =00212()(0)21()(0)lim0lim0lim()0lim, .mmmmnmiimimiimxxxxn 由1)知道，按范数收敛是等价的 ，i=1，所以,2有 注：有限维空间中的元列按任一种范数收

10、敛均等价于注：有限维空间中的元列按任一种范数收敛均等价于按坐标收敛按坐标收敛.20教学运用任一任一 mn 的矩阵均可看做的矩阵均可看做 mn 维向量，故可将向量维向量，故可将向量范数直接移植到矩阵上来范数直接移植到矩阵上来.二、矩阵范数二、矩阵范数ac,a1) a0a0a=02)ca =a ;3) a+bab ,aa.m n定义4：若均对应一个实数 记为，满足：，且 ；，则称是矩阵 的向量范数（广义矩阵范数）21教学运用1,vv,11/,v13ac,a=,a=max,a=(1)a.pm nm nijiji jijpm npijijaaap，例 ：设 则 以及均是 的范数类似的前面的讨论，我们有

11、如下定理：12120k03acacaakk kaakaac;3)a alim, .m nm nm nkijijkaai j定理 ：1）的任一种范数均是 的元素的连续函数；2）的任两种范数均是等价的，即对，存在 正数及，使得， 矩阵序列按任一范数收敛于22教学运用矩阵可以视为拉直的向量，但是矩阵还有乘法运算，在考虑范数时，自然要两者兼顾，为方便起见，我们只考虑方阵：ac,a1) a0a0a=02)ca =a ;3) a+bab4abab .aa.m n定义5：若均对应一个实数 记为，满足：，且 ；，；）相容性， 则称是矩阵 的矩阵范数（或乘积范数）23教学运用21/2,1/22v14ac,a=a

12、.m nn nhijija，例 ：设 则 tr(a a)是的矩阵范数a=(a ), b=(b ),ijn nijn n证明：只需验证相容性，设 则2222221 122v1122221112222111122vvab=()()()()()abnnijijijinnjijijniinjnjijnniinjnjijca ba ba baabbholderaabb， 不等式 （提取公因式） ；222222vvvfabab.frobeniousf-a所以此范数称为范数,简称范数，常记为 ，它有很好的性质.24教学运用2f21/2ffff4accaxax;, ua= av= uav= a=(t (a a

13、).n nnhu vr定理 ：1）,x,则2）为酉矩阵，有 11inn1naa=(a ), a ,a=,x=,aaax,cauchyaijn nixx证明：记第 行为即设 则：由不等式有：222221 11112222a xa,nnniiinnikkikkkkktiaaaax i=1,2,n.25教学运用2222222222f222111aa xaa=axnnnttiiikkkxxx所以.222f2aaxx因此.22ff2ua=tr() ()()()a,hhhhuauatr a u uatr a a下证 ）：显然有hhffffua= a.a= av 注意到，为酉阵所以，我们有hhhhfffff

14、fffav=avv aaa,av= uav= a.26教学运用我们知道任何两种矩阵范数是等价的，任何两种向量我们知道任何两种矩阵范数是等价的，任何两种向量范数也等价，故我们要问：给定矩阵范数，是否有与范数也等价，故我们要问：给定矩阵范数，是否有与之相容的向量范数？反之，给定向量范数，又如何确之相容的向量范数？反之，给定向量范数，又如何确定一个与之相容的矩阵范数？回答是肯定的定一个与之相容的矩阵范数？回答是肯定的.三、向量范数与矩阵范数的相容性三、向量范数与矩阵范数的相容性vvvvac,xc ,xaaxaxxa.n nnmmm定义6：若向量范数与矩阵范数满足不等式： 则称向量范数与矩阵范数相容向

15、量范数与矩阵范数在运算中会同时出现，故建立它向量范数与矩阵范数在运算中会同时出现，故建立它们之间的关系们之间的关系. 因此我们引入定义：因此我们引入定义：27教学运用5acc.n nn定理 ：设是上的一个矩阵范数,则必存在上与之相容的向量范数cxc ,nntvx 证明：取定,则定义 x=,则不难验证，它是一种向量范数，且与给定的矩阵范数相容.28教学运用给定向量范数，如何确定一个与之相容的矩阵范数？给定向量范数，如何确定一个与之相容的矩阵范数？我们有如下定理我们有如下定理.x16xcaca =max ax,axx.vnn nvvvv定理 ：设是上的一个向量范数,则,定义则是一个与相容的矩阵范数

16、，称此矩阵范数为从属于向量范数的算子范数000 x1axmax axa,(1).vvvvx是 各分量的连续函数，故在有界闭集上可取到最大值，因此上述定义是有意义的.即存在x 使得xx注：因为29教学运用1101001x11a0,a0,11,a=a0,a =max ax0;vvvvvvvxx证明：1)正定性：若0，则存在x使得令xx则 x故xx所以xx1x1ca =maxax=max ax=a ;vvvv 2)齐次性：，有00000 x1x1a,bcca+b = (a+b)abmax ax+max bx= ab ;vvn nnvvvvvv3)三角不等式：， x,( x=1)使xxx30教学运用0

17、0000000cbab = (ab)a(b)a()babb= ab ;nvvvvvvv4)相容性： y,( y=1)使yyyyyya.所以矩阵范数0 x1(0)c ,axa()(max ax)a.vnvvvvvvxxxxx最后， x我们有31教学运用1212,a, aa.xxx我们常见的向量范数有及，则从属于它们的算子范数记为及我们有：12111112117aca=(a )c,1) amax()2a=a aamax().n nnijn nnijj nihniji njxxxaa 定理 ：设，,x,则从属于向量范数及的算子范数为：列范数 ；）， 为的最大特征值(谱范数)；3)行范数32教学运用1

18、f222f2faa.24axaxaaa.3.m,m,m,nxcaxxaxa 注：1 及计算方便由定理 知，与是相容的，而作为从属于的算子范数自然是相容的，但与不同.事实上若存在常数，使得有则即从属于范数的算子范数是使上述不等式成立的最小常数.今后我们遇到矩阵和向量同时出现时，总是假设其范数相容33教学运用四、范数的一些应用四、范数的一些应用18acaa1,i-a ().1an niia定理 ：设，是矩阵范数，若则 非奇异，且0000i-a()00,a=i=ia xxxxx证明：若奇异，则存在非零解故有，从而0000 xaxax,( x0)a1,i-a矛盾，所以非奇异.34教学运用11b=(i-a)b(i-a)i,